精品解析：广西贺州市富川县2025-2026学年九年级上学期期中检测数学试题

2025—2026学年度上学期期中质量监控检测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、选择题：（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将符合题意的序号填在题中的括号内．） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2. 在平面内有一点，若点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 故选：． 3. 下列函数是二次函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，根据定义判断即可． 根据二次函数的定义（形如，且），逐一分析各选项． 【详解】：为一次函数，最高次数为1，排除； ：含项，非整式函数，排除； ：中未限定，当时为一次函数，不满足二次函数条件，排除； ：展开后为，满足，是二次函数； 故选． 4. 在反比例函数图象在第一、三象限上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像的分布确定比例系数的属性,建立不等式求解即可. 【详解】∵反比例函数图象在第一、三象限上， ∴k-3＞0， ∴， 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数图像分布与k的关系，熟练掌握图像分布与k的关系，并建立起正确的不等关系是解题的关键. 5. 以下列各组数为长度的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，若成比例，则，据此逐项判断即可求解，掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，，，不成比例； 、，，，不成比例； 、，，，不成比例； 、，，，成比例； 故选：． 6. 将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过寻找分式方程的最简公分母，两边同乘以公分母消去分母，转化为整式方程． 【详解】解： ， 两边同乘 得： 左边：， 右边：， ∴ 整式方程为， 故选D． 7. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（为常数，），若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为（ ） A. 160 B. 170 C. 180 D. 190 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确计算是解题关键． 用待定系数法求出的值即可． 【详解】解：，且，， ∴， ∴， 故的值为180． 故选：C． 8. 二次函数的图像上有点A，B、C，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，通过求二次函数的对称轴，比较各点与对称轴的距离，由于抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大． 【详解】解：∵ 二次函数 的二次项系数 ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为 ． ∵点A，B、C，到对称轴的距离分别为： ，，． ∴ 距离越大，函数值越大， ∴ ． 故选： B． 9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x 的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的对称轴，关于x的一元二次方程的两实数根，就是二次函数（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：∵二次函数的解析式是（m为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：． 又∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为， ∴根据抛物线的对称性可知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， ∴关于x的一元二次方程的两实数根分别是，． 故选：A． 10. 如图，在边长为2的正方形中，点E在边AD上，，垂足为F，连接AF，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，根据正方形的性质得和，进一步证明四边形为矩形，则，结合得，利用含30度角的直角三角形的性质得和即可求得答案． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形，且边长为2， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，垂足为F， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，点A、B是反比例函数图像上的任意两点，且轴于点C，轴于点D，连接OA、OB，若与的面积之和为8，则的值是（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数中值的含义，正确理解值的含义是解题关键． 设出点A、B的坐标，表示出，，，的长度，进而表示面积，根据题意建立关系求解． 【详解】解：设，，其中，， 轴，轴， ，， ，， ， ， 又与的面积之和为8， ， ． 故选：C． 12. 如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P，Q同时从点C出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着折线运动到点B时停止，它们的运动速度都是，设P、Q同时出发时，的面积为，则y与t的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．分类讨论：①当，即点在线段上，点在线段上；②当，即点在线段上，点在线段上时；③，即点在线段上，点在线段上时；④当，即点在线段上，且与点重合，点在线段上时；这四种情况下的函数图象，根据函数图象的性质进行判断． 【详解】解：矩形中，，， ①当，即点在线段上，点在线段上，则，此时该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分．故B选项是错误； ②当，即点在线段上，点在线段上时，，该函数图象是随增大而增大的直线的一部分，故A选项是错误； ③，即点在线段上，点在线段上时； ， 如图，过点Q作， 则，即， ∴，此时该函数图象是开口向下的抛物线，故 C 选项是错误； ④当，即点在线段上且与点重合，点在线段上时，，该函数图象是直线的一部分，故D正确； 综上所述，D正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 14. 若二次函数的图象过点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，将点代入二次函数解析式，得到关于k的方程，解方程即可求出k的值. 【详解】解：∵二次函数的图象过点， ∴， 解得； 故答案为： 15. 在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是__________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例线段，掌握比例尺的概念和性质是解题的关键． 根据比例尺的定义，图上距离与实际距离的比等于比例尺，由此列式求解实际距离． 【详解】设甲、乙两地的实际距离为， 根据比例尺，得：， 解得：； 甲、乙两地的实际距离是． 故答案是：． 16. 如图，已知反比例函数图象经过点C，四边形为菱形，且，．点P是该反比例函数图象上的一点，以P，O，A为顶点的三角形面积与的面积相等，则点P的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】综合考查反比例函数及菱形的性质，注意：根据菱形的性质得到点C的坐标；点P的横坐标的有两种情况． 设出点P的坐标，根据题意得和、，结合菱形的性质得，即可得的面积，利用点P的横坐标表示出的面积，那么可得点P的横坐标，即可求得了点P的坐标． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∵以P，O，A为顶点的三角形面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴ 当时，， 当，， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题：（共7小题，满分72分，解答题要写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，二次根式的混合运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的性质，从而完成求解． （1）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加法即可． （2）根据二次根式的混合运算法则计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的表达式； （2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标 【解析】 【分析】（1）运用二次函数顶点式设二次函数解析式，将已知点坐标代入求解待定参数，从而确定解析式； （2）分别令，确定交点坐标． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数解析式为，抛物线过点，于是 ，解得， ∴． 即函数关系式为． 【小问2详解】 解：， 令，则，解得， ∴抛物线与x轴交点为． 令，则， ∴抛物线与y轴交点为． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，待定系数法，函数与方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 19. 金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 【答案】（1） （2）天 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入函数解析式求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 依题意得：， ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 答：这片甘蔗要砍10天． 20. 如图，在中，连接BD，E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，且． （1）作线段，使交DC于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长； （3）求的值． 【答案】（1）如图所示，线段为所求 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为顶点，小于的任意长度为半径画弧，交于点，于点；以为顶点，长度为半径画弧，交于点；以为顶点，长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，线段为所求． （2）根据平行四边形性质，可知，根据相似三角形的性质可得到，进而得到的长度即可求解． （3）根据平行四边形性质，可知，根据相似三角形的性质可得到，通过等量代换，可得到，再求出的比值． 【小问1详解】 如图所示，线段为所求． 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：． 【小问3详解】 解：四边形是 ，，， ， ， ， ， 即：． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，数练掌握并运用以上知识点是解题的关键． 21. 【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： （1）求出与的函数关系； （2）求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ （3）小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 【答案】（1） （2）当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是 （3）小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）由题意得，长方形的宽为：，根据长方形的面积公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形的宽为：， 则； 【小问2详解】 解：由（1）得，； ∵，故函数有最大值， 当时，函数的最大值为：， 即当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是； 【小问3详解】 解：能． 设长方形的长为，则宽为， 则， ， 故函数有最大值， 当时，函数的最大值为， 即小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象分别交于点、点B，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点D，的面积为． （1）求该反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据的面积为，求出，则，把代入，求出，当时，，求出，待定系数法即可求出反比例函数的解析式． （2）联立两个解析式，求出，即可求解． （3）观察函数图象即可求解； 【小问1详解】 解：∵的面积为， ， 即， ， 把代入， 得， 解得：， ∴， 当时，， ， ， ∴反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， ， ． 【小问3详解】 解：∵，， 由函数图象可知：当或时，． 23. 【综合与探究】如图所示，抛物线交轴于A、B两点(点A在轴的负半轴)，将在轴下方部分翻折得到抛物线：，交轴于点C，且，连接A、C，抛物线的对称轴交AC于点D，交轴于点E，点P是抛物线顶点，将抛物线与整体视作曲线W． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； 【数学理解】（2）求线段PD的长度及的面积； 【拓展探究】（3）设平面内存在动直线，讨论并直接写出动直线与曲线W的交点个数． 【答案】（1）；（2），；（3）当或时有个交点；当时有个交点；当时有个交点 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数面积问题以及二次函数与一次函数的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）先求出抛物线的顶点P的坐标为，对称轴为直线，再求出的解析式，进而可求出点D的坐标，即可求出再根据求面积即可． （3）利用数形结合求解即可． 【详解】解：（1）∵，点A在x轴的负半轴 ∴， 把，代入抛物线： 得， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 令，则， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为： （2）∵ ∴抛物线的顶点P的坐标为，对称轴为直线， 设直线解析式为： ∴把，代入， 解得， ∴直线解析式为：． ∴当时， ∴点D的坐标为 ∴ 则 （3）由（2）可知， 根据函数图象可知： 当或时有个交点； 当时有个交点； 当时有个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中质量监控检测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、选择题：（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请将符合题意的序号填在题中的括号内．） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 在平面内有一点，若点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数是二次函数的有（ ） A. B. C. D. 4. 在反比例函数图象在第一、三象限上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 以下列各组数为长度的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 6. 将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（为常数，），若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为（ ） A. 160 B. 170 C. 180 D. 190 8. 二次函数的图像上有点A，B、C，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x 的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在边长为2的正方形中，点E在边AD上，，垂足为F，连接AF，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 1 11. 如图，点A、B是反比例函数图像上的任意两点，且轴于点C，轴于点D，连接OA、OB，若与的面积之和为8，则的值是（ ） A. B. C. 8 D. 16 12. 如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P，Q同时从点C出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着折线运动到点B时停止，它们的运动速度都是，设P、Q同时出发时，的面积为，则y与t的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 14. 若二次函数的图象过点，则的值为__________． 15. 在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是__________cm． 16. 如图，已知反比例函数图象经过点C，四边形为菱形，且，．点P是该反比例函数图象上的一点，以P，O，A为顶点的三角形面积与的面积相等，则点P的坐标为__________． 三、解答题：（共7小题，满分72分，解答题要写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的表达式； （2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 19. 金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 20. 如图，在中，连接BD，E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，且． （1）作线段，使交DC于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长； （3）求的值． 21. 【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： （1）求出与的函数关系； （2）求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ （3）小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象分别交于点、点B，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点D，的面积为． （1）求该反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）结合图象，直接写出当时，的取值范围． 23. 【综合与探究】如图所示，抛物线交轴于A、B两点(点A在轴的负半轴)，将在轴下方部分翻折得到抛物线：，交轴于点C，且，连接A、C，抛物线的对称轴交AC于点D，交轴于点E，点P是抛物线顶点，将抛物线与整体视作曲线W． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； 【数学理解】（2）求线段PD的长度及的面积； 【拓展探究】（3）设平面内存在动直线，讨论并直接写出动直线与曲线W的交点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $