精品解析：上海市延安中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市延安中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 2025.11 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2. 已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 3. 在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. 4. 已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则__________. 5. 三棱锥中，顶点在底面的射影在底面内，若其侧面与底面所成角都相等，则点是的__________心. 6. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为__________. 7. 已知圆锥母线，母线与旋转轴的夹角，则圆锥的表面积为_____. 8. 某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是__________. 9. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为__________. 10. 如图，在边长为的正方形中，边的中点分别为，；现将，，分别沿,,折起，使点重合，重合后记为点，得到三棱锥，则点到平面ABC的距离为__________. 11. 如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 12. 在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________ 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ） A 63颗 B. 126颗 C. 378颗 D. 504颗 15. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面ABCD，且，是PB 上一个动点，过点作平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 16. 豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共52分） 17. 如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积； 18. 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：为的中点． 19. 在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）直线与平面所成角大小； （3）二面角大小； 20. 如图，AC是圆的直径，PA与圆所在的平面垂直，且为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点在线段PC，PB上的投影； （1）证明：直线平面PBC； （2）当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 21. 在正棱锥中，为底面正边形的中心，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为； （1）当时，若，求正三棱锥的高； （2）当时，若，且，求正四棱锥底面的边长； （3）记，试确定与的大小关系，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市延安中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 2025.11 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系可得结论. 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 2. 已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据点共面，系数相加为1的性质即可求 【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 3. 在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义即可判断. 【详解】 根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义有、与直线异面， 所以三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有条. 故答案为： 4. 已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两平面平行时，法向量互相平行，结合空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为平面平面，与的法向量分别为，，所以， 所以，即，所以， 解得，所以. 故答案为： 5. 三棱锥中，顶点在底面的射影在底面内，若其侧面与底面所成角都相等，则点是的__________心. 【答案】内心 【解析】 【分析】作出三个二面角，利用三角形全等得出到三边距离相等，即可得出结论． 【详解】 如图所示，连接，由分别向线段，，引垂线， 垂足分别为，，，连结，，， 因平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为平面平面，，，， 所以为平面与平面的二面角， 同理可证：为平面与平面的二面角， 为平面与平面的二面角， 根据已知条件有， 又因为，，， 为，，的公共边， 所以，所以， 所以为的内心. 故答案为：内心 6. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图分析出四边形的形状，然后可计算出四边形的面积. 【详解】由直观图可知，四边形为直角梯形，如下图所示， 则四边形的面积为， 故答案为：. 7. 已知圆锥的母线，母线与旋转轴的夹角，则圆锥的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径，进而利用侧面积的计算公式计算即可得出结论. 【详解】如图所示： 设圆锥的底面半径为，在中，， 该圆锥的侧面积，圆锥的表面积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，解题的关键就是结合轴截面计算出圆锥的底面半径，考查计算能力，属于中等题. 8. 某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求纬线圆半径，根据直角三角形的性质，再求地球仪的半径． 【详解】如图所示，由题意知，北纬所在小圆的周长为， 则该小圆的半径，在中，， 所以该地球仪的半径， 所以该地球仪的体积是. 故答案为：. . 9. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解两直线所成夹角即可. 【详解】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设边长为2，则有， 则， 故直线AE与SD所成角的余弦值为. 直线AE与SD所成角为 故答案为：. 10. 如图，在边长为的正方形中，边的中点分别为，；现将，，分别沿,,折起，使点重合，重合后记为点，得到三棱锥，则点到平面ABC的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得、、两两垂直，再求出后借助等体积法计算即可得. 【详解】由正方形性质可得、、， 又平面，所以平面， 又，分别为，中点，则，， ，， 则， 则，则， 由，设点到平面的距离为， 则，即，解得. 故答案为：. 11. 如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据内切球特征及球的截面的特征可确定所求截面即为等边的内切圆，由此可求得截面面积. 【详解】是边长为的等边三角形， 球与平面、、分别相切于的各边的中点， 平面截球所得的截面为的内切圆， 的内切圆半径， 则所求的截面圆的面积是． 故答案为：． 12. 在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________ 【答案】 【解析】 【详解】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为． 【考点定位】考查旋转体组合体体积的计算，重点考查空间想象能力，属难题． 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B，C，利用平行的传递性得到，再利用面面平行的性质得到判断D即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B，若，则或与异面，故B错误， 对于C，若，则或与相交，故C错误， 对于D，因为，所以，而，可得，故D正确. 故选：D 14. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ） A. 63颗 B. 126颗 C. 378颗 D. 504颗 【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用三角形相似求得水面圆的半径，由圆锥的体积减去水的体积，得到可放入珍珠的体积，除以一颗珍珠的体积得答案 【详解】作出轴截面图如图，由题意， 设，则，解得， 则最大放入珍珠的体积， 一颗珍珠的体积是，由， 所以最多可以放入珍珠126颗. 故选：B 15. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面ABCD，且，是PB 上一个动点，过点作平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析截面积变化过程 【详解】因为平面平面PAD，当两平面距离增大时，由图可知截棱锥面积减小，即随单调递减，故排除A，C 当时，，排除B、 故选：D 16. 豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果. 【详解】空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示： 其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱. 因为四边形和为矩形，则， 可得， 同理可得：，， 所以， 可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球， 则，，区域内的几何体的体积之和； 又因为，和区域内的几何体的体积之和； 区域内的直三棱柱体积， 所以的体积为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何中的体积问题，解题关键是能够根据的形状，进而由对应几何体的体积公式求得结果. 三、解答题（共52分） 17. 如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用球、圆锥的体积公式计算即可求解； （2）利用圆锥，球体的表面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 该平面图形绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体为一个圆锥挖去了半个球体， 圆锥的底面半径为，高为，球体的半径为， 所以圆锥的体积为，半球体的体积为， 所以该几何体的体积为； 【小问2详解】 因为，所以， 圆锥的表面积为， 半球体的球面面积为，半球体的底面圆面积为， 所以该几何体的表面积为. 18. 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：为的中点． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面； （2）由公理及平面与平面平行的性质得，则，由为的中点，可得为的中点． 【小问1详解】 证明：如图， ，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面， 又，分别为，的中点， ， 又，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面； 【小问2详解】 证明：平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G， 则，得， 为的中点， 为的中点． 19. 在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）直线与平面所成角的大小； （3）二面角的大小； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量，利用坐标法求异面直线所成角； （2）表示直线的方向向量及平面的法向量，利用坐标法可得线面角； （3）表示两平面的法向量，利用坐标法可得二面角. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系， 则,,,,, 即，， ， 即异面直线与所成角为； 【小问2详解】 由（1）的，，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 直线与平面所成角的正弦值为， 即直线与平面所成角为； 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 且，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 又二面角为锐二面角， 即二面角的余弦值为， 所以二面角的大小为. 20. 如图，AC是圆的直径，PA与圆所在的平面垂直，且为圆周上不与点A，C重合的动点，M，N分别为点在线段PC，PB上的投影； （1）证明：直线平面PBC； （2）当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先确定为二面角的平面角，再研究的面积何时最大，即可求的大小. 【小问1详解】 因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. 因为平面，所以. 又为在上的投影，所以. 平面，，所以平面. 【小问2详解】 因平面，平面，所以. 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. 平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值. 所以，当时取等号. 所以，当时取等号. 此时为等腰直角三角形，所以. 21. 在正棱锥中，为底面正边形的中心，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为； （1）当时，若，求正三棱锥的高； （2）当时，若，且，求正四棱锥底面的边长； （3）记，试确定与的大小关系，并证明. 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，求得，得到几何体为正三棱锥，结合题意，即可求解； （2）当时，得到，由，求得，结合，求得； （3）设正n棱锥的侧棱长为l，得到，得到，求得，再由是侧面与底面所成的角，进而得到与相等，即可得证. 【小问1详解】 当时，几何体为正三棱锥，为底面正边形的中心， 所以平面，取的中点，连接，可得， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以，所以为侧面与底面所成的角， 依题意得，， 由，可得，所以， 所以，侧面为正三角形，可得几何体为正四面体， 由，可得，所以； 【小问2详解】 当时，几何体为正四棱锥，同理可得. 由，可得，所以，可得， 又由，可得，解得， 小问3详解】 由条件知，， 设正n棱锥的侧棱长为l， 则 ， 则（其中O为正n边形的中心， 各在逆时针旋转后仍为这些向量的排列，故它们的和向量逆时针旋转后仍为， 所以只能为零向量）. 于是，① 又由是侧棱与底面所成的角，且， 可得是侧面与底面所成的角，所以， 从而由①，可得与相等，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $