第1章 解直角三角形（复习课件）数学浙教版九年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了解直角三角形的核心知识，涵盖锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、解直角三角形依据与类型及实际应用，通过单元知识框架图将三角函数关系、解直角三角形要素与仰角俯角等应用场景有机串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层模式，如通过堤坝改造题培养数学建模与应用意识，特殊三角函数值计算题提升推理能力，结合知识图谱与错题解析，助力学生巩固基础，教师精准把握复习重点，提升教学效率。

单元复习课件 第一章 解直角三角形 浙教版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 准确表述锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,牢记特殊角的三角函数值，并能快速准确地进行计算，解决解直角三角形的基础问题. 3. 探究特殊角三角函数值、解决实际问题的过程中，培养学生的合作意识与沟通能力，帮助学生养成严谨细致的数学思维习惯与实事求是的学习态度． 2. 在解决仰角俯角、坡度、方位角等实际问题时，帮助学生掌握“实际场景—数学建模—三角函数应用—求解验证”的解题流程，增强数学建模与综合应用能力. 单元学习目标 解直角三角形 锐角三角函数 定义 正切：tanA＝＝ 正弦：sinA＝＝ 余弦：cosA＝＝ A B C 斜边c 对边a 邻边b 计算 由定义求锐角三角函数值 由角的度数求锐角三角函数值 由锐角三角函数值求角的度数 一般锐角用计算器 特殊锐角用特殊角的三角函数值 用计算器求一般锐角 根据特殊角的三角函数值求特殊角 三角函数间的关系 sinA＝cosB cosA2+sinA2＝1 ＝ 解直角三角形 单元知识图谱 解直角三角形 解直角三角形 定义 由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形. 依据 三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理) 锐角之间的关系: ∠A+ ∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余) 边、角之间的关系:sinA＝，cosA＝，tanA＝ 基本类型 已知一锐角、一边：一锐角、一直角边或一斜边 已知两边：一直角边，一斜边或者两条直角边 简单应用 与仰角、俯角有关的实际问题 与方向角有关的实际问题 与坡角有关的实际问题 与生活有关的其他实际问题 单元知识图谱 知识点一：三角函数的定义 在Rt△ABC 中，∠C=90°： ①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA， 即 ∠A的对边 斜边 ②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA， 即 ∠A的邻边 斜边 考点串讲 知识点一：三角函数的定义 在Rt△ABC 中，∠C=90°： ③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA， 即 ∠A的对边 ∠A的邻边 ①无单位性：锐角三角函数是一个比值，长度单位在比值中抵消，因此无单位。 ②对应性：对于每一个确定的锐角α（0°<α<90°），都有唯一确定的三角函数值与之对应；反之，对每个确定的三角函数值，对应唯一确定的锐角α。 ③与边长无关性：锐角三角函数值仅由锐角A的度数决定，与直角三角形的边长无关。 考点串讲 知识点二：特殊三角函数值 特殊角的锐角三角函数值： 三角函数值 sin θ cos θ tan θ 30° 45° 60° 1 考点串讲 知识点三：解直角三角形 解直角三角形的要素分析： Rt△ABC（∠C=90°）中，共有5个元素：​ 3条边：斜边c，直角边a（∠A对边）、b（∠B对边）；​ 2个锐角：∠A、∠B（∠A+∠B=90°） a b c 已知类型 示例 核心工具 已知两边 ① 两直角边（a、b）； ② 一直角边一斜边（a、c） 勾股定理+三角函数 已知一边一锐角 ① 直角边+锐角（a、∠A）；② 斜边+锐角（c、∠A） 三角函数+互余角关系 考点串讲 知识点四：三角函数的应用 ①坡角：坡面与水平面的夹角，记作α（锐角）。​ ②坡度：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，记作i，即 1.坡度与坡角： h（高度） l（水平宽度） 坡度是坡角的正切值 考点串讲 知识点四：三角函数的应用 梯子/坡面与地面的夹角为锐角α，， tanα越大，α越大，梯子/坡面越陡。 2.陡缓程度与正切的关系： 通过比较正切值，可快速判断陡缓程度 考点串讲 知识点四：三角函数的应用 仰角：从低处看高处，视线与水平线的夹角（向上的角，对应直角三角形的锐角）​ 俯角：从高处看低处，视线与水平线的夹角（向下的角，与仰角相等，因水平线平行） 3.仰角与俯角： 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 考点串讲 知识点四：三角函数的应用 4.方向角问题： 方向角一般是以观测者的位置为中心，将正北(或正南)方向作为起始方向依顺时针(或逆时针)方向到目标方向线之间的锐角． 解题步骤：​ ①以观测点为原点，画“上北下南左西右东”的方向坐标系；​②根据方向角确定目标位置，构造直角三角形；（将方向角转化为直角三角形的锐角）；​③利用三角函数或勾股定理求未知边；（如两点间距离、某点到基准线的距离）。 考点串讲 题型一、正弦的概念 例1 国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示， 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ（     ） A． B． C． D． B 【解析】大正方形边长为=5，小正方形边长为=1. 设直角三角形中θ对边为a，邻边为b，则b-a=1，且a2+b2=25, 将b=a+1代入得a2+(a+1)2=25，解得a=3(舍去负根) 所以sinθ = = 故选：B 题型剖析 题型二、余弦的概念 例2 A 如图所示，点A,B,C在由边长为1的正方形组成的网格的格子上，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【解析】正方形边长为1，由勾股定理可得AB=,AC=,BC=, 由勾股定理逆定理可得∠BAC=90°， 所以sinB = = ,,, 故选：A 题型剖析 题型三、正切的概念 例3 C 如图，梯子与地面所成的锐角为∠BAC，对于∠BAC的正切值与梯子倾斜程度的关系，下列叙述正确的是( ) A.tan∠BAC的值越大，梯子越缓 B.tan∠BAC的值越小，梯子越陡 C.tan∠BAC的值越大，梯子越陡 D.梯子的陡缓程度与∠BAC无关 【解析】在Rt△ABC中，tan∠BAC= 当tan∠BAC的值越大时，说明越大，即∠BAC的角度越大，梯子就越陡。 所以选项 A、B、D错误，选项C正确 题型剖析 题型四、特殊三角函数值 例4 在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是 ( ) C A. 45° B. 75° C. 105° D. 120° 解：∵＋＝0 ∴， ∴， ∴∠A=30°，∠B=45° ∴∠C=180°∠A∠B=105° 题型剖析 题型四、特殊三角函数值 例5 计算3sin 60°-2 cos 30°+ tan 45°的值。 【解析】原式=3×2×1 = 1 = 1 题型剖析 题型五、解直角三角形 例6 解：∵在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10， ∴BC＝BD·sin∠BDC＝10×＝10. ∵∠C＝90°，AB＝20， ∴sinA＝＝＝， ∴∠A＝30°. ∴∠ABD＝15°. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20. 求∠ABD的度数. A D C B 45° 题型剖析 题型五、解直角三角形 例7 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，BC=1+，求AB及AC的长. C B A D 45° 30° 解：过点A作AD⊥BC于D， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ADB中，∠B=45°, ∴∠BAD=45°. ∴AD=BD，AB=AD. 在Rt△ADC中，∠C=30°， ∴AC=2AD，CD=AD. 设AD=x，则BC=BD+CD=(1+)x, ∴(1+)x=1+，∴x=1. ∴AB=，AC=2. 题型剖析 题型六、三角函数的应用 例8 某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面AB的坡比i＝1：1，改造后坡面EF的坡比变为2：3，坝顶加宽1m（AE＝1m），已知原背水坡AB的长为8m． (1)求改造后背水坡EF的长； （1）如图，作AQ⊥BC于点Q,EP⊥BC于点P． 在Rt△ABQ中，坡比为1:1， ∴AQ=BQ， 根据勾股定理，得AQ2+BQ2=AB2， 解得AQ=BQ=4(m). 在Rt△EFP中，坡比为2:3，EP=AQ=4(m), ∴FP=6(m)， 根据勾股定理，得EF=EP2+FP2=2(m)． 答：EF的长为2m； Q P 题型剖析 题型六、三角函数的应用 例8 某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面AB的坡比i＝1：1，改造后坡面EF的坡比变为2：3，坝顶加宽1m（AE＝1m），已知原背水坡AB的长为8m． (2)求所需土石方的体积． (2)根据题意可知四边形AQPE是矩形， ∴AE=PQ=1． 在Rt△EFP中， FP=6(m)，BQ=4，∴FB=FQ−BQ=FP+PQ−BQ=6+1−4=2+1(m)， ∴土石方体积V=(1+2+1)×4×100=100(8+4)m3． 答：所需土石方约为100(8+4)m3． Q P 题型剖析 题型六、三角函数的应用 例9 一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（　　） A．m B．m C．m D．m 解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为， ∴设AC＝3k，BC＝4k，∴AB＝AC2+BC2＝5k＝5， ∴k＝1，∴AC＝3m，BC＝4m， ∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°， ∴A′C＝A′B′＝， ∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣＝m， 故选：D． D 题型剖析 题型六、三角函数的应用 例10 如图所示,计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A的仰角为45°,在距E点80 m的C处测得山顶A的仰角为30°,从与F点相距10 m的D处测得山顶A的仰角为45°,点C,E,F,D在同一直线上,求隧道EF的长度. 解:如图所示,过点A作AH⊥DE,垂足为H, 设EH=x m,在Rt△AEH中,∠AEH=45°, ∴AH=EH·tan 45°=x(m). ∵CE=80 m, ∴CH=CE+EH=(80+x)m. H 题型剖析 题型六、三角函数的应用 例10 在Rt△ACH中,∠ACH=30°,∴tan 30°. ∴x=40+40.∴AH=EH=(40+40)m. 在Rt△AHD中,∠ADH=45°, ∴DH==(40+40)m. ∴EF=EH+DH-DF=(80+70)m. ∴隧道EF的长度为(80+70)m. 在点E处测得山顶A的仰角为45°,在距E点80 m的C处测得山顶A的仰角为30°,从与F点相距10 m的D处测得山顶A的仰角为45°,点C,E,F,D在同一直线上,求隧道EF的长度. H 题型剖析 题型六、三角函数的应用 例11 某校到某劳动教育实践基地开展实践活动,当天,他们先从基地门口A处向正北方向走了450 m,到达菜园B处锄草,再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果,再向南偏东37°方向走了300 m,到达手工坊D处进行手工制作,最后从D处回到门口A处,手工坊在基地门口北偏西65°方向上.求菜园与果园之间的距离(结果保留整数.参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14, sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75). 题型剖析 题型六、三角函数的应用 例11 解:如图所示,过点D作DH⊥AB于点H,过点D作DG⊥BC于点G, 则四边形GDHB是矩形,∴GD=BH,DH=GB. 根据题意,CD=300 m,∠CDG=37°, ∴DG=CD·cos 37°≈300×0.80=240(m), CG=CD·sin 37°≈300×0.60=180(m). ∴HB=240 m.∵AB=450 m,∠DAH=65°, ∴AH=210 m. ∴DH=AH·tan 65°≈210×2.14=449.4(m). ∴BC=CG+BG=180+449.4=629.4≈629(m). ∴菜园与果园之间的距离为629 m. 题型剖析 1.如图，在中,，，求的面积. D 5 5 C B A 解：作于点， ∵， ∴, 在中 ∵, ∴ ∴ 针对训练 2.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，求的值． 解：连接并延长交于点，连接， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 针对训练 3.如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作经过点的直线的垂线，垂足为，已知平分． (1)求证：直线为的切线； 证明：如图，连接 ∵平分，∴ ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点在上， ∴直线为的切线； 针对训练 3.如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作经过点的直线的垂线，垂足为，已知平分． (2)若，求的半径． 解(2)：∵，∴， ∴， ∵为的直径，∴，可得， 又∵， ∴，可得， ∵，∴ ∴， ∴的半径为． 针对训练 4.若中，所对的边是，所对的边是，满足，判断的形状. 解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形． 针对训练 5.如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，求的值 解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ， ， ， ． 针对训练 6.如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，已知坡道AB的坡比i=1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米． (1)请求出DE的长； 解：根据i=1：2.4， 得出tan∠CAB=， 即， 求出CE=3米， 得出DE=3−0.4=2.6（米） 针对训练 6.坡道AB的坡比i=1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米． (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）； 解：过点D作DH⊥AB于点H，如图： ∵∠EDH＋∠DEH=∠CAB＋∠DEH=90°， ∴∠EDH=∠CAB， ∵tan∠CAB∴tan∠EDH=tan∠CAB， ∴， ∴设EH=5x，DH=12x， ∴DE=DH2+EH2==13x， ∵DE=2.6米，∴13x=2.6，解得 x=0.2， ∴DH=12x=12×0.2=2.4（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 针对训练 7.一根竹竿长a米，先像AB靠墙放置，与水平夹角为45°，为了减少占地空间，现将竹竿像A'B'放置，与水平夹角为60°，则竹竿让出多少水平空间（ ） A.()a B.a C.a D.()a 【解析】在Rt△ABE中,∵∠BAE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形，∴AE=AB=a， 在Rt△A′B′E中,∵cos∠B′A′E=         而∠B′A′E=60°,A′B′=a，∴A′E=a·cos60°=a， ∴AA′=AE−A′E=aa=a (米). A 针对训练 8.(1)如图，无人机的探测器显示，从无人机看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，无人机与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼的高度. D 解：过点作，垂足为，由题意可得， ∵, , 在中,m， 在中,m， ∴m. 针对训练 8.(2)如图，无人机的探测器显示，从无人机看一栋高楼顶部的俯角为，看这栋高楼底部的俯角为，若无人机的高度为120m，求这栋高楼的高度. A C B D E 解:过点作地面的垂线于点,过点B作⊥于E ∵ , ∴在中,， ∵,∴ 在中,， ∵, ∴,即这栋高楼的高度为 针对训练 解:过点作延长线的垂线,垂足为，设 ∵ , ∴在中,， 在中,， ∵ ∴,即无人机与高楼的水平距离为 8.(3)如图，无人机的探测器显示，从无人机看一栋高楼顶部的俯角为，看这栋高楼底部的俯角为，这栋高楼的高度为120m，求无人机与高楼的水平距离. A C B D 针对训练 研究对象：直角三角形中锐角与三条边的数量关系 定义与表示（设 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 为锐角） 正弦（sin） ：sinA= 余弦（cos）：cosA= 正切（tan）：tanA= 实际应用 解直角三角形：已知 2 个条件（至少 1 条边），求其余边或角 实际场景：仰角 / 俯角问题、坡度（坡比）问题、方位角问题 步骤：先构造直角三角形，再选择合适的三角函数建立等式 课堂总结 感谢聆听! $