第5章 三角函数（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

教学目标 1.理解掌握终边相同的角的集合，理解弧度制，掌握弧长、扇形面积有关公式， 2.理解掌握三角函数的概念，掌握符号法则， 3.掌握同角关系、诱导公式、和差角公式、二倍角公式；掌握三角恒等变形的基本方法， 4.掌握三角函数的图象性质. 教学重难点 1.重点是三角函数概念、三角恒等变形、三角函数图象性质； 2.难点是：三角恒等变形、三角函数图象性质. 知识点01 角的概念的推广 (一)角的概念 1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2.角的分类： 3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (二)几种特殊位置的角的集合 1.象限角的集合： (1)第一象限角：； (2)第二象限角：； (3)第三象限角：； (4)第四象限角：； 2.轴线角的集合: (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：. (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：. (3)终边在x轴上的角的集合：. (4)终边在y轴上的角的集合：. (5)终边在坐标轴上的角的集合：. 3.终边在特殊直线上： ①终边在直线y＝x上的角的集合：. ②终边在直线y＝－x上的角的集合：. ③终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：. (三)几种互为对称的角 (1)如果终边关于x轴对称 (2)如果终边关于y轴对称 (3)如果终边关于原点对称 二．弧度制： 1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示. 2.正角、负角和零角的弧度数 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3.角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad. (2)1 rad＝. 4.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ 相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝＝|α|r. (2)扇形的面积公式：S＝lr＝＝|α|r2. 【即学即练1-1】(24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习)下列各角中，与终边相同的角为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】分析可知与终边相同的角满足，代入检验即可. 【详解】与终边相同的角为，即， 对于选项A：，不合题意，故A错误； 对于选项B：，不合题意，故B错误； 对于选项C：，不合题意，故C错误； 对于选项D：，符合题意，故D正确；故选：D. 【即学即练1-2】(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、角度化为弧度 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则.故选：A. 知识点02 三角函数概念 1.利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： sin α＝y. cos α＝x. tan α＝(x≠0). 2.利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，那么： sin α＝. cos α＝. tan α＝(x≠0). 3.符号法则：一全二正三切四余 4.特殊角的三角函数值 角度 弧度 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 5.三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值. 其中：，，； 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0; 当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 【即学即练2-1】(2025·吉林长春·模拟预测)若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值，可得的值． 【详解】因为角的终边经过点，，，， 所以， 则.故选：C. 【即学即练2-2】(24-25高二下·云南·期末)若，则为(   ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C【难度】0.94 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据各象限三角函数符号特征判断即可 【详解】由，得角的终边在y轴左侧，即第二或第三象限，或x轴负半轴， 由，得角的终边在第一或第三象限， 所以当时，为第三象限角.故选：C 知识点03 诱导公式 1.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限． “奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数． “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变． “符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限． 3.通用公式：； 【即学即练3-1】(25-26高二上·云南·期中)角的终边过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】角的终边过点，所以， 所以.故选：D 【即学即练3-2】(24-25高二上·云南昆明·期中)(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值 【分析】利用诱导公式化简即可得解. 【详解】由诱导公式可得.故选：B 知识点04 同角关系 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan α． 2.变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α， (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α． 【即学即练4-1】(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)已知，且为锐角，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】根据同角平方关系求解. 【详解】因为，且为锐角， 所以.故选：A 【即学即练4-2】(25-26高三上·河北衡水·期中)若，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】由条件等式求正、余弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即.故选：A 知识点05 三角恒等变形 1.和差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ． 拓展：万能公式： ， ， 3.常用变形结论 (1)降幂公式： ； ． (2)升幂公式：1＋cos α＝2； 1－cos α＝2； 1＋sin α＝； 1－sin α＝． (3)正切和差角公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的　sin α±cos α＝sin； sin α±cos α＝2sin； sin α±cos α＝2sin． 4.拆分角问题：①； ②；； ③；； ④；. 5.拓展公式： (1)正余弦平方差公式： . (2)三倍角公式 ：, (3)和差化积公式： , ; , ; 【即学即练5-1】(2025高二下·北京·学业考试)(   ) A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由. 故选：B. 【即学即练5-2】(25-26高一上·湖南衡阳·阶段练习)计算(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式 【分析】根据给定条件，利用三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，化简计算算即得. 【详解】 . 故选：A 知识点06 三角函数图象性质 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【即学即练6-1】(25-26高三上·安徽·阶段练习)若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为(    ) A．0 B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】求正切(型)函数的定义域 【分析】根据正切函数的定义域即可求解 . 【详解】由正切函数的定义域为可知：的最小值为.故选：B 【即学即练6-2】(25-26高三上·云南昆明·阶段练习)函数 的最小正周期是(    ) A．2π B．π C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】求正切(型)函数的周期 【分析】对于正切函数，其最小正周期公式为. 【详解】由题意可得.故选：C 知识点07 的性质 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ (2)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个如下表所示的特征点： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (3)图象变换： 二．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象性质 1．周期性 函数 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 周期T T＝ T＝ T＝ 函数 y＝|Asin(ωx＋φ)| y＝|Acos(ωx＋φ)| y＝|Atan(ωx＋φ)| 周期T T＝ T＝ T＝ 函数 y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0) y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0) y＝|Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0) 周期T T＝ T＝ T＝ 注意：并非所有周期函数都有最小正周期，例如：. 2．奇偶性 函数 是奇函数的条件 是偶函数的条件 y＝Asin(ωx＋φ) φ＝kπ(k∈Z) φ＝kπ＋ (k∈Z) 为最大值(或最小值) y＝Acos(ωx＋φ) φ＝kπ＋ (k∈Z) φ＝kπ(k∈Z) y＝Atan(ωx＋φ) φ＝kπ(k∈Z) 无 3．对称性 函数 对称轴的条件与对称轴方程 对称中心的条件与对称中心坐标 y＝Asin(ωx＋φ) ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z) ωx＋φ＝kπ(k∈Z) y＝Acos(ωx＋φ) ωx＋φ＝kπ(k∈Z) ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) y＝Atan(ωx＋φ) 无 ωx＋φ＝(k∈Z) 4．单调性 函数 递增区间 递减区间 条件 区间 条件 区间 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 5．最值 函数 取最大值的条件(k∈Z) 最大值 取最小值的条件(k∈Z) 最小值 ωx＋φ＝2kπ＋ A+m ωx＋φ＝2kπ＋ -A+m ωx＋φ＝2kπ A+m ωx＋φ＝2kπ+π -A+m 无最值 【即学即练7-1】(24-25高二下·云南·期末)要得到函数的图象，只需将函数的图象(   ) A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】相位变换及解析式特征、描述正(余)弦型函数图象的变换过程 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：D. 【即学即练7-2】(2025·江苏淮安·模拟预测)函数的图像如图所示，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式 【分析】由图象的最值得到的值，由两个零点求出，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式. 【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又，所以， 又∵，∴，∴， 因为时函数取最大值， 所以，，又， ∴，∴.故选：C. 题型01 角的概念的推广 【典例1-1】(24-25高一下·贵州遵义·阶段练习)把表示成的形式，且使，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】由即可得到答案. 【详解】因为，，所以的值为，故选：C 【典例1-2】(25-26高三上·陕西商洛·阶段练习)若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形面积公式进行求解即可. 【详解】根据扇形面积公式， 因为，所以，解得，故选：A. 【典例1-3】(多选)(24-25高一上·江苏盐城·阶段练习)下列说法正确的是(    ) A．1弧度的角与的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角的集合为 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】确定已知角所在象限、确定n分角所在象限、找出终边相同的角、任意角的概念 【分析】根据弧度制定义判断A选项；由锐角的范围和第一象限角的范围判断B选项；根据象限角的范围求得的范围，结合象限角的范围判断C选项；根据角的终边可直接得到角的集合，判断D选项. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角，B选项正确； 若是第三象限角，则，则 当时，，是第四象限角， 当时，，是第二象限角，故C选项正确； 终边在轴正半轴上的角的集合为，D选项正确.故选：BCD. 【典例1-4】(25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习)如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 【答案】【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】取优弧所在圆的圆心，连接，易得，进而结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该“水滴”的面积为．故答案为：. 【变式1-1】(25-26高一上·全国·单元测试)与角终边相同的角是(    ) A．25° B．113° C． D．225° 【答案】C【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】利用终边相同角的概念，找到在范围内与角终边相同的角即可． 【详解】因为， 所以角与角终边相同.故选：C. 【变式1-2】(24-25高一上·天津·阶段练习)一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为.故选：D 【变式1-3】(25-26高一上·河北保定·阶段练习)已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】由扇形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为．故选：C. 【变式1-4】(24-25高一上·四川广安·开学考试)如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】连接，根据条件求出半径，再分别求出、扇形和的面积即可. 【详解】连接，设和的交点为， 因点是以为直径的半圆的三等分点，则， 因，则，即为等边三角形， 因，则， 因，则四边形为平行四边形， 因，则四边形为菱形，则， 设圆的半径为，则，， 则， 扇形的面积为，， 则图中阴影部分的面积为， 【变式1-5】(多选)(2025高一·全国·专题练习)下列说法中正确的是(    ) A．终边在直线上角的集合是 B．若，则为第四象限角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】确定已知角所在象限、扇形面积的有关计算、找出终边相同的角、基本不等式求积的最大值 【分析】利用终边相同角的集合表示,象限角的表示,弧度制表示角,扇形弧长与面积公式,基本不等式等知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，终边落在直线上角的集合是， 终边落在直线上角的集合是， 所以终边在直线上角的集合是，A正确； 对于B， ，根据象限角的定义可知，在第三象限，B错误； 对于C，因为角是第一象限的角，所以 ， 由此可得： ， 当时， ，位于第一象限； 当时， ，位于第二象限； 当时， ，位于第三象限； 所以为第一、二、三象限的角，C正确； 对于D，设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：， 扇形面积为，、均大于零，则， 即，整理有， 当且仅当时，扇形面积取最大值， 又，此时解得，所以D正确.故选：ACD. 【变式1-6】(25-26高一上·全国·期末)月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积．该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题．如图所示，为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ，Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则三个区域的总面积为 ． 【答案】2【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】由题可得，由题目信息可得区域Ⅰ，Ⅱ的面积之和为1，然后由题目条件算出区域III面积可得答案. 【详解】因为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为， 则，从而， 则由题意，区域Ⅰ，Ⅱ的面积之和等于的面积：； 而扇形的面积为：， 则弓形的面积为：. 从而区域III的面积为：. 则三个区域的总面积为．故答案为：2 题型02 三角函数概念 【典例2-1】(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系中，角以为顶点，为始边，终边经过点，则角可以是( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值、找出终边相同的角 【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解. 【详解】由角终边经过点，知，且为第四象限角.故选：B 【典例2-2】(25-26高三上·黑龙江·阶段练习)已知，则为(    ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D【难度】0.85 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】直接由三角函数在各象限的符号取交集得答案. 【详解】根据三角函数的定义，由，可得为第二或第四象限角； 由，可得为第一、第四象限及轴非负半轴上的角， 取交集可得，是第四象限角．故选：D. 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·四川广安·期中)给出下列各三角函数值，其中符号为负的是( ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.94 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据角所在的象限判断各选项即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由于，为第二象限角， 则，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确.故选：ABD. 【典例2-4】(24-25高一下·上海·阶段练习)已知角的终边经过点，则 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】根据三角函数的定义，， 则．故答案为：. 【变式2-1】(25-26高三上·甘肃·阶段练习)在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义计算求解. 【详解】根据三角函数的概念，得，，所以.故选：C. 【变式2-2】(25-26高三上·北京朝阳·期中)已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边经过点， 所以.故选：C 【变式2-3】(25-26高三上·河北邢台·阶段练习)已知角是第四象限角，且，则角是(   ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D【难度】0.65 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、确定n分角所在象限 【分析】根据角是第四象限角列出不等式计算得出角的范围并结合余弦值求解. 【详解】因为角是第四象限角，所以， 所以 ，所以角是第二象限角或第四象限角． 又因为，即，所以角是第四象限角．故选：D． 【变式2-4】(24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习)已知 是第二象限角，则下列说法一定正确的是 (    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据条件求出角的范围，结合三角函数性质判断各选项. 【详解】由题，可得，，则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B错误； 对于C，由，则正负不确定，故C错误； 对于D，因为是第二象限角，所以，故D错误.故选：A. 【变式2-5】(多选)(25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习)下列结论正确的有( ) A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．已知点在第四象限，则角终边在第二象限； 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、扇形面积的有关计算、找出终边相同的角 【分析】利用三角函数符号法则判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；求出角的集合表达式判断C；根据判断D. 【详解】解：对于A，由，得，则，A正确； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得， 解得，因此扇形的弧长为，B正确； 对于C，终边落在射线上的角集合为， 终边落在射线上的角集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，C错误； 对于D，由点在第四象限得，故角终边在第二象限，D正确.故选：ABD 【变式2-6】(25-26高三上·天津滨海新·阶段练习)角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边上有一点，则 【答案】/0.6【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】因为点在角的终边上， 所以，则.故答案为：. 题型03 诱导公式 【典例3-1】(2025高三·全国·专题练习)已知，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】诱导公式一 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，则.故选：B 【典例3-2】(25-26高三上·安徽·阶段练习)角α以Ox为始边，它的终边在第一象限与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为(    ) A．- B． C．- D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、已知正(余)弦求余(正)弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义得到，再利用诱导公式求解即可. 【详解】因为角以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为， 所以，又.故选：C 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·安徽·期中)(   ) A． B． C． D． 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】由三角形的诱导公式对选项一一化简即可得出答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确.故选：BD. 【典例3-4】(24-25高三上·辽宁·阶段练习)设第三象限角满足，则 . 【答案】【难度】0.65 【知识点】已知弦(切)求切(弦)、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式求得，再根据同角三角函数关系求得即可. 【详解】由诱导公式可得，又是第三象限角， 故，故.故答案为：. 【变式3-1】(25-26高三上·安徽·阶段练习)角的终边过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由诱导公式可得，利用三角函数的定义求出即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以，所以，故选：C 【变式3-2】(25-26高一上·全国·课前预习)(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【详解】．故选：D． 【变式3-3】(2025·四川绵阳·模拟预测)已知为第二象限角，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、已知弦(切)求切(弦) 【分析】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可. 【详解】因为，则，即 且，即，可得， 且为第二象限角，则，可得， .故选：A. 【变式3-4】(25-26高三上·北京·阶段练习)在平面直角坐标系中，锐角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为．将角沿逆时针旋转角后，得到角，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数定义及诱导公式求解. 【详解】因为锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为， 由三角函数定义可知， 又将角逆时针旋转角后得到角， 所以.故选：B. 【变式3-5】(多选)(24-25高二下·江苏常州·期末)已知点在角的终边上，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式逐一分析即可. 【详解】对于：，所以， 平方得，解得，故错误； 对于：，故正确； 对于：，故正确； 对于：，故正确.故选：. 【变式3-6】(河北省石家庄市2026届高三上学期11月教学质量摸底检测数学试卷)已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，所以.故答案为： 题型04 同角关系 【典例4-1】(2025·辽宁·模拟预测)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以转化为的表达式，代入求解即可. 【详解】因为，分子分母同除除以， ，故选：D. 【典例4-2】(25-26高三上·河北保定·期中)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由同角三角函数关系得，进而利用求解即可. 【详解】解：由，知， 由题意，即， 由，得， 所以.故选：A. 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·辽宁朝阳·期末)已知，则(    ) A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦(切)求切(弦) 【分析】利用同角三角函数得基本关系：，，结合象限符号和的范围依次判断各选项的正误. 【详解】设，则. 代入，得：. ,解得： 因为，与同号，故，两解均成立. 故A对. 当时，，故，即. 设，()，则， 此时，，故B错. 当时，，故. 所以，故C对. 当为第三象限角时，，，故. 所以 开方，故D对.故选：ACD. 【典例4-4】(25-26高二上·河南·阶段练习)已知，则 . 【答案】3【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据齐次式弦切互化，即可代入求解. 【详解】因为，所以.故答案为：3 【变式4-1】(25-26高二上·云南·开学考试)已知，则(   ) A． B． C．8 D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】已知弦(切)求切(弦)、正、余弦齐次式的计算 【分析】由已知求得，化为二次齐次式，再化为的代数式，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以.故选：D. 【变式4-2】(25-26高三上·四川遂宁·期中)已知，则(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据给定条件，利用齐次法计算得解. 【详解】由，得.故选：C 【变式4-3】(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦(切)求切(弦) 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及完全平方公式化简即可求解. 【详解】已知，两边平方可得， 即； 因为，所以，解得. 则 .故选：C. 【变式4-4】(2025·四川绵阳·模拟预测)已知，且，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数的基本关系，结合角的取值范围，可求角的各种三角函数值. 【详解】因为，所以. 因为 由①得，代入②得：. 整理得：， 结合，所以， 所以，所以.故选：B 【变式4-5】(多选)(25-26高三上·重庆·阶段练习)下列说法正确的是(    ) A．若终边上一点的坐标为，则 B．若角为锐角，则为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D．若，且，则 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、扇形弧长公式与面积公式的应用、已知弦(切)求切(弦) 【分析】由终边上的点坐标及余弦函数的定义判断A；特殊角判断B；应用扇形的弧长、面积公式判断C；利用同角三角函数关系求已知角的正余弦值，进而求正切值判断D. 【详解】A，由终边上的点，知，对； B，由锐角，则也是锐角，错； C，设扇形半径为，根据弧长公式有弧长，则， 所以扇形面积为，对； D，由题设，则， 又，则，结合，可得， 所以，对.故选：ACD 【变式4-6】(25-26高三上·广东广州·阶段练习)已知为第一象限角，且，则 ； ． 【答案】；【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】已知条件与联立，结合同角三角函数关系式即可得到答案. 【详解】由条件得：， 展开左边：， 利用 ，得：， 解得：， ， ， 因为 在第一象限，，所以：， 联立，解得：， 故.故答案为：； 题型05 三角恒等变形 【典例5-1】(24-25高二下·云南·期末)(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦公式计算即可. 【详解】.故选：B 【典例5-2】(25-26高三上·湖北黄冈·期中)已知，，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】先求出，再利用两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】因为，，则， 则.故选：B. 【典例5-3】(25-26高三上·山东烟台·期中)已知锐角满足，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】由条件可知，通过已知条件与和差角公式化简得的值，解方程得到，的值，再由二倍角公式求得的值，从而得出角的值. 【详解】由，得， 所以，又， 则， 解得或， 当时，因为，所以，此时不存在； 当时，因为，所以，而， 则，因为为锐角，所以.故选：B. 【典例5-4】(多选)(24-25高一下·江苏连云港·阶段练习)下列等式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.94 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确；故选：ABD 【变式5-1】(2025高三·全国·专题练习)已知，则的值(    ) A．2 B．-2 C．3 D．-3 【答案】C【难度】0.94 【知识点】二倍角的余弦公式、已知弦(切)求切(弦) 【分析】根据二倍角余弦公式进行化简求解即可. 【详解】，故选C. 【变式5-2】(2025·广东清远·一模)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式求解. 【详解】由，得，由，得， 所以.故选：B 【变式5-3】(陕西省多校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题(北师大版))已知，且，则(    ) A．1 B． C．3 D．或3 【答案】B【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、已知弦(切)求切(弦)、二倍角的正弦公式 【分析】由二倍角公式化简条件，因式分解求值. 【详解】因为，所以， 所以，即， 则，解得或. 因为，所以，所以.故选：B. 【变式5-4】(25-26高三上·广东·月考)已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式 【分析】根据任意角正切的定义求得，根据二倍角的正切公式求得. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 所以.故选：D. 【变式5-5】(2025·广东肇庆·一模)已知，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正(余)弦求余(正)弦、二倍角的正弦公式 【分析】根据给定条件，利用同角公式、二倍角的正余弦公式及差角的正弦公式计算得解. 【详解】由，得，令，则， 即，于是，，， 所以.故选：D 【变式5-6】(多选)(25-26高三上·河南南阳·期中)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式、二倍角的正弦公式 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式先求出和，再由诱导公式和倍角公式即可逐一求解. 【详解】由题，A正确； 又，所以，所以，B正确； ，C错误； ，D正确.故选：ABD． 题型06 三角函数图象性质 【典例6-1】(25-26高一上·全国·课前预习)用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】五点法画余弦(型)函数的图象 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上．故选：D 【典例6-2】(24-25高一下·广东茂名·期末)下列函数中，最小正周期为的奇函数是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】求正弦(型)函数的最小正周期 【分析】利用周期计算公式判断ABC中函数的周期，根据的图像判断其周期. 【详解】的最小正周期为，的最小正周期为， 的最小正周期为，的最小正周期为但不是奇函数.故选：B 【典例6-3】(24-25高一下·四川成都·期末)函数的定义域为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94 【知识点】求正切(型)函数的定义域 【分析】由正切函数定义可得答案. 【详解】当时，正切函数无意义，故函数的定义域为：.故选：A 【典例6-4】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)下列关于函数的表述正确的是(    ) A．在上单调递减 B．当时，函数取得最大值2 C．函数是偶函数 D．函数的值域为 【答案】CD【难度】0.94 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、求余弦(型)函数的奇偶性 【分析】根据余弦型函数的相关性质逐项判断即可. 【详解】A错，，则，则在上不单调． B错，当时，． C对，因为，且函数的定义域为，所以函数是偶函数． D对，的值域为，所以的值域为．故选：CD. 【变式6-1】(24-25高一下·湖北宜昌·期末)下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求含sinx的函数的奇偶性、求sinx的函数的单调性、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】根据基本初等函数的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】是偶函数，所以A错误； 是奇函数，且在上单调递增，所以B正确； 是偶函数，所以C错误； 在和上无定义，所以D错误；故选：B. 【变式6-2】(23-24高一下·上海·期中)关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为(    ) A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B【难度】0.94 【知识点】求正切(型)函数的值域及最值 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以.故选：B. 【变式6-3】(24-25高一上·全国·周测)用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是(   ) A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D【难度】0.94 【知识点】五点法画正弦(型)函数的图象 【分析】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【详解】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标.故选：D． 【变式6-4】(25-26高三上·河南·期中)若函数在区间上的值域为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】由cosx(型)函数的值域(最值)求参数 【分析】根据余弦函数的性质及已知区间的值域有、，即可得. 【详解】由上函数的值域为，故， 所以，故，则.故选：B 【变式6-5】(多选)(24-25高一上·四川泸州·期末)已知函数，则(   ) A．的最大值为1 B．在上是增函数 C．为的一个周期 D．在上有两个零点 【答案】AC【难度】0.94 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、求正弦(型)函数的最小正周期 【分析】利用数形结合即可作出判断. 【详解】作出函数图象，如图： 根据图象可知：的最大值为1，故A正确， 在上是减函数，故B错误， 为的一个周期，故C正确， 在上有三个零点，故D错误，故选：AC. 【变式6-6】(25-26高三上·北京朝阳·期中)函数的定义域是 . 【答案】【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求正切(型)函数的定义域 【分析】定义域是两个函数定义域的交集. 【详解】因为函数的定义域为，的定义域为， 所以函数的定义域为，故答案为：. 题型07 的性质 【典例7-1】(25-26高三上·广东·开学考试)函数的最小正周期是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94 【知识点】求正弦(型)函数的最小正周期 【分析】利用正弦型三角函数的周期公式即可求解. 【详解】最小正周期为.故选：C. 【典例7-2】(24-25高一下·广东清远·期中)要得到函数的图象，只需将的图象(    ) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B【难度】0.85 【知识点】描述正(余)弦型函数图象的变换过程 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.. 【详解】由题意可得的图象向右平移个单位可得，故B正确. 故选：B. 【典例7-3】(多选)(25-26高二上·贵州遵义·期中)已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是(   ) A． B．点的坐标为 C．当时，函数的值域是 D．函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、函数奇偶性的定义与判断、求图象变化前(后)的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】对A，将点代入运算得解；对B，由运算判断；对C，由图象可判断；对D，由题得到平移后的表达式，再判断的奇偶性，即可判断D. 【详解】对于A，由的图象过点，则，得， 所以，又，则，故A正确； 对于B，由，得周期，所以，得，所以，故B错误； 对于C，由B结合函数图象可得，的值域为，故C正确； 对于D，将的图象向右平移个单位长度后，得， 因为，所以函数是奇函数，故D正确.故选：ACD. 【典例7-4】(24-25高一下·上海·阶段练习)已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式 【分析】由图象可得振幅和周期，从而可得，再利用最高点的坐标可求，得解. 【详解】根据函数的部分图象知，，，所以， 由，得，，解得，； 又，所以，所以．故答案为：. 【变式7-1】(25-26高三上·广西·开学考试)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则(    ) A． B．0 C． D．2 【答案】A【难度】0.94 【知识点】求图象变化前(后)的解析式 【分析】利用图象变换得，再计算. 【详解】由题意可得， 则.故选：A. 【变式7-2】(2025·山东泰安·模拟预测)函数的图像关于直线对称，则的一个可能值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 【分析】由题可知，再逐项判断即可． 【详解】函数关于对称，则在该点取得最值， 即，解得， 对于A，令，解得，故A正确； 对于B，令，解得，不为整数，故B错误； 对于C，令，解得，不为整数，故C错误； 对于D，令，解得，不为整数，故D错误；故选：A． 【变式7-3】(2025·广东广州·模拟预测)把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求图象变化前(后)的解析式 【分析】根据平移的性质可得，进而利用整体法即可求解. 【详解】由题意可得， 令，解得， 故单调递增区间为，故选：A 【变式7-4】(24-25高二下·云南楚雄·月考)将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前(后)的解析式 【分析】先得出平移后的解析式，再根据奇偶性得出，，最后根据范围即可. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为 ， 因为的图象关于y轴对称， 所以，，解得，，因为，所以.故选：D. 【变式7-5】(多选)(25-26高二上·云南玉溪·月考)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(    )    A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求图象变化前(后)的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】由已知，， ∴，则， ∵图象过，∴， ∴，，又，∴， ∴， 显然，∴的图象关于点对称，A正确； 令，得，∴的对称轴为， 令，得，故B错误； 时，令，在上递增，因此C正确； 把的图象向右平移个单位长度，得函数表达式为，它是偶函数，D正确．故选：ACD． 【变式7-6】(25-26高一上·全国·单元测试)已知，函数在上单调递减，则的取值个数为 ． 【答案】4【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由题在上单调递减，利用整体法可知，解不等式结合题目条件即可求解. 【详解】，不妨先取， ，， 令，则在上单调递减， 所以，解得，， 又，所以， 又，所以可以为2，3，4，10共4个取值；故答案为：4. 一、单选题 1.(25-26高一上·全国·课后作业)若角的终边相同，则的终边在(    ) A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【答案】A【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角、轴线角 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断. 【详解】由角的终边相同，则，即， 所以的终边在轴的非负半轴上.故选：A 2.(25-26高三上·广东河源·期中)已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则，所以 则该扇形的面积为.故选：B. 3.(25-26高三上·山东·期中)已知，则的值为(   ) A． B． C． D．5 【答案】C【难度】0.85 【知识点】已知弦(切)求切(弦)、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用同角三角函数的商的关系计算即可. 【详解】由,所以.故选：C 4.(25-26高一上·全国·课前预习)已知角的终边与单位圆的交点为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据交点求出，结合选项验证即可. 【详解】由题得．所以，A错误； ，B错误；，C正确；，D错误． 故选：C 5.(24-25高三上·福建漳州·阶段练习)已知，且，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦(切)求切(弦) 【分析】利用同角三角函数的基本关系将平方得，再求出，，再计算即可. 【详解】由得，即. 所以. 由于，，所以,此时. 故. 联立,解得，. 故.故选：B. 6.(25-26高三上·河北石家庄·期中)“”是“函数的图象关于对称”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求cosx(型)函数的对称轴及对称中心 【分析】根据余弦型函数的对称轴及充分条件、必要条件求解即可. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，即， 可得是函数的图象关于对称的充分不必要条件.故选：A 7.(2025·甘肃武威·模拟预测)已知，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦(切)求切(弦)、二倍角的正切公式 【分析】利用同角三角函数关系式，结合已知条件求得，根据二倍角的正切公式，结合的取值范围，求得. 【详解】由，得，所以. ，所以，所以. 所以，，所以. 所以，所以. 所以，化简得：，解得：，或. 因为，所以，所以；故选：B. 8.(24-25高一上·浙江丽水·期末)函数在区间 上的最大值与最小值之差的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.15 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦(型)函数的值域(最值)求参数 【分析】令， ，可将问题转化为在区间 上的最大值与最小值之差的范围，然后分别讨论在，，，四种范围下的最值情况，可得答案. 【详解】因，则， 令，则，又令， 则问题等价于求在区间 上的最大值与最小值之差的范围. 下列提及的，均满足. 当， 则此时在上单调递增， 则， 因， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则在上单调递增，在上单调递减. 则， 其中. 注意到， 则，则，则此时； 当， 则此时在上单调递减， 则， 因， 在上单调递增，在上单调递减， 则此时， ； 即此时； 当， 则在上单调递减，在上单调递增. 则， 其中. 注意到， 则，则，则此时； 注意到 ， 则当时，在区间上的最大值与最小值之差的范围为： ， 即在区间 上的最大值与最小值之差的取值范围是：.故选：D 二、多选题 9.(25-26高一上·全国·课前预习)(多选)下列说法正确的是(   ) A．小于的角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．钝角是第二象限角 D．经过4小时，时针转了 【答案】CD【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角、任意角的概念 【分析】根据角的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】小于的角还包括零角和负角，锐角是大于小于的角，故A错误； 若，，则角和角的终边相同，但，B错误； 因为大于且小于的角为钝角，所以钝角是第二象限角，C正确； 因为时针旋转为顺时针，所以形成的角为负角，故经过4小时，时针转了，D正确． 故选：CD 10.(25-26高三上·河北邯郸·期中)已知函数的最小正周期为，点是曲线的一个对称中心，则(    ) A． B． C．的最小值为 D．当时， 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】求正切(型)函数的对称中心、用和、差角的正切公式化简、求值、求正切(型)函数的周期、二倍角的正切公式 【分析】对于A选项，通过正切型函数的周期公式直接求解即可； 对于B选项，计算出函数的周期，然后直接代入求解即可； 对于C选项，通过整体代入法求解函数的对称中心即可； 对于D选项，利用正切的和差角及二倍角公式进行求解即可. 【详解】对于A选项，由，得：，故A选项正确； 对于B选项，已知函数周期，则，故B选项正确； 对于C选项，由()，得：()，即：()， 当时，取得最小值，的最小值为，故C选项错误； 对于D选项，已知，则， .故D选项正确；故选ABD. 11.(24-25高一下·湖北·期中)将函数，(，，)的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是(   ) A．函数的解析式为 B．函数的对称中心为 C．若，则x的取值范围为 D．若方程在内恰有两个根，则 【答案】ACD【难度】0.15 【知识点】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、三角函数综合、求图象变化前(后)的解析式 【分析】先通过图象变换得到，然后利用三角函数的性质，通过整体代入求函数的对称中心和不等式的解集，最后利用整体代换的思想将令，将转化为，得出答案. 【详解】左平移个单位长度 横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍 向下平移个单位长度 所以，即，A项正确. 由得， 即函数的对称中心为，B项错误. 由，得，由三角函数的图象可得 ，所以x的取值范围为，C项正确. 令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则即在内恰有两个根， 所以，， 故，D项正确.故选：ACD. 三、填空题 12.(24-25高一下·上海·阶段练习)已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为 ． 【答案】【难度】0.94 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形面积公式直接求解即可. 【详解】设扇形圆心角的弧度为， 扇形面积，.故答案为：. 13.(25-26高一上·全国·课后作业)已知某地区某天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】4；6【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为，故答案为：4；6 14.(24-25高一下·上海·阶段练习)已知定义域为R的函数的解析式为，若在区间上至多出现2025个最小值，且对任意实数s，在上至少出现2025个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.15 【知识点】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意可得，再由可得，列出不等式代入计算，即可得到的取值范围. 【详解】由得，即， 由题意可得，得， 由得，所以相邻零点之间相距或， 由题意知， 所以实数的取值范围为．故答案为： 四、解答题 15.(2025高三·全国·专题练习)2023年8月8日，第31届世界大学生夏季运动会(成都世界大学生运动会)完美收官.在倒计时100天时，成都大运会发布了官方体育图标——十八墨宝.这组水墨熊猫以大熊猫奇一为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致.十八墨宝花式演绎十八个体育竞技项目.其中，射箭的水墨熊猫(如图所示)以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为2cm，弦长为8cm，求弓形的面积约为多少？(精确到0.1，参考数据：)    【答案】【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据勾股定理可求解半径，即可由扇形面积公式求解. 【详解】如图所示，，所以. 设圆的半径为R，. 在中，由勾股定理可得，所以. 因为.所以， 所以， 所以扇形的面积， 又因为的面积，所以弓形面积约为.   16.(25-26高一上·贵州铜仁·阶段练习)已知． (1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值；(3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.85 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、诱导公式一、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】(1)利用诱导公式可化简的表达式； (2)利用同角三角函数的平方关系求出的值，由此可得出的值； (3)利用诱导公式可化简得出的值. 【详解】(1). (2)因为是第三象限角，且， 所以，故， 因此. (3)当时，. 17.(24-25高一下·上海·阶段练习)如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上(包括T，N两点)．设，矩形PQCR的面积为． (1)求关于的函数表达式；(2)求的最大值，并求此时的值． 【答案】(1)；(2)，此时或 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用 【分析】(1)延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，根据边角关系得出，，再求即可； (2)令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】(1)延长RP交AB于E，延长QP交AD于F， 由四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，可知，， 由，，，可得，， 所以，， 所以 故S关于θ的函数表达式为．   (2)令， 则，即， 而， 由，则， 即，即， 所以， 函数开口向上，对称轴为，所以当时，即， 解得或，此时S取得最大值，最大值为． 18.(25-26高二上·北京·期中)已知函数． (1)求函数的最小正周期；(2)若，求函数的值域； (3)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3).【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】(1)利用三角恒等变换得到，求出最小正周期； (2)在(1)基础上，得到，求出； (3)转化为在上有且仅有两个解，求出，数形结合得到，求出答案. 【详解】(1) ， 的最小正周期； (2)，， 故，， 故函数值域为； (3)函数， 即，， 故在上有且仅有两个零点， 等价于在上有且仅有两个解， ，， 要想在上有且仅有两个解， 则，解得， 故m的取值范围为. 19.(24-25高一下·甘肃武威·期中)(1)已知函数，. (i)，先将的图像向右平移个单位长度，再将其横坐标变为原来的4倍，求得到函数的单调递减区间和最小正周期T； (ii)若是第一象限角，求的最小值. (2)已知值不为0的函数，其定义域为M，且.定义如下：，有，求在这样的的值域中，最多有几个元素. 【答案】(1)(i)答案见解析；(ii)；(2)【难度】0.15 【知识点】求图象变化前(后)的解析式、复杂(根式型、分式型等)函数的值域、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】(1)先化简解析式，(i)由图象平移求新函数解析式，并求单调区间与周期，注意定义域；(ii)结合整体换元与几何意义，转化为求轴上点到两点，距离之和的最小值，利用对称可解； (2)分别赋值，，结合，分析解析式与定义域，再代值可得. 【详解】(1)； ； (i)， 则的图像向右平移个单位长度得函数 ； 再横坐标变为原来的4倍得函数 ，， 由解得，, 又，则， 故所得函数的单调递减区间，； 且最小正周期为. (ii). 若是第一象限角，令，则， 则转化为求函数的最小值. 又； ； 则. 则根据几何意义，表示到与两点的距离之和的倍， 如图，可先求轴上点到两点，距离之和的最小值， 作点关于轴的对称点， 则 (当三点共线时等号成立，此时满足)； 故. 即的最小值为. (2)，有， 由，则可令，可得， 则， 若，则，这与已知矛盾，故， 即，设， 则，； 再令，任意，都有恒成立， 由，故，解得. 即定义域必为或其子集. 由， 故值域中仅含个元素，即最多个元素. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 教学目标 1.理解掌握终边相同的角的集合，理解弧度制，掌握弧长、扇形面积有关公式， 2.理解掌握三角函数的概念，掌握符号法则， 3.掌握同角关系、诱导公式、和差角公式、二倍角公式；掌握三角恒等变形的基本方法， 4.掌握三角函数的图象性质. 教学重难点 1.重点是三角函数概念、三角恒等变形、三角函数图象性质； 2.难点是：三角恒等变形、三角函数图象性质. 知识点01 角的概念的推广 (一)角的概念 1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2.角的分类： 3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (二)几种特殊位置的角的集合 1.象限角的集合： (1)第一象限角：； (2)第二象限角：； (3)第三象限角：； (4)第四象限角：； 2.轴线角的集合: (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：. (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：. (3)终边在x轴上的角的集合：. (4)终边在y轴上的角的集合：. (5)终边在坐标轴上的角的集合：. 3.终边在特殊直线上： ①终边在直线y＝x上的角的集合：. ②终边在直线y＝－x上的角的集合：. ③终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：. (三)几种互为对称的角 (1)如果终边关于x轴对称 (2)如果终边关于y轴对称 (3)如果终边关于原点对称 二．弧度制： 1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示. 2.正角、负角和零角的弧度数 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3.角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad. (2)1 rad＝. 4.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ 相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝＝|α|r. (2)扇形的面积公式：S＝lr＝＝|α|r2. 【即学即练1-1】(24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习)下列各角中，与终边相同的角为(   ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为(    ) A． B． C． D． 知识点02 三角函数概念 1.利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： sin α＝y. cos α＝x. tan α＝(x≠0). 2.利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，那么： sin α＝. cos α＝. tan α＝(x≠0). 3.符号法则：一全二正三切四余 4.特殊角的三角函数值 角度 弧度 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 5.三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值. 其中：，，； 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0; 当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 【即学即练2-1】(2025·吉林长春·模拟预测)若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(24-25高二下·云南·期末)若，则为(   ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 知识点03 诱导公式 1.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限． “奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数． “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变． “符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限． 3.通用公式：； 【即学即练3-1】(25-26高二上·云南·期中)角的终边过点，则(    ) A． B． C． D． 【即学即练3-2】(24-25高二上·云南昆明·期中)(   ) A． B． C． D． 知识点04 同角关系 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan α． 2.变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α， (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α． 【即学即练4-1】(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)已知，且为锐角，则的值为(   ) A． B． C． D． 【即学即练4-2】(25-26高三上·河北衡水·期中)若，且，则(   ) A． B． C． D． 知识点05 三角恒等变形 1.和差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ． 拓展：万能公式： ， ， 3.常用变形结论 (1)降幂公式： ； ． (2)升幂公式：1＋cos α＝2； 1－cos α＝2； 1＋sin α＝； 1－sin α＝． (3)正切和差角公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的　sin α±cos α＝sin； sin α±cos α＝2sin； sin α±cos α＝2sin． 4.拆分角问题：①； ②；； ③；； ④；. 5.拓展公式： (1)正余弦平方差公式： . (2)三倍角公式 ：, (3)和差化积公式： , ; , ; 【即学即练5-1】(2025高二下·北京·学业考试)(   ) A． B． C． D．1 【即学即练5-2】(25-26高一上·湖南衡阳·阶段练习)计算(   ) A． B． C． D． 知识点06 三角函数图象性质 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【即学即练6-1】(25-26高三上·安徽·阶段练习)若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为(    ) A．0 B． C． D． 【即学即练6-2】(25-26高三上·云南昆明·阶段练习)函数 的最小正周期是(    ) A．2π B．π C． D． 知识点07 的性质 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ (2)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个如下表所示的特征点： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (3)图象变换： 二．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象性质 1．周期性 函数 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 周期T T＝ T＝ T＝ 函数 y＝|Asin(ωx＋φ)| y＝|Acos(ωx＋φ)| y＝|Atan(ωx＋φ)| 周期T T＝ T＝ T＝ 函数 y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0) y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0) y＝|Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0) 周期T T＝ T＝ T＝ 注意：并非所有周期函数都有最小正周期，例如：. 2．奇偶性 函数 是奇函数的条件 是偶函数的条件 y＝Asin(ωx＋φ) φ＝kπ(k∈Z) φ＝kπ＋ (k∈Z) 为最大值(或最小值) y＝Acos(ωx＋φ) φ＝kπ＋ (k∈Z) φ＝kπ(k∈Z) y＝Atan(ωx＋φ) φ＝kπ(k∈Z) 无 3．对称性 函数 对称轴的条件与对称轴方程 对称中心的条件与对称中心坐标 y＝Asin(ωx＋φ) ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z) ωx＋φ＝kπ(k∈Z) y＝Acos(ωx＋φ) ωx＋φ＝kπ(k∈Z) ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) y＝Atan(ωx＋φ) 无 ωx＋φ＝(k∈Z) 4．单调性 函数 递增区间 递减区间 条件 区间 条件 区间 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 5．最值 函数 取最大值的条件(k∈Z) 最大值 取最小值的条件(k∈Z) 最小值 ωx＋φ＝2kπ＋ A+m ωx＋φ＝2kπ＋ -A+m ωx＋φ＝2kπ A+m ωx＋φ＝2kπ+π -A+m 无最值 【即学即练7-1】(24-25高二下·云南·期末)要得到函数的图象，只需将函数的图象(   ) A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【即学即练7-2】(2025·江苏淮安·模拟预测)函数的图像如图所示，则(    ) A． B． C． D． 题型01 角的概念的推广 【典例1-1】(24-25高一下·贵州遵义·阶段练习)把表示成的形式，且使，则的值为(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(25-26高三上·陕西商洛·阶段练习)若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为(    ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(24-25高一上·江苏盐城·阶段练习)下列说法正确的是(    ) A．1弧度的角与的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角的集合为 【典例1-4】(25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习)如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 【变式1-1】(25-26高一上·全国·单元测试)与角终边相同的角是(    ) A．25° B．113° C． D．225° 【变式1-2】(24-25高一上·天津·阶段练习)一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】(25-26高一上·河北保定·阶段练习)已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为(   ) A． B． C． D． 【变式1-4】(24-25高一上·四川广安·开学考试)如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为(　　) A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)(2025高一·全国·专题练习)下列说法中正确的是(    ) A．终边在直线上角的集合是 B．若，则为第四象限角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【变式1-6】(25-26高一上·全国·期末)月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积．该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题．如图所示，为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ，Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则三个区域的总面积为 ． 题型02 三角函数概念 【典例2-1】(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系中，角以为顶点，为始边，终边经过点，则角可以是( ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高三上·黑龙江·阶段练习)已知，则为(    ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·四川广安·期中)给出下列各三角函数值，其中符号为负的是( ) A． B． C． D． 【典例2-4】(24-25高一下·上海·阶段练习)已知角的终边经过点，则 ． 【变式2-1】(25-26高三上·甘肃·阶段练习)在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则(   ) A． B． C． D． 【变式2-2】(25-26高三上·北京朝阳·期中)已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】(25-26高三上·河北邢台·阶段练习)已知角是第四象限角，且，则角是(   ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式2-4】(24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习)已知 是第二象限角，则下列说法一定正确的是 (    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习)下列结论正确的有( ) A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．已知点在第四象限，则角终边在第二象限； 【变式2-6】(25-26高三上·天津滨海新·阶段练习)角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边上有一点，则 题型03 诱导公式 【典例3-1】(2025高三·全国·专题练习)已知，则( ) A． B． C． D． 【典例3-2】(25-26高三上·安徽·阶段练习)角α以Ox为始边，它的终边在第一象限与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为(    ) A．- B． C．- D． 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·安徽·期中)(   ) A． B． C． D． 【典例3-4】(24-25高三上·辽宁·阶段练习)设第三象限角满足，则 . 【变式3-1】(25-26高三上·安徽·阶段练习)角的终边过点，则(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】(25-26高一上·全国·课前预习)(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】(2025·四川绵阳·模拟预测)已知为第二象限角，且，则(   ) A． B． C． D． 【变式3-4】(25-26高三上·北京·阶段练习)在平面直角坐标系中，锐角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为．将角沿逆时针旋转角后，得到角，则(    ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(24-25高二下·江苏常州·期末)已知点在角的终边上，且，则(    ) A． B． C． D． 【变式3-6】(河北省石家庄市2026届高三上学期11月教学质量摸底检测数学试卷)已知角的终边经过点，则 ． 题型04 同角关系 【典例4-1】(2025·辽宁·模拟预测)已知，则(    ) A． B． C． D． 【典例4-2】(25-26高三上·河北保定·期中)已知，则(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·辽宁朝阳·期末)已知，则(    ) A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 【典例4-4】(25-26高二上·河南·阶段练习)已知，则 . 【变式4-1】(25-26高二上·云南·开学考试)已知，则(   ) A． B． C．8 D． 【变式4-2】(25-26高三上·四川遂宁·期中)已知，则(    ) A．2 B．3 C． D． 【变式4-3】(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式4-4】(2025·四川绵阳·模拟预测)已知，且，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(25-26高三上·重庆·阶段练习)下列说法正确的是(    ) A．若终边上一点的坐标为，则 B．若角为锐角，则为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D．若，且，则 【变式4-6】(25-26高三上·广东广州·阶段练习)已知为第一象限角，且，则 ； ． 题型05 三角恒等变形 【典例5-1】(24-25高二下·云南·期末)(   ) A． B． C． D． 【典例5-2】(25-26高三上·湖北黄冈·期中)已知，，则的值是(    ) A． B． C． D． 【典例5-3】(25-26高三上·山东烟台·期中)已知锐角满足，且，则(    ) A． B． C． D． 【典例5-4】(多选)(24-25高一下·江苏连云港·阶段练习)下列等式正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式5-1】(2025高三·全国·专题练习)已知，则的值(    ) A．2 B．-2 C．3 D．-3 【变式5-2】(2025·广东清远·一模)已知，则(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】(陕西省多校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题(北师大版))已知，且，则(    ) A．1 B． C．3 D．或3 【变式5-4】(25-26高三上·广东·月考)已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【变式5-5】(2025·广东肇庆·一模)已知，且，则(   ) A． B． C． D． 【变式5-6】(多选)(25-26高三上·河南南阳·期中)已知，则(    ) A． B． C． D． 题型06 三角函数图象性质 【典例6-1】(25-26高一上·全国·课前预习)用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是(   ) A． B． C． D． 【典例6-2】(24-25高一下·广东茂名·期末)下列函数中，最小正周期为的奇函数是(   ) A． B． C． D． 【典例6-3】(24-25高一下·四川成都·期末)函数的定义域为(   ) A． B． C． D． 【典例6-4】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)下列关于函数的表述正确的是(    ) A．在上单调递减 B．当时，函数取得最大值2 C．函数是偶函数 D．函数的值域为 【变式6-1】(24-25高一下·湖北宜昌·期末)下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是( ) A． B． C． D． 【变式6-2】(23-24高一下·上海·期中)关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为(    ) A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【变式6-3】(24-25高一上·全国·周测)用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是(   ) A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【变式6-4】(25-26高三上·河南·期中)若函数在区间上的值域为，则(   ) A． B． C． D． 【变式6-5】(多选)(24-25高一上·四川泸州·期末)已知函数，则(   ) A．的最大值为1 B．在上是增函数 C．为的一个周期 D．在上有两个零点 【变式6-6】(25-26高三上·北京朝阳·期中)函数的定义域是 . 题型07 的性质 【典例7-1】(25-26高三上·广东·开学考试)函数的最小正周期是(    ) A． B． C． D． 【典例7-2】(24-25高一下·广东清远·期中)要得到函数的图象，只需将的图象(    ) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【典例7-3】(多选)(25-26高二上·贵州遵义·期中)已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是(   ) A． B．点的坐标为 C．当时，函数的值域是 D．函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数 【典例7-4】(24-25高一下·上海·阶段练习)已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 【变式7-1】(25-26高三上·广西·开学考试)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则(    ) A． B．0 C． D．2 【变式7-2】(2025·山东泰安·模拟预测)函数的图像关于直线对称，则的一个可能值是(    ) A． B． C． D． 【变式7-3】(2025·广东广州·模拟预测)把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为(   ) A． B． C． D． 【变式7-4】(24-25高二下·云南楚雄·月考)将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则(    ) A． B． C． D． 【变式7-5】(多选)(25-26高二上·云南玉溪·月考)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(    )    A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 【变式7-6】(25-26高一上·全国·单元测试)已知，函数在上单调递减，则的取值个数为 ． 一、单选题 1.(25-26高一上·全国·课后作业)若角的终边相同，则的终边在(    ) A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 2.(25-26高三上·广东河源·期中)已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为(   ) A． B． C． D． 3.(25-26高三上·山东·期中)已知，则的值为(   ) A． B． C． D．5 4.(25-26高一上·全国·课前预习)已知角的终边与单位圆的交点为，则(   ) A． B． C． D． 5.(24-25高三上·福建漳州·阶段练习)已知，且，则的值为(    ) A． B． C． D． 6.(25-26高三上·河北石家庄·期中)“”是“函数的图象关于对称”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.(2025·甘肃武威·模拟预测)已知，，则( ) A． B． C． D． 8.(24-25高一上·浙江丽水·期末)函数在区间 上的最大值与最小值之差的取值范围是(   ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(25-26高一上·全国·课前预习)(多选)下列说法正确的是(   ) A．小于的角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．钝角是第二象限角 D．经过4小时，时针转了 10.(25-26高三上·河北邯郸·期中)已知函数的最小正周期为，点是曲线的一个对称中心，则(    ) A． B． C．的最小值为 D．当时， 11.(24-25高一下·湖北·期中)将函数，(，，)的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是(   ) A．函数的解析式为 B．函数的对称中心为 C．若，则x的取值范围为 D．若方程在内恰有两个根，则 三、填空题 12.(24-25高一下·上海·阶段练习)已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为 ． 13.(25-26高一上·全国·课后作业)已知某地区某天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 14.(24-25高一下·上海·阶段练习)已知定义域为R的函数的解析式为，若在区间上至多出现2025个最小值，且对任意实数s，在上至少出现2025个零点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 15.(2025高三·全国·专题练习)2023年8月8日，第31届世界大学生夏季运动会(成都世界大学生运动会)完美收官.在倒计时100天时，成都大运会发布了官方体育图标——十八墨宝.这组水墨熊猫以大熊猫奇一为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致.十八墨宝花式演绎十八个体育竞技项目.其中，射箭的水墨熊猫(如图所示)以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为2cm，弦长为8cm，求弓形的面积约为多少？(精确到0.1，参考数据：)      16.(25-26高一上·贵州铜仁·阶段练习)已知． (1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值；(3)若，求的值． 17.(24-25高一下·上海·阶段练习)如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上(包括T，N两点)．设，矩形PQCR的面积为． (1)求关于的函数表达式；(2)求的最大值，并求此时的值． 18.(25-26高二上·北京·期中)已知函数． (1)求函数的最小正周期；(2)若，求函数的值域； (3)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 19.(24-25高一下·甘肃武威·期中)(1)已知函数，. (i)，先将的图像向右平移个单位长度，再将其横坐标变为原来的4倍，求得到函数的单调递减区间和最小正周期T； (ii)若是第一象限角，求的最小值. (2)已知值不为0的函数，其定义域为M，且.定义如下：，有，求在这样的的值域中，最多有几个元素. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01角的概念的推广 3.知识点02三角函数概念 题型01角的概念的推 题型02三角函数概念 4.知识点03诱导公式 题型03诱导公式 第5章三角函数复习 题型04同角关系 5.知识点04同角关系 题型05三角恒等变形 题型06三角函数图象性质 题型07y=Asin(ax+p)的性质 6.知识点05三角恒等变形 7.知识点06三角函数图象性质 8.知识点07y=Asm(x+p)的性质 教学目标、教学重难点 1理解掌握终边相同的角的集合，理解弧度制，掌握弧长、扇形面积有关公式， 2理解掌握三角函数的概念，掌握符号法则， 教学目标 3掌握同角关系、诱导公式、和差角公式、二倍角公式；掌握三角恒等变形的基本方法， 4.掌握三角函数的图象性质， 1重点是三角函数概念、三角恒等变形、三角函数图象性质； 教学重难点 2难点是：三角恒等变形、三角函数图象性质 知识清单 知识点O1角的概念的推广 (一)角的概念 1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角：按逆时针方向旋转形成的角： 按旋转方向的不同分类{负角：按顺时针方向旋转形成的角： 2.角的分类： 零角：没有旋转： 按终边位置不同分类 (象限角：角的终边在第几象限，就是第几象限的角： (轴线角：角的终边在坐标轴上。 3.终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是S={BB=360°十a,k∈Z}. 即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和. (二)几种特殊位置的角的集合 1象限角的集合： (1)第-象限角：{a2km<a<2km+,k∈Z}: 第1页共21页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)第二象限角：{a2km+<a<2kr+π，keZ}: (3)第三象限角： {a2km+π<a<2kπ+，kEZ}: (4)第四象限角： fa2k<a<2k+2kE: 2轴线角的集合： (I)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{ala=2kπ，k∈Z. (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{aa=2kπ+π，k∈Z. (3)终边在x轴上的角的集合：{aa=kπ，k∈Z: (④)终边在y轴上的角的集合：{aa=km+,k∈Z (⑤)终边在坐标轴上的角的集合：{aa=k,k∈Z} 3.终边在特殊直线上： ①终边在直线y=x上的角的集合： aa=kn+i,keZ ②终边在直线y=一x上的角的集合： {ala=km-年，kez ③终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{aa=k·牙，k∈Z (三)几种互为对称的角 (1)如果a,B终边关于x轴对称台B=-a+2kmCk∈Z (2)如果a,B终边关于y轴对称台B=π-a+2kπ(k∈Z) (3)如果，β终边关于原点对称台阝=π+a+2kπ(k∈Z) 二.弧度制： 1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rd表示. 2正角、负角和零角的弧度数 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3角度制与弧度制的换算 （)1=0oad (2②1rad=()°≈57.3=5718. 4.如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l,那么，角a的弧度数的绝对值是a= 相关公式：(0扇形的弧长公式：1需-.②)扇形的面积公式：S-一需一 【即学即练1-1】(24-25高一下辽宁朝阳阶段练习)下列各角中，与20°终边相同的角为) A.340° B.200° C.370 D.380° 【即学即练12】24-25高一上江苏盐城期末)已知圆心角为72的扇形的弧长为智则该扇形的面积为() A. B.9 C. 0.餐 第2页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点02三角函数概念 1.利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y),那么： sin a=y. cos a=x. tana=x≠0). 2利用终边上的点定义三角函数：设a是一个任意角，它的终边过点Px,y),OP|=r那么： sina-子 cosa=产 tana=≠0). 3符号法则：一全二正三切四余 4.特殊角的三角函数值 角度 0° 15 309 45 609 75 90° 1205 135° 150 180° 270 360° 弧度 0 2 π 5π 2π 3π 5 12 6 4 3 2π 12 3 4 6 2 sina 0 √6-V2 5 √6+√2 1 √2 0 -1 0 4 2 2 4 2 2 cosa √6+W2 √3 互 1 v6-√2 0 1 v2 3 -1 0 4 2 2 2 4 2 2 2 tana 0 2-5 3 1 3 2+√3 不存在 3 -1 √3 0 不存在 0 3 3 5三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值. A(1 (1,0) (1,0) A1,0) 0 a位于第一象限 a位于第二象限 a位于第三象限 a位于第四象限 其中：sina=MP,cosa=OM,tana=AT: 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0； 当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在. 【即学即练2-1】(2025吉林长春模拟预测)若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2),则 2sina+cosa = A.36 c.5 D.3V0 5 B.V10 10 【即学即练2-2】(24-25高二下.云南.期末)若cos0<0,tan0>0,则8为) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 知识点03诱导公式 1.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 公式 二 三 四 五 六 角 2kr+a(k∈Z) π+a -a π-a ta 正弦 sin a -sin a -sin a sin a cos a cos a 余弦 cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a 正切 tan a tan -tan a 一tan a 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 第3页共21页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限， “奇m偶”指的是“k十αk∈Z)”中的飞是奇数还是偶数. “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变 “符号看象限"指的是在元+ak∈Z”中，将α看成锐角时，“k汇+ak∈Z”的终边所在的象限. 2 2 3.通用公式：sin(受+a)= ((-1)sina,(n为偶数) 1 (-1)2cos,(n为奇数) cos(受+)= ((-1)2cosa,(n为偶数) n+1 (-1)2 sinc,(n为奇数) 【即学即练31】(25-26高二上云南期中)角α的终边过点(2,1)，则sin(-a)=) A.9 C.、25 5 【即学即练3-2】24-25高二上云南昆明期中0=) A.V3 B.号 C.-V3 -号 知识点04同角关系 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1. (②)商数关系：-ana(a≠kr十ke2刃： 2.变形：(1)(sina吐cosa)2=1±2 sin acos a=1±sin2a, (2)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); (3)cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a); (④sina=-tan acos(a≠kr+,ke2Z). 【即学即练41】(24-25高二下·云南昆明阶段练习)已知sina=子，且a为锐角，则cosa的值为() A B.- C. D.- 【即学即练4-2】(25-26高三上河北衡水，期中)若a∈(0，π)，且sina-cosa=sinacosa,则sina-cosa=() A.-1+V2 B.-V2+1 C.-2±1 D.-1土V2 知识点05三角恒等变形 1.和差角公式 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B(C(): cos(a++B)=cos acos B-sin asin B(C(+) sin(a-B)=sin acos B-cos asin B(S(-p); 第4页共21页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin(a++B)=sin acos B+cos asin B(S(+) tan(c-B)=1+tanatang tana-tanβ (Ta-)(a,B,a-B≠2+km,k∈Z) tan()B.+knk) 2.二倍角公式 sin 2a=2sin acos a; cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a; tan2a=器(a*km+经且a*号+ke刀. 拓展：万能公式：s如n2a=器。，Qo2a=二 1+tan2a 3.常用变形结论 (I)降幂公式：sin2a=1-cos2e, 2 Cos2a=1+cos2a 2 Sinacosa=sin2a 2 (2)升幂公式：1+c0sa=2c0s2号 1-cosa=2sin2号 1+sin a=(sin+cos)2; 1-sin a=(sins-cos)2. (3)正切和差角公式变形：tan attan B-=an(a±f)(1千tan atan). (4捕助角公式：asinx+-bcosx=\a2+b2sin(x+p(其中sin0=,cos0=7+)】: b 特别的sin atcos=2sin(c±)： sina3cosa=2sin(a±)： 3sin atcos a=2sin(). 4.拆分角问题：①a=2·受 ②a=(a+)-B:a=B-(β-)： ③a=2[(a+B)+(a-l:B=2[(a+)-(a-Bl: ④(+)=7-(-：a=4-(-). 5.拓展公式： (1)正余弦平方差公式：sina-sin2B=sin(a+β)sin(a-B) cos2 a-sin2 B=cos(a+B)cos(a-B). (2)三倍角公式：sin30=3sin8-4sin30=4sin9sin(g-0)sin(号+0)， cos3=4cos3cos0=4cos0cos(c) 第5页共21页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3tan0-tan30 tan30 1-3tan20 tanetan()tan() (3)和差化积公式： sina-sinB=2cosg9sin号，sina+sinB=2 sino学， 2 cosa+cosB=2cos些9cas号，cosa-cosB=-23sin告号sn号； 2 2 【即学即练5-1】(2025高二下.北京.学业考试)cos20°cos25°-sin20°sin25°=( A是 B.② c号 D.1 2 【即学即练5-2】(25-26高一上湖南衡阳阶段练习)计算+am190-2os70 1-tan370° sin40° =() A.tan20° B.tan70° C.-tan10 D.-tan40 知识点06三角函数图象性质 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y=sinx,x∈[0,2的图象中，五个关键点：(0,0，（受，1），(，0)，(，-1)，(2π，0. 余弦函数y=c0sx,x∈0,2]的图象中，五个关键点：(0,1，（受，0），（π，-1），(，0)，(2m,1). 2正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（下表中k∈Z) 函数 y=sinx y=cosx y-tanx y本 y 图象 橙 定义域 R R 体饭 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 2元 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2n22+ [2kπ-π，2kπ] (kr-7.kt+) 递减区间 2+号2+ [2kn,2kn+] 对称中心 (kπ，0) π (kr+20) 受” 对称轴方程 x=m十号 x=π 【即学即练6-1】(25-26高三上·安徽阶段练习)若函数y=tanx的图象与直线x=a没有交点，则la的最小值 为) A.0 B.月 C.π D.2π 【即学即练6-2】(25-26高三上云南昆明阶段练习)函数f()=tan(2x-)的最小正周期是() A.2n B.元 c.7 D. 第6页共21页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点07y=Asin(ox+p)的性质 3.函数y=Asin(ox十p)(w>0,A>0)的图象 (I)y=Asin(ox十p)的有关概念 振幅周期 频率 相位初相 y=Asin(@x+p)(A-0,@-0),xER A ox+o T2π (2)用五点法画y=Asin(ox+p)(A>0,w>0)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ox十p)(A>0,o>O,x∈R)一个周期内的简图时，要找五个如下表所示的特征点： x a0-p) 1π 1 (n-9) 1,3π 2-p) ω2 -p) a(2n-p) ox+o 0 元 3π 2 2π 2 y=Asin(ax+o) 0 A 0 -A 0 (3)图象变换： 法一 法二 画出-sin xf的图象☐ →画出y=sinx的图象 1 向左（中>0）或 平移Ip|个单位 横坐标变为原来的品倍 向右(p<0) 得到ysin(x+p)的图象 得到y-sin wx的图象☐ 横坐标变为 原来的品倍 向左(p>0) 向右(p<0) 平移个单位 o 步 得到y=sin(wx+p)的图象 得到y=sin(ox+p)的图象 3 纵坐标变为 原来的A倍 纵坐标变为 原来的A倍 步 得到y=Asin(ox+p)的图象 →得到y=Asint(ox+p)的图象 4 二.函数y=Asin(ox十p)(o>0,>0)的图象性质 1.周期性 函数 y=Asin(@x+o) y=Acos(@x+o) y=Atan(wx十p) 周期T 1哥 哥 高 函数 y=Asin(@x+o) y=lAcos(@x+o) y=Atan(@x+o) 周期T T一例 7-高 T-lol 函数 y=LAsin(@x+p)+bl(b#0) y=Acos(ox+p)+b(b≠0) y=Atan(@x+o)+bl(b40) 周期T 注意：并非所有周期函数都有最小正周期，例如：f)=5 2.奇偶性 函数f(x) f(x)是奇函数的条件 f(x)是偶函数的条件 y=Asin(@x+o) p=kπ(k∈Z) p=m+k∈Z☑ y=Acos(@x+p) p=k+k∈刀 f(0)为最大值（或最小值） f(0)=0 P=kπ(k∈Z y=Atan(ox+o) p=kπ(k∈Z) 无 3.对称性 第7页共21页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数f(x) 对称轴的条件与对称轴方程 对称中心的条件与对称中心坐标 y=Asin(@x+p) ox+p=c+号k∈☑ x+-p) aox+p=km(k∈Z) km-9,0 y=Acos(@x+o) ωx+p=kπ(k∈☑ x=km-p ox十p=kπ十k∈Z) ω 云r+号-po π y=Atan(@x+p) 无 or+p=ke刀 受-0 4.单调性 递增区间(k∈Z刀) 递减区间(k∈Z) 函数f(8) 条件 区间 条件 区间 2m-7≤ox+p≤2+号 2kn -7-p 2kn+p 2km+≤ox+0≤2m+ π y=Asin(@x+o) 2kπ+-p2km+-p a y=Acos(@x+) 2kT-T≤wx+p≤2kπ 2kπ-π-92kπ-p] 2kπ≤wx+p≤2kπ+T [2kπ-p2km+π-g y=Atan(cox十p) kn-2<ox+op<km+: 2 kn-7-p kn+?-p 5.最值 函数f(x) 取最大值的条件(k∈Z) 最大值 取最小值的条件(k∈Z) 最小值 y=Asin(wx+)+m(A>0,>0) ax+p=2m+号 A+m ox+p=2a+号 -A+m y Acos(@x+()+m(A>0,0>0) @x+o-2kn A+m 0x+p=2kπ+元 -A+m y Atan(ax+(p)+m(A>0,0>0) 无最值 【即学即练7-1】(24-25高二下·云南期末)要得到函数y=3sin(x+)的图象，只需将函数y=3sinx的图象 () A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 【即学即练7-2】(2025江苏淮安模拟预测)函数f(x)=Asin(ωx+p)(A>0,ω>0，p∈[0,2π)的图像如图 所示，则f(x)=(） A.3sin(x+B.3sin(x ）c.3sin(仔x+9D.3sin(任x-》 题型精讲 第8页共21页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型01角的概念的推广 【典例1-1】(24-25高一下贵州遵义阶段练习)把-23m表示成2kπ+8(k∈Z)的形式，且使0∈(0,2m),则8 61 的值为) A.君 B. c.8 D.in 6 【典例1-2】(25-26高三上陕西商洛阶段练习)若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为2：1，面积之比为6：1，则 甲与乙的半径之比为) A.V3:1 B.3:1 C.V2:1 D.√6：1 【典例1-3】（多选24-25高一上江苏盐城阶段练习）下列说法正确的是() A.1弧度的角与1的角一样大 B.锐角一定是第一象限角 C.若α是第三象限角，则是第二或第四象限角 D.终边在y轴正半轴上的角的集合为00=+2km,kEZ 【典例1-4】(25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习)如图，“水滴”是由线段AB,AC和圆的优弧BC所围成的封闭图 形，其中AB,AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水 滴”的面积为 B C 【变式1-1】(25-26高一上全国.单元测试)与-2025°角终边相同的角是() A.259 B.113° C.135° D.225° 【变式1-2】(24-25高一上天津阶段练习)一扇形的面积为π，圆心角大小为120°，则该扇形的弧长为) A月 B. C.π D. 【变式1-3】(25-26高一上河北保定阶段练习)已知圆心角为72的扇形的弧长为智，则该扇形的面积为() A号 B.号 c.誓D.君 【变式1-4】(24-25高一上·四川广安开学考试)如图，已知点C,D是以AB为直径的半圆0的三等分点，弧CD 的长为，则图中阴影部分的面积为) 第9页共21页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 6 B.君 c.员 4 D 【变式1-5】（多选）2025高一.全国.专题练习)下列说法中正确的是(） A.终边在直线y=士x上角的集合是{ala=+受，k∈Z B.若a=-3,则a为第四象限角 C.若角α是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D,周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【变式1-6】(25-26高一上·全国·期末)月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边 为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方” 解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径 为1，分别以AB,AC为直径作半圆APB,AQC,与大圆分别围成了区域I,Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A 为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则三个区域的总面积为. I 题型02三角函数概念 【典例2-1】2025高三·全国.专题练习)在平面直角坐标系x0y中，角a以0为顶点，0x为始边，终边经过点(1，- 1),则角a可以是() A.- B.- C. D.π 【典例2-2】(25-26高三上·黑龙江阶段练习)已知cosa>0,tana<0,则a为) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【典例2-3】（多选22-23高一下四川广安期中）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是() A.C0Sπ B.c0s(-220) c.sin100° D.tan2 【典例2-4】(24-25高一下·上海阶段练习)已知角a的终边经过点(-1,2)，则cosa= 【变式2-1】(25-26高三上·甘肃阶段练习)在平面直角坐标系x0y中，角a的顶点为原点0，始边为x轴的非负 半轴，终边过点P(5,-12),则cosa-sina=() 第10页共21页命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01角的概念的推广 3.知识点02三角函数概念 题型01角的概念的推 题型02三角函数概念 4.知识点03诱导公式 题型03诱导公式 第5章三角函数复习 题型04同角关系 5.知识点04同角关系 题型05三角恒等变形 题型06三角函数图象性质 题型07y=Asin(ax+p)的性质 6.知识点05三角恒等变形 7.知识点06三角函数图象性质 8.知识点07y=Asm(x+p)的性质 教学目标、教学重难点 1理解掌握终边相同的角的集合，理解弧度制，掌握弧长、扇形面积有关公式， 2理解掌握三角函数的概念，掌握符号法则， 教学目标 3掌握同角关系、诱导公式、和差角公式、二倍角公式；掌握三角恒等变形的基本方法， 4.掌握三角函数的图象性质， 1重点是三角函数概念、三角恒等变形、三角函数图象性质； 教学重难点 2难点是：三角恒等变形、三角函数图象性质 知识清单 知识点O1角的概念的推广 (一)角的概念 1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角：按逆时针方向旋转形成的角： 按旋转方向的不同分类{负角：按顺时针方向旋转形成的角： 2.角的分类： 零角：没有旋转： 按终边位置不同分类 (象限角：角的终边在第几象限，就是第几象限的角： (轴线角：角的终边在坐标轴上。 3.终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是S={BB=360°十a,k∈Z}. 即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和. (二)几种特殊位置的角的集合 1象限角的集合： (1)第-象限角：{a2km<a<2km+,k∈Z}: 第1页共45页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)第二象限角：{a2km+<a<2kr+π，keZ}: (3)第三象限角： {a2km+π<a<2kπ+，kEZ}: (4)第四象限角： fa2k<a<2k+2kE: 2轴线角的集合： (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{ala=2kπ，k∈Z. (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{aa=2kπ+π，k∈Z. (3)终边在x轴上的角的集合：{aa=kπ，k∈Z: (④)终边在y轴上的角的集合：{aa=km+,k∈Z小 (⑤)终边在坐标轴上的角的集合：{aa=k,k∈Z} 3.终边在特殊直线上： ①终边在直线y=x上的角的集合： aa=kn+i,keZ ②终边在直线y=一x上的角的集合： faa=kn-z,keZ ③终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{aa=k·牙，k∈Z (三)几种互为对称的角 (1)如果a,B终边关于x轴对称台B=-a+2kmCk∈Z (2)如果a,B终边关于y轴对称台B=π-a+2kπ(k∈Z) (3)如果，β终边关于原点对称曰阝=π+a+2kπ(k∈Z) 二.弧度制： 1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rd表示. 2正角、负角和零角的弧度数 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3角度制与弧度制的换算 （)1=0oad (2②1rad=()°≈57.3=5718. 4.如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l,那么，角a的弧度数的绝对值是a= 相关公式：（①）扇形的弧长公式：1=需=，2扇形的面积公式：S==高- 【即学即练1-1】(24-25高一下辽宁朝阳阶段练习)下列各角中，与20°终边相同的角为) A.340° B.200° C.370 D.380° 【答案】D【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】分析可知与20°终边相同的角满足α-20°=360°·k,k∈Z,代入检验即可. 【详解】与20°终边相同的角为a=20°+360°，k,k∈Z,即a-20°=360°，k,k∈Z, 对于选项A:340°-20°=320°，不合题意，故A错误： 第2页共45页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于选项B:200°-20°=180°，不合题意，故B错误： 对于选项C:370°-20°=350°，不合题意，故C错误； 对于选项D:380°-20°=360°，符合题意，故D正确；故选：D. 【即学即练12】(24-25高一上江苏盐城期末)已知圆心角为72的扇形的弧长为，则该扇形的面积为) A.月 .号 c.晋 0.智 【答案】A【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、角度化为弧度 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得」 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则a==告 知识点02三角函数概念 1利用单位圆定义三角函数：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,),那么： sin a=y. cos a=x. tana=x≠0)， 2利用终边上的点定义三角函数：设a是一个任意角，它的终边过点P(x,y),IOP|=r那么： sin a cosa-=月 tana=c≠0). 3.符号法则：一全二正三切四余 4.特殊角的三角函数值 角度 0° 15° 30 45 60 75 90 120 1359 1509 180° 2709 360° 弧度 0 2 之 π 5π 2π 3π 5π π 3π 2π 12 6 4 3 12 3 4 6 2 sina 0 V6-2 2 5 v6+2 1 5 2 1 0 -1 0 4 2 2 4 2 2 cosa V6+√2 3 2 1 6-√2 √2 √3 一1 0 4 2 2 2 4 2 2 2 tana 0 2-√3 3 1 √3 2+√3 不存在 -V3 -1 0 不存在 0 3 3 5三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值。 A1,0 1,0) (1,0) MA1,0) a位于第一象限 a位于第二象限 a位于第三象限 a位于第四象限 其中：sina=MP,cosa=OM,tana=AT; 当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角c的正弦值和正切值都为0； 当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在 【即学即练2-1】(2025·吉林长春.模拟预测)若角aα的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2),则 2sina+cosa = 第3页共45页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3/ 3V10 5 B.V10 C.V5 D. 10 【答案】c【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出sina,cosa的值，可得2sina+cosa的值. 【详解】因为角a的终边经过点P(1,2),x=1,y=2,r=√12+22=√5， 所以sna==后=号。osa==言=停 则2sina+cosa=2×25+5=V5.故选：C 5+5 【即学即练2-2】(24-25高二下·云南·期末)若cos0<0,tan0>0,则0为) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】c【难度】0.94 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据各象限三角函数符号特征判断即可 【详解】由cos0<0,得角0的终边在y轴左侧，即第二或第三象限，或x轴负半轴， 由tan0>0,得角8的终边在第一或第三象限， 所以当cos0<0,tan0>0时，0为第三象限角.故选：C 知识点03诱导公式 1.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 公式 二 三 四 五 六 角 2kπ+a(k∈Z) π十a π一C T a ita 正弦 sin a -sin a -sin a sin a cos a cos a 余弦 cos a -cos a cos a 一cosa sin a -sin a 正切 tan a tan a -tan a 一tana 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 2诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限 “奇m偶”指的是“%十ak∈Z”中的k是奇数还是偶数. “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变 “符号看象限”指的是在kπ+ak∈Z)”中，将a看成锐角时，“kπ+ak∈Z”的终边所在的象限. 3.通用公式：sin(受+)= (-1)2sina,(n为偶数) n-1 (-1)2 cosa,(n为奇数) c0s(受+)= ((-1)cosa,(n为偶数) n+1 (-1)2 sina,(n为奇数) 【即学即练3-1】25-26高二上云南期中)角α的终边过点(2,1)，则sin(（-a=() A.晋 B.- 5 C.-2w5 5 【答案】D【难度】0.94 第4页共45页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值一一诱导公式 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】角aα的终边过点(2,1)，所以cosa= 2 5 所以sn（任-Q）=c0sa=5故选：D 【即学即练3-2】(24-25高二上云南昆明期中)m90° tan660°=() A.V3 B.3 C.-V3 3 【答案】B【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值 【分析】利用诱导公式化简即可得解 【详解】由诱导公式可得n90°=m3×360-902=血(-90=-sin90° 2器=方=9故选：B 1 tan660° =an(2×360°-60) tan(-60) 知识点04同角关系 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1. (2)商数关系：c=tana(a≠km+,kEZ). cosa 2.变形：(1)(sina±cosa)2=1±2 sin acos a=1±sin2a, (2)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); (3)cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a); (4)sina=-tan acos(a≠kr+2,k∈Z). 【即学即练4-1】(24-25高二下·云南昆明阶段练习)已知sina=子且u为锐角，则cosa的值为() A美 B.- C. D.- 【答案】A【难度】0.94 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角平方关系求解 【详解】因为sina= ,且a为锐角， 所以cosa=-sina=√1-()=善故选：A 【即学即练4-2】(25-26高三上河北衡水，期中)若au∈(0，π)，且sina-cosa=sinacosa,则sina-cosa=() A.-1+V2 B.-V2+1 C.-V2±1 D.-1±V2 【答案】A【难度】0.65 【知识点】由条件等式求正、余弦、sinatcosa和sina-cosa的关系 【分析】将已知条件两侧平方整理得(sinacosa+1)2=2,结合sinacosa+1>0求出sinacosa,即可得 【详解】由题设(sina-cosa)2=1-2 sinacosa=sin2acos2a, 所以sin2acos2a+2 sinacosa+1=2,即(sinacosa+1)2=2, 第5页共45页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而sinacosa+1>0,则sinacosa+1=√2， 所以sinacosa=V2-1,即sina-cosa=V2-1.故选：A 知识点05三角恒等变形 1.和差角公式 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B(C(); cos(a+B)=cos acos B-sin asin B(C() sin(a-B)=sin acos B-cos asin B(S(aB); sin(a+B)=sin acos B++cos asin B(S(+) an(a-)=s(Ie-》aB.a-B≠经+kr,keZ) ana+)=Te》aR,a+B≠+kke刀 2.二倍角公式 sin 2a=2sin acos a; cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a; tan2a=a≠km+且a≠受+ke0, 拓展：万能公式：sin2a=。,cos2a=二 1+tan2a, 3常用变形结论 (1)降幂公式：sin2a=1-cos2“ 2一 Cos2a=1+cos2a 2 Sinacosa=sin2a 2 (2)升幂公式：1十c0sa=2c0s2号 1-cosa=2sn2号 1+sina=(sin号+cos)2; 1-sina=(sin号-cos)2. (3)正切和差角公式变形：tan attan B=tan(ctp(l干tan atan). (4)辅助角公式：asinx+-bcos=\a2+b2sin(cr+p其中sin0=√+，cos0=+), b a 特别的sin acos=2sin(c±)： sin3cosa=2sin(a±)： 3sin a+cos a=2sin(a). 4.拆分角问题：①a=2·2 ②a=(a+)-B;a=B-(β-)： ③a=2[(a+B)+(a-Bl:B=2[(a&+)-(a-]: ④(+)=7-(-四：a=4-(-, 第6页共45页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.拓展公式： (1)正余弦平方差公式：sina-sinB=sin(a+B)sin(a-) cos2 a-sin2 B=cos(a+B)cos(a-B) (2)三倍角公式：sin30=3sin0-4sin30=4sin0sin(-0)sin(+0), cas30=4cos0-3os0=4cas0cos(写-0cs(写+0) tan30=3tane-tan30 1-3tan20 tanetan()tan(+) (3)和差化积公式： sina-sinB=2cos2sin"号，sina+sinB=2 sinco号； cosa+c0sB=2cos生cos"学，cosa-cosB=-2sin2sin“ 【即学即练5-1】(2025高二下.北京.学业考试)cos20°cos25°-sin20°sin25°=() A月 c.9 D.1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式即可求解 【详解】由cos20cos25°-sin20'sin25°=os(20+25)=6cos45=号 故选：B. 【即学即练5-2】(25-26高一上湖南衡阳阶段练习)计算+an190-2cos70 1-tan370° sin40° =() A.tan20° B.tan70° c.-tan10° D.-tan40° 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值一一同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值一一诱导公式、二倍 角的正弦公式 【分析】根据给定条件，利用三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，化简计算算即得 【详解】e190-2os70=1+a102n201+息g 2sin20° 1-tan370°sin40° 1-tan10°sin40° 1 c0s10° 2sin20°cos20° cos10°+sin10° 1 (cos10°+sin10)2 1+sin20° 1 =tan20°. cos10°-sin10 cos20° c0s210°-sin210°c0s20° c0s20° c0s20° 故选：A 知识点06三角函数图象性质 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y=sinx,x∈[0,2m的图象中，五个关键点：(0,0)，(，1)，(，0)，(，-1)，(2π，0. 余弦函数y=cosx,x∈[0,2的图象中，五个关键点：(0,1)，(20)，（π，一1），(2,0)，(2m,1). 第7页共45页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x y 图象 归橙 变 定义域 R R 中*标引 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2元 2元 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kr- 2m+ [2kπ-元，2kπ (kr-.kr+) 递减区间 3π 2km+22kr+ [2km,2kπ+] 对称中心 (kπ，0) （+0 0 对称轴方程 x=kx+7 x=kπ 【即学即练6-1】(25-26高三上，安徽阶段练习)若函数y=tanx的图象与直线x=a没有交点，则la的最小值 为) A.0 8.8 C.π D.2π 【答案】B【难度】0.94 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切函数的定义域即可求解， 【详解】由正切函数的定义域为xx≠+kπ（化k∈Z)}可知：la的最小值为故选：B 【即学即练6-2】(2526高三上云南昆明阶段练习)函数f(x)=tan(2x-)的最小正周期是(） A.2π B.π C. D.月 【答案】c【难度】0.94【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】对于正切函数y=an(wx+),其最小正周期公式为T=司 【详解】由题意可得T=故选：C 知识点07y=Asin(wx+p)的性质 3.函数y=Asin(ox+p)(aw>0,A>0)的图象 (I)y=Asin(aox+p)的有关概念 振幅周期 频率 相位 初相 y=Asin(ox+0)(4>0,@>0),xER ox+o T2π (2)用五点法画y=Asin(ox十p)(A0,w>0)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ox十p)(4>0,o>0,x∈R)一个周期内的简图时，要找五个如下表所示的特征点： x 0-) 受- (2n-p） 第8页共45页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 π ax+o 0 π 3π 2 2π y=Asin(@x+o) 0 A 0 -A 0 (3)图象变换： 法一 法二 画出y=snx的图象☐ 画出y=sin x的图象门 1 向左（中>0）或 平移1p|个单位 向右(p<0) 横坐标变为原来的高倍 步 得到ysin(x+p)的图象 ,得到y=sin cx的图象门 横坐标变为 原来的品倍 向左(p>0)或 向右(p<0) 平移巴外单位 得到y=sin(wx+p)的图象 得到y-sin(ox+p)的图象 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标变为 原来的A倍 得到yAsn(ox+p)的图象 得到y=Asin(0x+p)的图象 4 二.函数y=Asin(ox十p)(w>0,A0)的图象性质 1.周期性 函数 y=Asin(ωx+p) y=Acos(@x+p) y=Atan(cwx十p) 周期T 7高 7高 T-lol 函数 y=Asin(@x+o) y=4cos(@x+p) y=Atan(@x+o) 周期T 1司 品 高 函数 y=lAsin(@x+o)+bl(bt0) y=Acos(@x++)+bl(b+0) y=Atan(@x+0)+bl(b40) 周期T T-lol 注意：并非所有周期函数都有最小正周期，例如：f=5 2.奇偶性 函数f(x) f(x)是奇函数的条件 f(x)是偶函数的条件 y=Asin(ωx+p) p=kπ(k∈Z) p=m+k∈Z) f(0)为最大值（或最小值） y=Acos(ox十p) p=km+号k∈Z刀 f(0)=0 p=km(k∈Z y=Atan(ox+o) p=kπ(k∈Z) 无 3.对称性 函数fx) 对称轴的条件与对称轴方程 对称中心的条件与对称中心坐标 y=Asin(@x+p) ax十p=km+Z(k∈Z x版+号-p ox十p=kπ(k∈Z) π-9.0) y=Acos(@x+o) ox十p=kr(k∈O x=km二p ox+p=km+2k∈Z刀 台+号-，o0 y=Atan(@xo) 无 0x+p=k∈Z☑ 日受-90 4.单调性 递增区间(k∈) 递减区间(keZ) 函数fx) 条件 区间 条件 区间 第9页共45页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2km-2≤wx+0≤2km+2 2kn-7-p 2kn+p 2km+sx+p≤2km+ 3π y=Asin(@x+o) 2km+-p2k+- y=Acos(@x+o) 2kπ-π≤ox+p≤2km 2kπ-π-p2kπ-p] 2kT≤wx+p≤2kπ+T 2km-p2kπ+π-p y=Atan(@x+o) kn-7<wx+o<kn+ km--pk切+-p、 5.最值 函数f(x) 取最大值的条件（化∈Z) 最大值 取最小值的条件（化∈Z) 最小值 y=Asin(ax+)+m(A>0,>0) ox十p=2ka+号 A+m ox+p=2a+号 -A+m y=Acos(ωx+p)+m(A>0,ω>0) 0x+0=2Kr A+m ωx+0=2kπ+元 -A+m y=Atan(ax +()m(A>0,0>0) 无最值 【即学即练7-1】(24-25高二下·云南期末)要得到函数y=3sin(x+羽)的图象，只需将函数y=3sinx的图象 () A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移”个单位 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】相位变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据平移变换的原则即可得解 【详解】要得到函数y=3sin(x+)的图象，只需将函数y=3sinx的图象向左平移个单位. 故选：D 【即学即练7-2】(2025江苏淮安模拟预测)函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,ω>0，p∈[0,2)的图像如图 所示，则f(x)=() A少 A.3sin(仔x+) B.3sin(x C.3sin(x+ D.3sin (x- 【答案】c【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图象的最值得到A的值，由两个零点求出ω，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式. 【详解】观察图象可得函数f(x)的最大值为3，最小值为-3，又A>0,所以A=3, 又3-(-1)=77=8，∴w=9=景 第10页共45页