25.2用列举法求概率（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

25.2用列举法求概率 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 用列举法求概率 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。 用列表发求概率 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 用树形图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。 （1） 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。 （2） 在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 型 习 练 题 列表法求概率 1．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最大的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填， 6 (1)请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果___________； (2)满足条件的填法有___________种． 【答案】(1)，，，（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查平均数，中位数的定义，列举法，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 先确定甲、乙填数的顺序和策略，再依次分析每个位置的可选数字最后计算填法总数并给出一种示例；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】（1）甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，表中第一个数字是，甲先填， 第二个数字为，第四个数字为， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最大的数字． ∴第三个数字可以为9，8或7，当第三、四数字分别为9和2时，已有数字{1, 2, 6, 9}，乙为使中位数最大会选择7或8，故可填8，最终结果可为1，9，2， 8． 故答案为：，，，（答案不唯一）． （2）乙会选择填入后使表中现有数据中位数最大的数字．第三个数字可以为9，8或7，有三种选法第4个数是，第五个数字是剩余数字中大于的可用数字，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， 满足条件的填法有（种）． 故答案为：6． 2．有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：．祖冲之；．李时珍；．张衡；．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，求抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，正确列举出所有情况是解题的关键． 先用列举法得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：四张邮票分别记为A、B、C、D．从中一次性抽取两张，所有可能的抽取结果为： ，共6种等可能的情况． 其中，抽到A和B的情况仅有1种． 因此，所求概率为． 3．泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， (1)若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及用列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）先确定甲夹走一个肉馅后剩下包子的情况，再根据概率公式计算乙夹到秧草馅的概率． （2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：甲夹走一个肉馅后，剩下个肉馅，个秧草馅，共个包子． 所以乙夹的包子是秧草馅的概率为． （2）解：将个肉馅包子记为、，个秧草馅包子记为、，列表如下： 甲 乙 结果 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的结果有种． 所以甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的概率为． 4．某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择一天，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列举法求概率的知识．熟练掌握列举法求概率是解答本题的关键． （1）随机选择一天，共有7种结果，天气预报是雨的有1天，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），天气预报都是晴的有2天，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7种，即4月7日晴、4月8日晴、4月9日雨、4月10日阴、4月11日晴、4月12日晴、4月13日阴，并且这些结果出现的可能性相等．恰好天气预报是雨（记为事件）的结果有1种，即4月9日雨，所以． （2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），并且这些结果出现的可能性相等．连续两天恰好天气预报都是晴（记为事件）的结果有2种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月11日晴，4月12日晴），所以． 5．如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． (1)甲停在A区的概率是_______； (2)求甲、乙停在相同区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法、概率公式求概率，熟练掌握列举法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用列举法法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停在相同区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵甲车停放的所有可能结果有5种，停在A区的只有2种， ∴甲能够停放在A区的概率是； （2）解：分别将、两个停车区域的空车位即为“”“”“”“”“”， 则根据题意列出所有可能出现的结果有：，共有10种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件）的结果有4种， 即， 所以． 列表法或树状法求概率 6．为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中______； (2)补全条形统计图； (3)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】(1)160人； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；用条形统计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得a的值． （2）求出选择B的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：此次被调查的学生总人数为（人），， ． 故答案为：160人；． （2）选择B的人数为． 补全条形统计图如图1所示． （3）列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有4种， 两人恰好选到同一个课程的概率为． 7．今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了4张分别印有电影名字的卡片：A．《南京照相馆》、B．《东极岛》、C．《731》、D．《志愿军》．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： (1)第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是___________； (2)求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）根据题意，可以直接写出第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率； （2）根据题意可以列出相应的表格，然后即可计算出求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率即可。 【详解】（1）解：第一次抽取的卡片共有4种等可能性结果，其中是D．《志愿军》的情况有1种， ∴第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是； （2） 小明小红 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，抽取两次结果都不是志愿军的结果有6种， ∴P(抽取两次结果都不是志愿军)。 8．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏不公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 9．为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级，请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． (2)若从“待合格”的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，从统计图中获取所需信息是解题关键． （1）由扇形统计图可知“优秀”的人数为36，用“优秀”人数除以对应的百分比即可求出抽样调查的总人数，再求出“良好”的人数，再补全条形统计图，再利用百分比计算“合格”部分所对应圆心角的度数即可； （2）先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是女生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵被调查总人数为（人）， ∴“良好”的人数为（人）， 补全条形统计图如图： 扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为； （2）解：画出树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为． 所以抽取的两人恰好都是女生的概率为． 10．如图，某景区停车场有，两个停车区域，其中，区剩余1个空车位，区剩余2个空车位，．将甲、乙两辆车随机停入这3个空车位中，每个车位只能停一辆车．    (1)甲车停在区的概率是__________； (2)请通过列表法或树状图法，求甲、乙两辆车停在相同区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图求概率、概率公式求概率，熟练掌握列举法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用树状图法得出所有等可能的结果数，以及甲和乙两车恰好都停在相同区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵甲车停放的所有可能结果有3种，停在A区的只有1种， ∴甲能够停放在A区的概率是； （2）解：依题意，、两个停车区域的空车位即为“”，“”，“”，    一共有6种等可能的结果，满足“甲、乙两车停在相同区域”的结果有2种，即， ∴甲、乙两辆车停在相同区域的概率为． 游戏的公平性 11．有两颗相同的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，小风和小荷玩游戏，规定：每人连续投掷2次，若掷出两次的点数之和小于7，则小风胜，否则小荷胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，熟练掌握用树状图或表格求概率是解答本题的关键．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：不公平，理由如下： 列表得两次所得点数之情况： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况， 则和小于7的概率，即小风胜的概率为； 和大于或等于7的概率，即小荷胜的概率为；小风和小荷胜的概率不相等， 故这个游戏对双方不公平． 12．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1) ， (2)该游戏不公平，理由见答案 【分析】（1）根据概率的概念进行求值即可； （2）先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可. 【详解】（1）解：； . （2）解： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， ∴小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等 ∴该游戏不公平. 【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键. 13．华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率的计算公式计算即可； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得出所有等可能的情况数，分别求出小宇和小辰获胜的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， ∴小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， ∴小宇获胜的概率为； 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种， ∴小辰获胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 14．甲、乙两个同学各自掷一个普通的正方体骰子（注：6个面的点数分别为1，2，3，4，5，6点），如果骰子朝上的面上点数之积为奇数，那么甲得1分；如果两者之积为偶数，那么乙得1分．连续投掷20次谁得分最多，谁就获胜．请你想一想，谁获胜的可能性（机会）大？为什么？ 【答案】乙获胜的可能性大，理由见详解 【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，可出现两者之积为偶数和奇数的情况如下表： 甲/乙 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 出现奇数的概率为；出现偶数的概率为； 故乙获胜的可能性大． 15．如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次． (1)用列表法或画树状图法表示出所有可能出现的结果； (2)若“配成橙色”（黄色与红色配成橙色），小明胜；否则小亮胜．这个“配色”游戏对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法表示出所有情况，概率公式的应用. （1）用列表法表示出所有情况即可； （2）根据（1）的表格结合概率公式判断即可. 【详解】（1）解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下： 红 蓝 蓝 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （蓝，黄） 红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红） （2）解：不公平． 理由如下：由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中只有1种结果可以“配成橙色”， 故“配成橙色”的概率是，即小明胜的概率是， 小亮胜的概率为． 小亮胜的概率大， 这个“配色”游戏对双方不公平． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2用列举法求概率 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 用列举法求概率 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。 用列表发求概率 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 用树形图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。 （1） 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。 （2） 在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 型 习 练 题 列表法求概率 1．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最大的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填， 6 (1)请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果___________； (2)满足条件的填法有___________种． 2．有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：．祖冲之；．李时珍；．张衡；．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，求抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率． 3．泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， (1)若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 4．某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择一天，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 5．如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． (1)甲停在A区的概率是_______； (2)求甲、乙停在相同区域的概率． 列表法或树状法求概率 6．为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中______； (2)补全条形统计图； (3)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 7．今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了4张分别印有电影名字的卡片：A．《南京照相馆》、B．《东极岛》、C．《731》、D．《志愿军》．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： (1)第一次抽取的卡片是D．《志愿军》的概率是___________； (2)求抽取的两次结果都不含有D．《志愿军》的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 8．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 9．为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级，请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． (2)若从“待合格”的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 10．如图，某景区停车场有，两个停车区域，其中，区剩余1个空车位，区剩余2个空车位，．将甲、乙两辆车随机停入这3个空车位中，每个车位只能停一辆车．    (1)甲车停在区的概率是__________； (2)请通过列表法或树状图法，求甲、乙两辆车停在相同区域的概率． 游戏的公平性 11．有两颗相同的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，小风和小荷玩游戏，规定：每人连续投掷2次，若掷出两次的点数之和小于7，则小风胜，否则小荷胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 12．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 13．华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 14．甲、乙两个同学各自掷一个普通的正方体骰子（注：6个面的点数分别为1，2，3，4，5，6点），如果骰子朝上的面上点数之积为奇数，那么甲得1分；如果两者之积为偶数，那么乙得1分．连续投掷20次谁得分最多，谁就获胜．请你想一想，谁获胜的可能性（机会）大？为什么？ 15．如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次． (1)用列表法或画树状图法表示出所有可能出现的结果； (2)若“配成橙色”（黄色与红色配成橙色），小明胜；否则小亮胜．这个“配色”游戏对双方公平吗？说说你的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $