24.3正多边形和圆（基础篇）讲义 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

24.3正多边形和圆 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 正多边形的性质 （1） 各边相等，各角相等； （2） 都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都经过n边形的中心。 （3） 正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。 （4） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。 （5） 正n边形的每一个内角等于，中心角和外角相等，等于。 型 习 练 题 求正多边形的中心角 1．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．正六边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意准确掌握定义是关键． 据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角． 【详解】解：正六边形的中心角的度数是， 故选：C． 3．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 4．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 5．如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．设这个正多边形的边数为列方程求出再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 已知中心角求边数 6．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆；正多边形的中心角等于360°除以边数，因此已知中心角可求边数． 【详解】解：中心角，且中心角， ， ． 因此，边数为，对应选项D． 故选：D． 7．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查圆与正多边形，根据正n边形的中心角为计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴这个多边形是正五边形． 故答案为：C． 8．若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵内接正多边形的中心角为，且， ∴该正多边形的边数是20． 故选：D． 9．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ， 该正多边形的边数为， 故选C． 10．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 正多边形和圆的综合 11．已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接，连接，交于点G，证明直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形，延长交小圆于点P，连接，易证，得到，此时，；延长交小圆于点P，同理可得． 【详解】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 12．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】点O 为正六边形的 中心， ， ， 为等边三角形， ， 过点作， ， ， ， ． 故选． 13．如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，由正六边形内接于，则，从而证明是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 14．如图，是正六边形，边长为2，是边上一个动点，的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，设正六边形的中心为点，连接，，根据题意得出，勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接，， ∴是正六边形的外接圆的直径，则 依题意，， ∴， ∵是边上一个动点， ∴， ∵， ∴的值可能是， 故选：C． 15．如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴的度数， 故选：A． 尺规作图-正多边形 16．请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，涉及正方形的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理，理解相关知识是解答的关键． （1）利用正方形的对角线互相垂直可得点P为对角线的交点； （2）作等边三角形，则，作外接圆交、于点E、F，根据圆周角定理可得，弧上的所有点均为所求点P． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求作： （2）解：如图，弧上的所有点均为所求点P． 17．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 18．如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 19．尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 20．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.3正多边形和圆 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 正多边形的性质 （1） 各边相等，各角相等； （2） 都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都经过n边形的中心。 （3） 正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。 （4） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。 （5） 正n边形的每一个内角等于，中心角和外角相等，等于。 型 习 练 题 求正多边形的中心角 1．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 2．正六边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 4．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 已知中心角求边数 6．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 7．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 8．若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 9．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 10．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 正多边形和圆的综合 11．已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 12．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 13．如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，是正六边形，边长为2，是边上一个动点，的值可能是（　　） A． B． C． D． 15．如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 尺规作图-正多边形 16．请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 17．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 18．如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 19．尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 20．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 学科网（北京）股份有限公司 $