专题06 与圆有关的计算问题（专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题06 与圆有关的计算问题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正多边形与圆的相关计算（常考点） 1 题型二、利用弧长公式求解（常考点） 3 题型三、利用扇形的面积公式求解（常考点） 5 题型四、求不规则图形的面积（难点） 7 题型五、圆锥的相关计算 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正多边形与圆的相关计算（常考点） 1．（2024·天津·模拟预测）已知P是边长为x的正n边形内的一点，则P到各边的距离之和为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B． C．3 D． 4．（2025·四川成都·二模）如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 5．（2025·河北邯郸·三模）古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（　　） A． B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为 7．（2025·河北邯郸·三模）如图1的螺丝钉由头部直六棱柱和螺纹圆柱组合而成，其俯视图如图2所示．珍珍想用一把刻度尺测量出螺纹直径，已知刻度尺紧贴螺纹刻度尺与相切，经过点A且交于点若测得正六边形的边长为6，长为． （1）计算的长为 ； （2）螺纹的直径为 结果保留根号 8．（2026·江西·模拟预测）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． (1)连接，求的长； (2)求该置物架所占用墙面的宽度 d． 9．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，． (1)求证：是的切线； (2)若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）． 题型二、利用弧长公式求解（常考点） 10．（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 11．（2022·广东深圳·二模）如图，切于点，，，弦，则劣弧的弧长为（ ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 13．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形作无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了圈，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·安徽合肥·三模）飞速发展的高铁已成为现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处的圆弧，列车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，转角为．若圆的半径，则长为（   ）． A． B． C． D． 15．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是 ． 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． (1)在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； (2)将绕原点顺时针旋转，得，画出； (3)在（2）操作中，的弧长为 ． 题型三、利用扇形的面积公式求解（常考点） 17．（23-24九年级下·广东·阶段练习）已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 18．（20-21九年级下·吉林延边·阶段练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为米，径长（两段半径的和）为米，则该扇形田地的面积为（  ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 19．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，圆的四条半径分别是，其中点O，A，B在同一条直线上，，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（　　） A． B． C． D． 20．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·浙江·模拟预测）如图，等腰直角的腰长为2．将绕C点逆时针旋转，则线段扫过的面积是 ． 22．（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 23．（2024·湖北·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点． (1)画出关于直线l对称的； (2)画出绕点A顺时针旋转的，并求出线段扫过的面积． 24．（2025·湖南长沙·三模）如图，直线经过上的点，并且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若和与分别交于点，，且的直径为4，，求的长及扇形的面积． 题型四、求不规则图形的面积（难点） 25．（2025·云南·模拟预测）如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 26．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 27．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 28．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，扇形中，，，点C为的中点，将扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 29．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，是半圆O的中点，欲求阴影部分的面积，只需把弓形割下来，补在弓形处，则阴影． 【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，设C为半圆的中点，连接，以为直径作半圆，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 30．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若是的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 31．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 题型五、圆锥的相关计算 32．（2024·浙江·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （    ） A． B． C． D． 33．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 34．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·内蒙古通辽·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 36．（2025·云南昭通·二模）将一个底面半径为的圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，这个圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 37．（2025·广东中山·模拟预测）2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为 ．（保留） 38．（20-21九年级下·湖南株洲·自主招生）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，则圆锥的侧面积为 ，面积的最大值为 ． 39．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 40．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 41．（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 42．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 43．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 44．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． 45．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 46．（2024·山西·中考真题）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 47．（2025·青海·中考真题）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ 蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片． 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？ 平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺 正三角形 能 正方形 ①________ ②________ 能 正五边形 不能 正六边形 能 正七边形 不能 正八边形 ③________ ④________ ．．． ．．． ．．． ．．． （1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________． 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？ 数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．          观察图1，发现是正三角形的内切圆，与切于点，，，，在中，，则的周长为． （2）如图2，正方形的周长为__________； （3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）． 探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？ 数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小． （4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________． 【得出结论】 综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 与圆有关的计算问题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正多边形与圆的相关计算（常考点） 1 题型二、利用弧长公式求解（常考点） 11 题型三、利用扇形的面积公式求解（常考点） 16 题型四、求不规则图形的面积（难点） 22 题型五、圆锥的相关计算 31 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正多边形与圆的相关计算（常考点） 1．（2024·天津·模拟预测）已知P是边长为x的正n边形内的一点，则P到各边的距离之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 取正n边形内的中心为点，连接各个顶点，构成n个全等的等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一，得出角的度数和边的长度，然后利用锐角三角函数求解即可． 【详解】解：如图，取正n边形内的中心为点，连接各个顶点，构成n个全等的等腰三角形，，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴则P到各边的距离之和为， 故选：C． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换、正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的性质． 根据相似比求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，， ∵正方形∽正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D ． 3．（2025·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．作于C，利用等腰直角三角形的性质求出的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题． 【详解】解：如图，作于C， ∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计， ∴，， ∵ ∴， 则， ∴的面积为， ∴正八边形面积为 ∴的估计值为． 故选：B． 4．（2025·四川成都·二模）如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形是面积，弧长公式等，由正六边形的性质可得，即可判断①；由等边三角形的性质和勾股定理可判断②③；利用求出阴影部分的面积可判断④；利用弧长公式求出的长可判断⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵是正六边形的外接圆， ∴，故①正确； ②∵，， ∴是等边三角形， ∴，故②正确； ③∵于点， ∴， ∴，故③错误； ④，故④正确； ⑤的长，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故选：． 5．（2025·河北邯郸·三模）古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得到，，即可得到，进一步可得答案． 【详解】解：如图，设正方形及正八边形的中心为点O，正八边形落在上的顶点为点M，交于点N， 设， 由正方形和正八边形的性质得到，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】此题重点考查正方形的性质、正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为 【答案】 【分析】首先确定点的坐标，再根据旋转推导出4次一个循环，再计算经过第2024次旋转后点的坐标即可；本题考查了正多边形的性质，规律型问题，旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点重合，轴， ∴， ∴， ∴; ∵每次旋转，， ∴4次一个循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 7．（2025·河北邯郸·三模）如图1的螺丝钉由头部直六棱柱和螺纹圆柱组合而成，其俯视图如图2所示．珍珍想用一把刻度尺测量出螺纹直径，已知刻度尺紧贴螺纹刻度尺与相切，经过点A且交于点若测得正六边形的边长为6，长为． （1）计算的长为 ； （2）螺纹的直径为 结果保留根号 【答案】 3 / 【分析】此题主要考查了切线的性质，正多边形和圆，理解切线的性质，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． （1）连接，，，，过点P作，交AB的延长线于点H，设与相切于点Q，连接，由正六边形性质得和是等边三角形，则，，进而得，设，则，继而得，，在中，由勾股定理求出a即可得出的长； （2）根据，得，根据等边三角形性质得，由勾股定理求出，证明得，再由切线性质得是的半径，，然后由三角形的面积公式求出，进而可得螺纹的直径． 【详解】解：（1）连接，，，，过点P作，交的延长线于点H，设与相切于点Q，连接，如图所示： 六边形是正六边形，且边长为6， ，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， 设，则，其中， 在中，， ， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， ， 故答案为：3； （2），， ， 是等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， 是直角三角形， 与相切于点Q， 是的半径，， 由三角形的面积公式得：， ， 的直径为： 即螺纹的直径为 故答案为： 8．（2026·江西·模拟预测）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． (1)连接，求的长； (2)求该置物架所占用墙面的宽度 d． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交的延长线于点 G，作于点R．先求出，，过点C作，垂足为H，证明四边形为矩形，得出，再根据勾股定理求出结论； （2）由题意得：共线，连接，过点Q作，垂足为N，则，求出，在求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：如图（1），连接并延长交的延长线于点 G，作于点R． ， ，   ，   ， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 过点C作，垂足为H， 则， ∵ ∴四边形为矩形，     ， ∴， ； （2）如图（2），由题意得：共线，连接， 过点Q作，垂足为N， 则 ， 在中， ， ， 设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接， 则， 是等边三角形， ，    ， 答：该置物架所占用墙面的宽度 d为． 9．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，． (1)求证：是的切线； (2)若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2)该硬币（）的直径为 【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据正多边形的性质可得中心角，进而得出得出则，即可得证； （2）连接，证明四边形是正方形，设的半径为，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是内接正九边形的一条边， ∴中心角， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴该硬币（）的直径为． 题型二、利用弧长公式求解（常考点） 10．（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的有关计算． 根据弧长公式，即可求解． 【详解】∵弧长 ，其中 ，， ∴ ， 两边除以：， 即， 简化得， ∴ ． 故此扇形的圆心角为． 故选：C． 11．（2022·广东深圳·二模）如图，切于点，，，弦，则劣弧的弧长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质以及弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，根据切线的性质，特殊角的三角函数值，可求得是等腰直角三角形，又由弦，可得是等腰直角三角形，然后由弧长公式求解． 【详解】解：连接、， ∵切于点， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的弧长为：． 故选：C． 12．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是解题关键． O经过的路线是两个半径是m，圆心角为的弧，平移的距离是半径长是 m，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解：O经过的路线是两个半径是（m）， ， ∵， ∴， ∴， O旋转的长度是：（m）， O移动的距离是（m）， ∴圆心O所经过的路线长是：（m）， 故选：B． 13．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形作无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了圈，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，设等边三角形的边长为，圆的半径为，求出圆心转动过的路程进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设等边三角形的边长为，圆的半径为， ∵等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等， ∴， ∴， ∴圆心经过的路径长为， ∴ 故选：． 14．（2025·安徽合肥·三模）飞速发展的高铁已成为现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处的圆弧，列车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，转角为．若圆的半径，则长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ∵过点的两条切线相交于点， ， ， ， 故选：B． 15．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是 ． 【答案】/ 【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 封闭图形的周长的长 故答案为： 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． (1)在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； (2)将绕原点顺时针旋转，得，画出； (3)在（2）操作中，的弧长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-位似变换，旋转变换和求弧长，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C 的对应点即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． （3）根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图，即为所作． （3）解：， 所以，的弧长为， 故答案为：． 题型三、利用扇形的面积公式求解（常考点） 17．（23-24九年级下·广东·阶段练习）已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出弧长． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：D． 18．（20-21九年级下·吉林延边·阶段练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为米，径长（两段半径的和）为米，则该扇形田地的面积为（  ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积计算，解题关键是熟练掌握扇形的面积计算公式． 首先求得半径的长，然后利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：径长（两段半径的和）为米， 半径长为米， 又下周长（弧长）为米， 该扇形田地的面积． 故选：． 19．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，圆的四条半径分别是，其中点O，A，B在同一条直线上，，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆的面积计算，熟知两角互补的性质是解答此题的关键．先求出各角的度数，再得出其比值即可． 【详解】解：∵点O，A，B在同一条直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 20．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式． 【详解】解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 21．（2025·浙江·模拟预测）如图，等腰直角的腰长为2．将绕C点逆时针旋转，则线段扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积，根据题意可得， ，然后计算即可获得答案． 【详解】解：如图， ． 故答案为：． 22．（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了直角三角形的性质．连接、，先根据切线的性质得到，再利用余弦的定义求出，所以，接着求出，则，然后根据弧长公式计算出弧的长度，然后利用图中阴影部分的周长弧的长，求值即可． 【详解】解：连接、， ∵绳子分别与空竹相切于点C，D， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长度， ∴图中阴影部分的周长弧的长 ． 故答案为：． 23．（2024·湖北·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点． (1)画出关于直线l对称的； (2)画出绕点A顺时针旋转的，并求出线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用轴对称的性质画出图形即可； （2）利用旋转变换的性质画出图形，根据线段扫过的面积，由此计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ∵，， ∴线段扫过的面积． 24．（2025·湖南长沙·三模）如图，直线经过上的点，并且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若和与分别交于点，，且的直径为4，，求的长及扇形的面积． 【答案】(1)答案见解析； (2)，． 【分析】（1）连接，证明，可得； （2）连接，先得出的半径为2，则，由（1）得，运用勾股定理得则在中，，即，即，再代入扇形面积公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴ ∴， ∴． ∵为的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵的直径为4，， ∴，， 由（1）得， ∴， 则在中，， 即， 由（1）得， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查切线的判定及全等三角形的判定和性质，扇形面积，解直角三角形的相关运算，勾股定理，掌握切线的判定方法是解题的关键， 题型四、求不规则图形的面积（难点） 25．（2025·云南·模拟预测）如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不规则图形的面积的求解，阴影面积为扇形的面积减去等边三角形的面积的倍，代入已知数据计算即可． 【详解】解：过A点作于D点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 26．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 27．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 图中阴影部分的面积为，求出相关数据计算即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵为半圆弧的中点， ∴，， 连接， ∵四边形的边与相切，切点为， ∴且， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 28．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，扇形中，，，点C为的中点，将扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】与交于点E，连接点，交于点F，由旋转得，，设，，则，，证明，由对应边成比例得，推出，由三角函数得，解直角三角形求出，，，则阴影部分的面积等于． 【详解】解：如图， 与交于点E，连接点，交于点F， 扇形绕点C顺时针旋转，得到扇形， ，， ，点C为的中点， ，， 设，，则，， ，， ， ，即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质等，难度较大，解题的关键是得出的度数． 29．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，是半圆O的中点，欲求阴影部分的面积，只需把弓形割下来，补在弓形处，则阴影． 【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，设C为半圆的中点，连接，以为直径作半圆，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、 ，根据 ，求解即可．   【详解】解：连接、 ， ∵ ∴,    ∵是小圆直径 ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：   【点睛】此题考查了扇形面积的计算，同时需要运用圆周角定理，利用割补法求阴影面积是解题关键． 30．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若是的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由为角平分线得到一对角相等，再由，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，根据垂直于，得到垂直于，即可得证； （2）根据E为弧的中点，得到，利用等弧对等弦得到，证明四边形是菱形，进而证明，推出点F为的中点，易证为的中位线，得到，即，可得出弓形与弓形面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形的面积，求出即可． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴与圆O相切； （2）解：连接，交于F， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 又， 四边形是菱形， 为直径，得到， ， 与相切，C为切点， ， ， ， ， 即， ∴点F为的中点， 点O为的中点， 为的中位线， ，即， 在中，根据勾股定理得：， 则． 【点睛】本题考查切线的判定，角平分线的定义，平行线判断，相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，三角形中位线，求不规则图形的面积等知识点．解题的关键是掌握判定切线的方法． 31．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确的理解的几何意义是解题关键． 连接交于，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，将代入中即可求解； 利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据弧长公式求解； 先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：如下图所示，连接交于， 四边形是菱形， ，， ， ， 点的坐标是， 将代入到中， 得：， 解得：； （2）解：， 半径为； ， ， ， 由菱形的性质可知，， ， 的长； （3）解：如下图所示， ， ， ， 在菱形中，， ， ， ． 题型五、圆锥的相关计算 32．（2024·浙江·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积求法以及由三视图判断几何体的形状，要注意圆锥的侧面积的计算公式是．根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．根据已知条件可得圆锥底面半径和母线长，即可求得圆锥的侧面积． 【详解】解：∵一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆， ∴这个几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为2， 因此圆锥的侧面积为． 故选：B． 33．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 34．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体． 由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由图中数据可知，圆锥的底面半径为, ∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长 故选：． 35．（2025·内蒙古通辽·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算以及弧长的计算，设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为8尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 36．（2025·云南昭通·二模）将一个底面半径为的圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，这个圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，扇形的面积，设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面积底面半径母线长侧面展开扇形的面积列出方程解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得， 故选：． 37．（2025·广东中山·模拟预测）2025年春节贺岁档的《哪吒之魔童闹海》中敖丙和哪吒联手对抗黑暗势力时，敖丙用冰之力创造出一个圆锥冰盾．已知该冰盾的高比底面半径r大，同时，哪吒用混天绫围绕这个圆锥体冰盾的底面刚好缠绕一圈进行加固，已知圆锥体冰盾的母线长为．则此时混天绫的长度为 ．（保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的母线．设圆锥的底面半径为r米，则高米，母线长米，根据，可得，即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r米，则高米，母线长米． ∵， ∴， 解得：， ∴米． 故答案为： 38．（20-21九年级下·湖南株洲·自主招生）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，则圆锥的侧面积为 ，面积的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积，根据三角形面积公式，当时，的面积最大． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为，高为1， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积； 当时，此时面积最大，面积的最大值为． 故答案为：，2． 39．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 40．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 41．（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 【答案】(1)米； (2)10分钟；米． 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，作，垂足为，根据勾股定理得（米），又，所以，因为与相切，所以，可得，所以，（米），从而可得，所以（米）； （）过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米，又因为，所以，则（米），然后通过，可得，则，故有最佳观赏风景的时间为（分钟），最后通过弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为与相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； （2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 42．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积．先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ， 故答案为：． 43．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 44．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查圆的相关性质与计算，涉及切线的性质，弧长的计算，还考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关性质与定义是解题的关键． （1）连接，判定是等边三角形，得出，利用弧长公式求解即可； （2）利用，求出，再利用，等边对等角即可求解； （3）连接， 求出，即可得，利用是的切线，求出，，证明，再利用三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的长； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 45．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【详解】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 46．（2024·山西·中考真题）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二： ． 47．（2025·青海·中考真题）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ 蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片． 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？ 平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺 正三角形 能 正方形 ①________ ②________ 能 正五边形 不能 正六边形 能 正七边形 不能 正八边形 ③________ ④________ ．．． ．．． ．．． ．．． （1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________． 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？ 数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．          观察图1，发现是正三角形的内切圆，与切于点，，，，在中，，则的周长为． （2）如图2，正方形的周长为__________； （3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）． 探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？ 数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小． （4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________． 【得出结论】 综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案． 【答案】（1）①，②，③，④不能；（2）8；（3）；（4），， 【分析】（1）根据正方形，正八边形内角性质解答； （2）根据正方形内切圆半径为1，得正方形边长为2，即得正方形周长； （3）根据正六边形内切圆半径为1，得正六边形边长为，即得正六边形周长； （4）在周长都是12的情况下，得正三角形的边长为4，边心距为，积为；正方形的边长为3，面积为9；正六边形的边长为2，边心距为，面积为． 【详解】（1）∵正方形每个内角为 ， ∴， ∴能密铺； ∵正八边形的每个内角为， ∴， ∴不能密铺； 故答案为：①；② ；③；④不能； （2）设切于点E，连接， 则交于点O，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的周长为8； 故答案为：8； （3）设切于点G，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正六边形周长为； （4）三角形： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 正方形： ∵， ∴， 正六边： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌．熟练掌握平面镶嵌的原理，正三角形，正方形，正六边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $