29.2三视图（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级数学下学期大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 29.2三视图（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 、 三视图概念及被观察物体三视图之间的关系： 1三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2） 正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.被观察物体三视图之间的关系 （1）位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 1.主视图和俯视图的长要相等； 2.主视图和左视图的高要相等； 3.左视图和俯视图的宽要相等. 口诀：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等. 题型1判断简单几何体的三视图 例1．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图所示，该几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．以下几何体的主视图是圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（   ） A． B． C． D． 题型2判断简单组合体的三视图 例2．如图，将一个长方体木块和一个正方体木块按如图位置摆放在桌面上，其主视图为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图是五个大小形状相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 题型3判断非实心几何体的三视图 例3．如图，空心圆柱体的主视图是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．如图所示几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式3-3】．如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 知识点2 、 画三视图的具体方法： 1.确定主视图的位置，画出主视图； 2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正； 3.在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等； 4.为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中用细点划线表示对称轴. 【注意】 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 题型4 已知一种或两种视图判断其他视图 例4．如图是由六个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．下面是由若干个小立方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则它的左视图不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】．超市货架摆放着某品牌方便面盒，它们的主视图和俯视图如图，则它的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 题型5 画简单几何体的三视图 例5．某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【变式5-1】．如图，把一个正方形切去一块得到下面的几何体，分别画出图中几何体从正面看，从左面看和从上面看到的平面图形． 【变式5-2】．补全下列几何体的三视图． 【变式5-3】．分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 题型6画简单组合体的三视图 例6．图中的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，画出图中几何体的三种视图． 【变式6-1】．画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【变式6-2】．画出如图所示组合体的三种视图． 【变式6-3】．如图，将一个大立方体挖去一个小立方体，请画出它的三种视图（主视图、左视图、俯视图）． 题型7画由小立方块堆砌成的图形的三视图 例7．由大小相同（棱长为1分米）的小立方块搭成的几何体如下图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)图中有 块小正方体，它的表面积（含下底面）为 ； (3)用小立方块搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在图中方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要_______个小立方块，最多要_______个小立方块． 【变式7-1】．用个小立方块搭一个几何体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【变式7-2】．由7个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体如图所示． (1)请画出它从三个方向看到的形状图． (2)请计算几何体的表面积． 【变式7-3】．如图是由一些棱长为的相同的小正方体堆成的简单几何体． (1)请分别在网格图中画出从正面、从左面、从上面看到的这个几何体的图形． (2)如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂色的表面积为多少？ 知识点3 、 已知三视图想象立体图形 由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸. 题型8 由三视图还原几何体 例8．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ． 【变式8-1】．小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有 盒． 【变式8-2】．某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【变式8-3】．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是 ． 知识点4 、 由三视图求立体图形的面积（体积） 1）先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高. 2）将立体图形展开成一个平面图形 (展开图)，观察它的组成部分. 3）最后根据已知数据，求出展开图的面积（体积）. 题型9已知三视图求边长 例9．一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为 ． 【变式9-1】．如图，礼盒的上下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为 厘米． 【变式9-2】．如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） (1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； (2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 【变式9-3】．知一个直棱柱的三视图如图所示：（单位：）．请在俯视图的虚线框内注上符合的数据． 题型10已知三视图求侧面积和表面积 例10． 如图是某几何体的三视图，写出该几何体的名称，并根据图示数据，计算出该几何体的侧面积． 【变式10-1】．如图，是一个食品包装箱的表面展开图单位： (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：______； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【变式10-2】．在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)该几何体的主视图是 ，左视图是 ；（填序号） (2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． 【变式10-3】．一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是___________； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积． 题型11已知三视图求体积 例11．长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 【变式11-1】．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． ． 【变式11-2】．张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 【变式11-3】．如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图，回答下列问题： (1)这个几何体是由圆柱和________________组成； (2)求这个几何体的体积（，结果保留，单位：cm） 题型12求小立方块堆砌成的图形的表面积 例12．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图： (2)如果小正方体的棱长为2，则该几何体的表面积是多少？（包括底面） (3)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加___________个小正方体． 【变式12-1】．一个几何体由棱长为1的大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块个数． (1)请画出该几何体的主视图和左视图； (2)请求出该几何体的表面积． 【变式12-2】．把棱长为的若干个小正方体摆放如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面）． (1)该几何体中有_____个小正方体； (2)涂上颜色部分的总面积是_____； (3)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下6层，求涂上颜色部分的总面积． 【变式12-3】．如图，由若干个完全相同棱长为1厘米的小正方体堆成一个几何体， (1)请分别画出该几何体从正面看、从左面看、从上面看所得到的图形． (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体； (3)如果在这个几何体露在外面的表面(不包含下底面)喷上黄色的漆，每平方厘米用3克，则共需多少克漆？ 题型13由三视图判断小立方体的个数 例13．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 【变式13-1】．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，该几何体的体积是______，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体． 【变式13-2】．用若干个棱长为的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)这个几何体的体积为________． (2)请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图、俯视图、左视图． (3)在上面的实物图中，再添加一个小正方体，使得它的主视图和左视图不变，那么它的俯视图共有多少种不同结果？ 【变式13-3】．如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三视图． (2)堆成该几何体需要__________块小正方体． (3)该几何体的表面积（含下底面）为__________． 题型14已知三视图求最多或最少的小立方块个数 例14．用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它满足以下条件：从上面、正面看到的这个几何体的形状图如图所示． (1)搭一个这样的几何体最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ (2)请你画出由最多小正方体搭成的几何体从左面看到的形状图，并在从上面看的形状图的小正方形内标注该位置上小正方体的个数． 【变式14-1】．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示． (1)这个几何体是由 ______ 个小正方体组成，该几何体的体积是 ______，请用阴影画出这个几何体从三个方向看图形的图形． (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用3克，则共需______克漆． (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看和从左面看不变，最多可以再添加 ______ 个小正方体． 【变式14-2】．如图，是由9个棱长均为的小立方体搭成的几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． (2)若将该几何体的表面（不含底面）涂上颜色，则涂色部分的面积是________． (3)用小立方体再搭一个几何体，使得它从上面、左面看到的形状图与（1）中相应看到的一致，则搭成的这个几何体最多要用_______个小立方体，最少要用________个小立方体． 【变式14-3】．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有______个小正方体； (2)若在几何体表面露出部分不含底面喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 题型15视图变化分析 例15．作图题： (1)请在方格中画出该几何体的三个视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加几块小正方体． 【变式15-1】．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 【变式15-2】．如图是置于桌面上，用块完全相同的小正方体搭成的几何体．    (1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图、俯视图； (2)已知每个小正方体的棱长为，则该几何体露在外面的表面积是______； (3)如果在这个几何体上拿掉一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以拿掉______个小正方体． 【变式15-3】．数学思想·分类讨论用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，搭成这个几何体最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？ 例16．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)______，______，_____； (2)这个几何体最少由_____个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成； (3)当，，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【变式16-1】．用7个小立方块搭成的几何体如图所示． (1)请你画出从它的正面和左面看到的形状图． (2)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加___________个小立方块． 【变式16-2】．在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【变式16-3】．小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图所示的是大写字母B，以箭头所指的方向为主视方向，则它的左视图是（    ） A． B． C． D． 2．用小立方体搭一个几何体，分别从它的正面、上面看到的形状如图所示．搭这样的几何体最少、最多需要的小立方体个数分别为（    ） A．6，9 B．5，7 C．6，8 D．7，8 3．从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A． B． C． D． 4．已知左图是下列四个几何体中某个几何体的俯视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 5．如图三视图所表示的几何体是（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．圆锥 D．不存在 6．如图，长方体的三视图，若用表示面积，，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（   ） A． B． C． D． 8．如图，这是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．一个零件，从正面看、从左面看和从上面看到的零件的形状图如图所示(尺寸单位：厘米)，这个零件的体积为 立方厘米． 10．将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为 ． 11．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、左面、上面看到的形状图，则构成这个几何体的小立方块的个数是 个． 12．一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是 ．       13．某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．请根据下图（1）、（2）、（3）的立体图形的三视图说出立体图形的名称． 15．图1是地面上由8个棱长为的正方体积木搭成的几何体，回答下列问题： (1)在图2中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)将图1中小立方块①移走后，从 面看到的新几何体的形状图不发生改变，如果保持从这个面看的形状不改变，最多可以再移走 个小立方块； (3)求出图1中8个小立方块搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）． 16．分别画出图中立体图形的三视图． 17．如图是某几何体的三视图： (1)这个几何体的名称是______． (2)这个几何体的顶点数是______，面数是______，棱数是______． (3)求这个几何体的表面积． 18．如图①所示，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)一共有______个小正方体； (2)在图②中画出这个几何体从正面、左面与上面看到的形状图； (3)如果现在还有一些棱长都为的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 19．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 20．如图是由一些相同的小正方体按一定规律组成的立体图形． (1)用含n的代数式表示第n个图形中小正方体的个数； (2)当时，画出所组成的立体图形的三视图； (3)若小正方体的棱长为，请计算第3个图中的立体图形的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 29.2三视图（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 、 三视图概念及被观察物体三视图之间的关系： 1三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2） 正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.被观察物体三视图之间的关系 （1）位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 1.主视图和俯视图的长要相等； 2.主视图和左视图的高要相等； 3.左视图和俯视图的宽要相等. 口诀：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等. 题型1判断简单几何体的三视图 例1．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个正六边形，中间有一个圆且无圆心， 故选：B． 【变式1-1】．如图所示，该几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体俯视图的识别（针对正三棱柱）及三视图中虚实线的使用规则；解题的关键是理解俯视图“从几何体上方观察得到的平面图形”的定义，结合正三棱柱“一个侧面贴地面”的摆放方式，判断可见轮廓线的虚实与形状． 先明确俯视图的观察方向（从几何体上方）；再分析正三棱柱的结构（侧面为正方形、底面为正三角形，一个侧面贴地面），从上方观察时，图形主体为正方形，且正三角形底面的一条可见轮廓线在正方形内部；最后根据“可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线”的规则，确定俯视图的具体形状． 【详解】解：俯视图是从几何体上方观察得到的平面图形，且可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线．该几何体为正三棱柱，一个侧面（正方形）紧贴地面． A、仅为正方形，未体现正三棱柱上方底面的可见轮廓线，无法完整表示俯视图，此选项不符合题意； B、正方形中间为虚线，虚线表示不可见轮廓线，但正三棱柱上方底面的轮廓线从上方观察可见，应为实线，此选项不符合题意； C、正方形中间为实线，符合“上方观察到的正方形主体+内部可见轮廓线”的俯视图特征，此选项符合题意； D、为正三角形，题目明确“正面来看是正三角形”，此为几何体的主视图，非俯视图，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】．以下几何体的主视图是圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的主视图概念及常见几何体的主视图特征，解题的关键是明确主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，并熟记球体、正四面体、正方体、正八面体的主视图形状． 先明确主视图的定义（从正面观察几何体所得到的平面图形）；再分别判断各选项几何体的主视图，球体无论从哪个方向观察主视图均为圆，正四面体主视图为三角形，正方体主视图为正方形，正八面体主视图为菱形（或正方形），据此筛选出主视图是圆的几何体． 【详解】解：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，分析各选项：   A． 几何体为球体，从正面观察球体，其主视图为圆，此选项符合题意；   B． 几何体为正四面体，从正面观察正四面体，其主视图为三角形，此选项不符合题意；   C． 几何体为正方体，从正面观察正方体，其主视图为正方形，此选项不符合题意；   D． 几何体为正八面体，从正面观察正八面体，其主视图为菱形（或正方形），非圆，此选项不符合题意．   故选：A． 【变式1-3】．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、三棱柱的主视图是三角形，左视图是长方形，主视图与左视图不相同，本选项符合题意； 、圆柱的主视图与左视图相同，都是长方形，本选项不符合题意； 、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意； 、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意． 故选：． 题型2判断简单组合体的三视图 例2．如图，将一个长方体木块和一个正方体木块按如图位置摆放在桌面上，其主视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单组合体的主视图，熟练掌握主视图是从物体正面观察得到的视图是解题的关键．根据主视图的定义，从正面观察该组合体，确定看到的图形形状，再与选项进行对比． 【详解】解：从正面看，左边是一个长方形（长方体的主视图），右边是一个正方形（正方体的主视图），形状与选项A一致． 故选：A． 【变式2-1】．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 根据左视图是从左面看到的图形判定即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选：B． 【变式2-2】．如图是五个大小形状相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图；根据主视图的定义，得到从几何体正面看到的平面图形即可． 【详解】解：从正面看得到3列正方形的个数依次为2，1，1， 故选：A． 【变式2-3】．如图所示的几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的要用虚线进行表示． 【详解】解：由图可知，左视图为： 故选：D． 题型3判断非实心几何体的三视图 例3．如图，空心圆柱体的主视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了简单组合体的三视图，检验了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 确定出几何体的主视图即可． 【详解】 解：空心圆柱体的主视图是 故选：C． 【变式3-1】．如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．根据从左面看到的图形是左视图可得答案． 【详解】解：该几何体的左视图为一个长方形，长方形的中间有2条横向的虚线． 故选：D． 【变式3-2】．如图所示几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图如下：    故选：D． 【点睛】此题主要考查了三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 【变式3-3】．如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案． 【详解】该几何体的左视图如图所示： 故选：D． 【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线条需要用虚线表示． 知识点2 、 画三视图的具体方法： 1.确定主视图的位置，画出主视图； 2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正； 3.在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等； 4.为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中用细点划线表示对称轴. 【注意】 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 题型4 已知一种或两种视图判断其他视图 例4．如图是由六个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，培养空间想象能力是解答本题的关键．根据俯视图可知底层有5个正方体，那么第二层以上有1个正方体，即可确定答案． 【详解】解：根据俯视图可知底层有5个正方体，则第二层以上有1个正方体，A、C、D选项第二层有1个正方体，符合题意，B选项第二层有2个正方体，显然不可能． 故选：B． 【变式4-1】．如图，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体的主视图和俯视图，再结合选项中左视图判断正方体的个数，即可得出结论． 【详解】解：∵俯视图中有5个正方形， ∴最底层有5个正方体， A、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有2个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； B、由主视图和左视图可得，第2层有2个正方体，第3层有1个正方体，故共有（个）正方体，故此选项不可能是几何体的左视图，符合题意； C、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有1个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； D、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有1个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】．下面是由若干个小立方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则它的左视图不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体．根据几何体的主视图与俯视图判断即可． 【详解】解：从主视图看，原来的几何体有2列，由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层最多有2个立方体，最少有1个立方体，则左视图可以有如选项A、C、D的三种情况． ∴它的左视图不可能是， 故选：B． 【变式4-3】．超市货架摆放着某品牌方便面盒，它们的主视图和俯视图如图，则它的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图判断几何体，做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解． 【详解】解：观察图形可知，最底层有盒方便面， 因为共盒方便面，所以由主视图可知，第二层有盒，第三层有盒方便面， 故它的左视图可能是C选项． 故选：C． 题型5 画简单几何体的三视图 例5．某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画几何体的三视图，根据主视图是从几何体的正面看到的图形，左视图是从几何体的左面看到的图形，俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行逐个作图，即可作答． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示． 【变式5-1】．如图，把一个正方形切去一块得到下面的几何体，分别画出图中几何体从正面看，从左面看和从上面看到的平面图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-三视图，从不同方向观察物体和几何体，分别画出从正面看到的形状、从左面看到的形状和从上面看到的形状即可． 【详解】解：如图所示： 【变式5-2】．补全下列几何体的三视图． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了作几何体的三视图，通过从正面、侧面和上方三个不同角度观察几何体，绘制相应的视图即可 【详解】解：三视图如图所示： 【变式5-3】．分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握三视图中看得见的用实线，看不见的用虚线是解题的关键．根据看得见的用实线，看不见的用虚线画图即可． 【详解】解：题图1、题图2中几何体的三视图分别如图1、图2所示：      题型6画简单组合体的三视图 例6．图中的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，画出图中几何体的三种视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”． 根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形即可． 【详解】解：该几何体的主视图、左视图和俯视图，如图所示： 【变式6-1】．画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 根据三视图的定义去判断即可． 【详解】 解：的三视图如下： ． 【变式6-2】．画出如图所示组合体的三种视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 根据三视图的定义，画出图形即可． 【详解】解：该组合体三视图如图所示： 【变式6-3】．如图，将一个大立方体挖去一个小立方体，请画出它的三种视图（主视图、左视图、俯视图）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：画出该几何体的三视图如图所示： 题型7画由小立方块堆砌成的图形的三视图 例7．由大小相同（棱长为1分米）的小立方块搭成的几何体如下图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)图中有 块小正方体，它的表面积（含下底面）为 ； (3)用小立方块搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在图中方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要_______个小立方块，最多要_______个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)，平方分米 (3)； 【分析】本题是几何体三视图的问题，考查了画几何体的三视图，根据由小立方体堆成的几何体的三视图得到原几何体所需最小立方体数或最多立方体数，掌握几何体三视图的性质是解题的关键． （1）根据俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，即可作出图形； （2）观察图形可知有两层，下面一层有4个小正方体，上面一层有1个小正方体，即可得共有5个小正方体，有顺序的计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可； （3）先根据俯视图可得第一层有4个小立方块，再结合左视图可得第二层的前面一排没有小立方块，后面一排最少有1个小立方块，最多有3个小立方块，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：观察图形可知有两层，下面一层有4个小正方体，上面一层有1个小正方体， 共有个小正方体， 表面积为：（平方分米）， 故答案为：；平方分米． （3）解：先根据俯视图可得第一层有4个小立方块，再结合左视图可得第二层的前面一排没有小立方块，后面一排最少有1个小立方块，最多有3个小立方块， ∴这样的几何体最少要5个小立方块，最多要7个小立方块， 故答案为：；． 【变式7-1】．用个小立方块搭一个几何体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握三视图的方法是做题的关键．由几何体从正面看的图形，可知从正面看到的图形的列数与左面看到的列数相同，行数相同，然后分别画出从正面、左面、上面看到的图形即可． 【详解】解： 【变式7-2】．由7个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体如图所示． (1)请画出它从三个方向看到的形状图． (2)请计算几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画三视图以及几何体的表面积求法，正确得出三视图是解题关键． （1）利用三视图观察的角度不同分别得出答案； （2）利用几何体的形状得出其表面积． 【详解】（1）解：如图， （2）从正面看，有5个面，从后面看有5个面， 从上面看，有5个面，从下面看，有5个面， 从左面看，有3个面，从右面看，有3个面， 中间空处的两边两个正方形有2个面， 所以表面积为． 【变式7-3】．如图是由一些棱长为的相同的小正方体堆成的简单几何体． (1)请分别在网格图中画出从正面、从左面、从上面看到的这个几何体的图形． (2)如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂色的表面积为多少？ 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，理解视图的定义并掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． （1）根据简单组合体的三视图的画法画出图形即可； （2）根据形状图进行计算即可． 【详解】（1）解：从正面、左面、上面观察到的图形如图所示： （2）解：由题意知，， 即需要涂色的表面积为． 知识点3 、 已知三视图想象立体图形 由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸. 题型8 由三视图还原几何体 例8．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ． 【答案】圆锥 【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握各个几何体的三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形即可解答． 【详解】解：由三视图可知：这个几何体是圆锥. 故答案为：圆锥． 【变式8-1】．小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有 盒． 【答案】 【分析】本题考查三视图，掌握三视图是从三个方向观察物体是解题的关键； 根据题中的主视图、左视图、俯视图，分别得出第一层有盒，第二层最少有盒，第三层最少有盒，进而即可得出答案． 【详解】解：根据题意得第一层有盒，第二层最少有盒，第三层最少有盒，所以至少共有盒． 故答案为：． 【变式8-2】．某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【答案】 【分析】本题考查由三视图还原几何体，注意结合图形解答是关键．由三视图可知这个几何体木块有两层，由主视图和俯视图可知底层有三个小正方体，上层只在最左边有一个小正方体，加起来得到结果数． 【详解】解：由主视图、俯视图可知这个几何体木块有两层， 底层有块，由主视图和俯视图知上层只在最左边有一个小正方体， 综上可知共有块正方体， 故答案为：． 【变式8-3】．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了由三视图还原实物图形，熟练掌握三视图确定各层小正方体数，是解题的关键． 根据几何体的三视图，可以知道这个几何体有3行2列2层，得出底层和第二层的个数相加即可． 【详解】解：综合三视图得出，这个几何体有3行2列2层， 从上面看底层有4个小正方体； 从正面看和从左面看第二层有1个小正方体； 因此搭成这个几何体的小正方体的个数是：． 故答案为：5． 知识点4 、 由三视图求立体图形的面积（体积） 1）先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高. 2）将立体图形展开成一个平面图形 (展开图)，观察它的组成部分. 3）最后根据已知数据，求出展开图的面积（体积）. 题型9已知三视图求边长 例9．一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了已知三视图求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，根据题意得出是解题的关键． 根据三视图的对应情况可以得出，中上的高即为的长，进而通过解直角三角形即可求出． 【详解】解：如图，过点E作于点Q， 由题意可知：， ，， ， 故答案为：． 【变式9-1】．如图，礼盒的上下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质、立体图形的三视图和学生的空间想象能力；注意知道正六边形两个顶点间的最大距离，求对边之间的距离，需构造直角三角形，利用相应的三角函数求解． 由正视图知道，高是，两顶点之间的最大距离为，应利用正六边形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可． 【详解】解：根据题意，作出实际图形的上底， 如图：是上底面的两边． 则， 作于点， 那么， 所以， 胶带的长至少． 故答案为：． 【变式9-2】．如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） (1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； (2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，因此，b等于底面三角形的高； （2）三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10， 因此，， 故答案为：，； （2）解： ， 即这个几何体的侧面积为． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状． 【变式9-3】．知一个直棱柱的三视图如图所示：（单位：）．请在俯视图的虚线框内注上符合的数据． 【答案】详见解析. 【分析】根据长对正，高平齐，宽相等的原则填空． 【详解】解：根据三视图长对正，高平齐，宽相等的原则，则 【点睛】考查几何体的三视图，掌握三个视图之间的关系是解决问题的关键． 题型10已知三视图求侧面积和表面积 例10． 如图是某几何体的三视图，写出该几何体的名称，并根据图示数据，计算出该几何体的侧面积． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，由三视图求立体几何的侧面积，熟练掌握相关知识为解题关键． 由三视图可知几何体为圆柱，那么侧面积底面周长高． 【详解】解： 由三视图得，几何体是圆柱，底面直径是4，高是6， 则底面周长，侧面积． 【变式10-1】．如图，是一个食品包装箱的表面展开图单位： (1)请写出这个包装盒的几何体的名称：______； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体的侧面积为 【分析】本题考查几何体的展开图，几何体的表面积，掌握三棱柱的形体特征是正确解答的关键． （1）根据三棱柱展开图的特征进行判断即可； （2）侧面展开图是长为，宽为的长方形，由长方形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）这个几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）这个几何体的侧面积为 【变式10-2】．在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)该几何体的主视图是 ，左视图是 ；（填序号） (2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． 【答案】(1)①，② (2)， 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体，几何体的表面积以及体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分别从正面、左面看到的图形，得出几何体的主视图和左视图，进行作答即可． （2）根据三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，根据面积计算公式即可得到这个几何体的表面积；根据体积计算公式利用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可得到这个几何体的体积． 【详解】（1）解：由题意可得，该几何体的主视图是①，左视图是②； 故答案为：①，②； （2）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变， 则这个几何体的表面积为：， 这个几何体的体积为：， 答：这个几何体的表面积与体积分别为，． 【变式10-3】．一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是___________； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图． （1）根据三视图的知识即可判断出该几何体是五棱柱； （2）根据三视图可知底面是正五边形，用底面的边长乘以高再乘以5即可求出侧面积． 【详解】（1）解：根据三视图的知识即可判断出该几何体是五棱柱； 故答案为：五棱柱； （2）解：由三视图可知，这个几何体的侧面是五个长为，宽为的矩形， 这个几何体的侧面积为：， 答：这个几何体的侧面积是． 题型11已知三视图求体积 例11．长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查长方体的三视图、体积的计算方法及用平面截几何体的方法，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （2）由三视图确定长方体的长、宽、高，利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、六边形． 故答案为：①②③ （2）解：由主视图可知长方体的长为，高为， 由俯视图可知长方体的宽为， ∴该几何体的体积为． 【变式11-1】．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高 (2)这个立体图形的体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图： （1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可； （2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高； （2）解：此立体图形的体积是． 【变式11-2】．张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算： （1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案； （2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图． 在中，，， 所以可设． 根据勾股定理，得，解得， ∴， 由三视图，可知． （2）解：直三棱柱的体积为． 【变式11-3】．如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图，回答下列问题： (1)这个几何体是由圆柱和________________组成； (2)求这个几何体的体积（，结果保留，单位：cm） 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，求圆柱的体积， 对于（1），观察三视图可知组合体上面是一个圆柱，下面是一个长方体； 对于（2），根据体积公式求解即可． 【详解】（1）解：观察组合体上面是一个圆柱，下面是一个长方体. 故答案为：长方体； （2）解：该几何体上部分是一个圆柱，底面直径是、高是；下部分是一个长方体，长、宽、高分别是. ∴， ∴该几何体的体积为． 题型12求小立方块堆砌成的图形的表面积 例12．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图： (2)如果小正方体的棱长为2，则该几何体的表面积是多少？（包括底面） (3)在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加___________个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)104 (3)4 【分析】本题主要考查了从三个方向观察几何体、不改变两种视图最多添加正方体数等知识点，较强的空间想象能力是解题的关键． （1）分别从正面、左面和上面观察几何体画出平面图形即可； （2）根据几何体表面积的定义列式计算即可； （3）以从上面看得到的形状图为参照，再标出每个位置最多添加的正方体个数即可解答． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：． （3）解：如图所示，从上面看形状图上的数字即为该位置增加的正方体个数，此几何体从正面、左面观察所看到的形状图不变． 所以最多还可以添加4个小正方体． 故答案为：4． 【变式12-1】．一个几何体由棱长为1的大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块个数． (1)请画出该几何体的主视图和左视图； (2)请求出该几何体的表面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的是几何体的三视图画法，掌握相关知识是解题的关键． （1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为4，2，3；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3．据此可画出图形； （2）根据从三个方向看到的图形确定几何体的形状，求出各面的小正方形数，根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，该几何体的主视图和左视图如下： （2）解：由题意可得， 该几何体的表面积． 【变式12-2】．把棱长为的若干个小正方体摆放如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面）． (1)该几何体中有_____个小正方体； (2)涂上颜色部分的总面积是_____； (3)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下6层，求涂上颜色部分的总面积． 【答案】(1)14 (2)33 (3) 【分析】本题考查小立方块堆砌图形的表面积，解题的关键是具备一定的归纳概括和空间想象能力． （1）将每一层中的小正方体个数相加即可； （2）该几何体前、后、左、右各有个面露出表面，从上面看有个面露出表面，由此可解； （3）同（2），找出规律，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，第一层有1个小正方体，第二层有4个小正方体，第三层有9个小正方体， ， 可知该几何体中有14个小正方体． 故答案为：14； （2）解：由图可知，该几何体前、后、左、右各有个面露出表面，从上面看有个面露出表面， 因此涂上颜色部分的总面积是， 故答案为：33； （3）同（2）可知，该物体摆放了上下6层时，前、后、左、右各有个面露出表面，从上面看有个面露出表面， 因此涂上颜色部分的总面积是． 【变式12-3】．如图，由若干个完全相同棱长为1厘米的小正方体堆成一个几何体， (1)请分别画出该几何体从正面看、从左面看、从上面看所得到的图形． (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体； (3)如果在这个几何体露在外面的表面(不包含下底面)喷上黄色的漆，每平方厘米用3克，则共需多少克漆？ 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)96克 【分析】本题考查作图三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量； （3）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量． 【详解】（1）解：这个几何体从正面、左面、上面看到的几何体的形状图： （2）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示： 其中红色的数字是相应位置添加的最多数量，因此最多可添加3块，故答案为：3． （3）解：克， 即共需96克漆． 题型13由三视图判断小立方体的个数 例13．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 【答案】(1)8，图形见解析 (2)200 (3)3 【分析】本题考查作图—三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示，注意涂色面积是组成几何体的表面面积． （1）先数出这个几何体中小正方体的个数，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，3，左视图有2列，每列小正方体数目分别为3，1，俯视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，2，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积即可求解； （3）保持从上面看和从左面看到的图形不变，可往第一列上面的几何体上放2个小正方体， 第二列上面的几何体上放1个小正方体，即可． 【详解】（1）解：这个几何体是由个小正方体组成， 这个几何体从三个方向看的图形，如下图： 故答案为：8 （2）解：克， 即共需200克漆； 故答案为：200 （3）解：保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加个小正方体． 【点睛】故答案为：3． 【变式13-1】．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，该几何体的体积是______，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)10，，见解析； (2)256； (3)4． 【分析】本题考查作图-三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （1）先数出这个几何体中小正方体的个数，再计算体积，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积即可求解； （3）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体；第3列后面的几何体上放1个小正方体． 【详解】（1）解：这个几何体是由10个小正方体组成， 体积为：， 三视图如图所示： 故答案为：10，； （2）解：这个几何体的表面有38个正方形，去掉地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆， ∴表面积为，（克） ∴共需256克漆． 故答案为：256； （3）解：如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加个． 故答案为：4． 【变式13-2】．用若干个棱长为的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)这个几何体的体积为________． (2)请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图、俯视图、左视图． (3)在上面的实物图中，再添加一个小正方体，使得它的主视图和左视图不变，那么它的俯视图共有多少种不同结果？ 【答案】(1)7 (2)见解析 (3)2种 【分析】本题主要考查三视图的画法，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． （1）根据该组合图形由个棱长为的小正方体搭成，即可知这个几何体的体积为； （2）根据主视图是从前面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，画出图形即可； （3）根据题意可知，要想添加一个小正方体，使得它的左视图和俯视图不变，只能在第二列上面或第三列上面添加一个小正方体，由此即可知其主视图有两种情况． 【详解】（1）解：根据图形可知，该组合体由个棱长为的小正方体搭成， ∵一个小正方体的体积为， ∴这个几何体的体积为． 故答案为：； （2）解：如图所示： （3）解：如图，要想添加一个小正方体，使得它的左视图和主视图不变，那么只能在或处添加一个小正方体． 如图所示，它的俯视图共有种不同结果． 综上可知，它的主视图共有种不同结果． 故答案为：． 【变式13-3】．如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三视图． (2)堆成该几何体需要__________块小正方体． (3)该几何体的表面积（含下底面）为__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)10 (3)38 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是解题的关键． （1）根据几何体的三视图画法，即可求解， （2）将每层的三列小正方体数量相加，再求和，即可求解 （3）先求出每个小正方体的表面积，再减掉小正方体相互接触的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：一层小正方体数量：， 二层小正方体数量：， 三层小正方体数量：， 全部小正方体数量：， 故答案为：10， （3）解：一个小正方体的表面积：， 全部小正方体的表面积：， 图中小正方体相互接触的面积：， 该几何体的表面积：， 故答案为：38． 题型14已知三视图求最多或最少的小立方块个数 例14．用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它满足以下条件：从上面、正面看到的这个几何体的形状图如图所示． (1)搭一个这样的几何体最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ (2)请你画出由最多小正方体搭成的几何体从左面看到的形状图，并在从上面看的形状图的小正方形内标注该位置上小正方体的个数． 【答案】(1)最多8个；最少7个 (2)见解析 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，培养空间想象思维是解题关键． （1）根据俯视图、主视图的形状可得出答案； （2）由（1）得出最多小正方体搭成的几何体，画图并标注即可． 【详解】（1）解：从上面看到的形状图可以看出： 几何体共3列3排； 从正面看到的形状图可以看出： 几何体从左到右共3列，第一列最多1层，第二列最多2层，第三列最多1层； 则搭一个这样的几何体最多需要（个）小正方体， 最少需要（个）个小正方体． （2） 由最多小正方体搭成的几何体从左面看到的形状图为； 从上面看的形状图的小正方形内标注该位置上小正方体的个数为． 【变式14-1】．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示． (1)这个几何体是由 ______ 个小正方体组成，该几何体的体积是 ______，请用阴影画出这个几何体从三个方向看图形的图形． (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用3克，则共需______克漆． (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看和从左面看不变，最多可以再添加 ______ 个小正方体． 【答案】(1)10，，见解析； (2) (3)4 【分析】本题考查从不同方向看几何体．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （1）先数出这个几何体中小正方体的个数，再计算体积，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积，表面积计算后乘即可求解； （3）从上面看和从左面看不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体；第3列后面的几何体上放1个小正方体． 【详解】（1）解：这个几何体是由10个小正方体组成， 体积为：， 三视图如图所示： 故答案为：10，； （2）解：这个几何体的表面有(个正方形，去掉地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆， ∴表面积为，（克） ∴共需克漆． 故答案为：； （3）解：如图 如果保持从上面看和从左面看不变，最多可以再添加个． 故答案为：4． 【变式14-2】．如图，是由9个棱长均为的小立方体搭成的几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． (2)若将该几何体的表面（不含底面）涂上颜色，则涂色部分的面积是________． (3)用小立方体再搭一个几何体，使得它从上面、左面看到的形状图与（1）中相应看到的一致，则搭成的这个几何体最多要用_______个小立方体，最少要用________个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13，8 【分析】（1）根据从正面、左面、上面看到的形状画出即可； （2）前后面要涂色的各有8个面，左右面要涂色的各有5个面，上面要涂色的有5个面，由此可求出涂色部分的面积； （3）最多在原来9个的基础上还可以在后排加3个，前排加1个，共加4个；最少在原来9个的基础上还可以在后排中间减1个，即最少8个，由此可以完成． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由图知，前后面要涂色的各有8个面，左右面要涂色的各有5个面，上面要涂色的有5个面，则涂色部分的面积为； 故答案为：； （3）解：从上面、左面看到的形状图，最多在原来9个的基础上还可以在后排加3个，前排加1个，共加4个；最少在原来9个的基础上还可以在后排中间减1个，即最少8个， 故答案为：13，8． 【变式14-3】．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有______个小正方体； (2)若在几何体表面露出部分不含底面喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)11 (2) (3)4 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． （1）根据拼图可直接得出答案； （2）求出主视图、左视图、俯视图的面积，再根据表面积的意义进行计算即可； （3）根据题意，结合俯视图和左视图，从左面看的图将多余的小正方体补进去即可． 【详解】（1）解：根据拼图可知，共有11个小正方体； 故答案为：11； （2）解∶分析这个图形的三视图可得：主视图面积为，左视图为，俯视图的面积为， ， 答：这个几何体喷漆的面积为； （3）解∶如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加4个小正方体． 故答案为： 题型15视图变化分析 例15．作图题： (1)请在方格中画出该几何体的三个视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加几块小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)最多可以添加2块 【分析】本题考查了三视图，解题的关键是具有一定的空间概念． （1）根据三视图画出相应的图形即可； （2）在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． 【详解】（1）解：该几何体的三个视图如图所示， ； （2）解：在如图所示位置添加相应数量的小正方体， 所以最多可以添加2块． 【变式15-1】．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)见详解 (2)2 (3) 【分析】本题考查了画三视图、求几何体的表面积、根据三视图求添加小正方体个数，熟练掌握三视图是解题的关键． （1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）要保持主视图和左视图不变，可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加块小正方体； （3）将主视图、左视图、俯视图面积相加，再乘2即可得出这堆几何体的表面积． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：∵要保持主视图和左视图不变， ∴可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加1块小正方体，即最多可以再添加2块小正方体， 故答案为：2． （3）解：∵小正方体的棱长都为， ∴块小正方形的面积， ∴这堆几何体的表面积； 答：添加最多的小正方体后该几何体的表面积为． 【变式15-2】．如图是置于桌面上，用块完全相同的小正方体搭成的几何体．    (1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图、俯视图； (2)已知每个小正方体的棱长为，则该几何体露在外面的表面积是______； (3)如果在这个几何体上拿掉一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以拿掉______个小正方体． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据简单组合体的三视图的画法，画出从正面、左面、上面看该组合体所看到的图形即可； （2）根据左视图、左视图、俯视图的面积进行计算即可； （3）从俯视图的相应位置减少小立方体，直至左视图和主视图不变即可． 【详解】（1）解：该组合体的主视图、左视图、俯视图如图所示：    （2）∵该组合体的主视图面积为，左视图面积为，俯视图面积为， ∴该几何体露在外面的表面积是：， 故答案为：； （3）∵保持这个几何体的左视图和主视图不变， ∴在俯视图的相应位置：第一行第二列拿掉个正方体或第二行第二列拿掉个正方体，如图所示：   或   ∴最多可以拿掉个小正方体． 故答案为：． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 【变式15-3】．数学思想·分类讨论用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，搭成这个几何体最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？ 【答案】最少是10个，最多是16个 【分析】本题主要考查了三视图的知识，掌握三视图的观察方法是解题的关键． 根据主视图和俯视图首先确定每一层最少和最多的小正方体的个数即可解答． 【详解】解：这样的几何体不唯一． 层数（从下往上数） 需要小立方块的个数 最少 最多 第一层 7 7 第二层 2 6 第三层 1 3 总计 10 16 由上表可知，需要的小立方块个数最少是10个，最多是16个． 例16．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)______，______，_____； (2)这个几何体最少由_____个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成； (3)当，，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)3，1，1 (2)9，11 (3)见解析 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体的知识，解题关键是掌握从不同方向看到的图形所含的组成的几何体的层数和列数的信息． （1）由从正面看到的图形可知，第二列小立方体的个数均为1，第三列的小立方体个数为3，即可求解； （2）根据从正面看，一共有三列：第一列有2层，第二列有1层，第三列有3层；从上面看，一共有3行，从左到右，第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个，即可求解； （3）根据从左面看到的图形有三列，每列小正方形数目分别为3，1，2，即可求解． 【详解】（1）解：从正面看，第二列有1层，第三列有3层， ∴， 故答案为：3，1，1； （2）解：从正面看，一共有三列：第一列有2层，第二列有1层，第三列有3层， 从上面看，一共有3行，从左到右，第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个， ∴这个几何体最少由个小立方块搭成，最多由个小立方块搭成； 故答案为：9，11； （3）解：如图所示， 【变式16-1】．用7个小立方块搭成的几何体如图所示． (1)请你画出从它的正面和左面看到的形状图． (2)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加___________个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查三视图的相关计算、作三视图，正确理解题意是解题的关键． （1）根据三视图的定义作图即可； （2）根据三视图的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵保持从上面和左面观察到的形状图不变， ∴从上面观察第一行第一列可以放1个小立方块，第一行第二列可以放2个小立方块， ∴最多可以添加3个小立方块， 故答案为：3． 【变式16-2】．在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【答案】(1)1 (2)不赞同思思同学的结论，计算见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求出，然后与过道的宽度进行比较，即可得出答案； （3）过点作于，交于点，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （4）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，根据勾股定理求出此时的长度即可． 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形， ，， ， ∴； （2）解：不赞同思思同学的结论，理由如下： 如图，连接， 由可求得， ，， ， ， ， 过道宽度都是， 该物品不能顺利通过直角过道， 不赞同思思的结论； （3）解：如图，过点作于，交于点， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， ， 负值舍， ； 答：的长是； （4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，且， ∴， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质以及物体的三视图等知识，充分理解题意正确列式是解题的关键． 【变式16-3】．小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164 【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可； 探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可. 【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体， ∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．． ∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体， ∴，即， 解得或（舍去）， 故答案为：6，20； 探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体， 图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 故答案为：18； 探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成， ∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段， ∴图1中一共包含个长方体， 故答案为：； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：∵拿走前后的三视图需要一样， ∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求， ∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体， ①当剩下正方体按如下俯视图摆放时， 表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124 ②当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142 ③同理，当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158 ④当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164 故答案为：124或142或158或164 【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图所示的是大写字母B，以箭头所指的方向为主视方向，则它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据左视图的画法进行判断． 【详解】解：由题意得，左视图只能看到一个矩形轮廓，用实线表示，其他内部线段均为虚线表示； 即为， 故选：B． 2．用小立方体搭一个几何体，分别从它的正面、上面看到的形状如图所示．搭这样的几何体最少、最多需要的小立方体个数分别为（    ） A．6，9 B．5，7 C．6，8 D．7，8 【答案】C 【分析】此题主要考查了不同方向看几何体，关键是掌握从上面看可以看出最底层小正方体的个数及形状，从正面看可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：∵从上面看有个正方形， ∴最底层有个正方体， 从正面看可得第层最少有个正方体； 最多有个正方体， ∴该组合几何体最少有个正方体，最多有个正方体． 故选：C． 3．从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，解决本题的关键是熟练掌握几何体的三视图；根据三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱． ∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个三角形， ∴此几何体为三棱柱， 根据主视图中间是虚线可知其中一条棱看不见； 故选：A． 4．已知左图是下列四个几何体中某个几何体的俯视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查几何体的俯视图，分别作出选项中几何体的俯视图再进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的几何体的俯视图是： 故此选项不符合题意； B、选项中的几何体的俯视图是： 故此选项不符合题意； C、选项中的几何体的俯视图是： 故此选项不符合题意； D、选项中的几何体的俯视图是： 故此选项符合题意； 故选：D． 5．如图三视图所表示的几何体是（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．圆锥 D．不存在 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，观察题干的三视图，再结合常见的几何体的特征，即可作答． 【详解】解：观察题干的三视图，这样的几何体是不存在的， 故选：D 6．如图，长方体的三视图，若用表示面积，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，三视图. 先将，分解因式，根据面积公式可知，的公因式即为长方体的高，进而可知长方体的长和宽，进而计算即可. 【详解】∵，，，， ∴长方体的高为， 即长方体的长为，长方体的宽为， ∴， 故选：B. 7．如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据三视图求几何体的体积，勾股定理，等边三角形的性质，由三视图得到正三棱柱的底面为等边三角形，等边三角形的高为，正三棱柱的高为，根据正三棱柱的体积为底面积乘以高，进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得，正三棱柱的底面为等边三角形，过作于点， ∴， ∴， ∴，即等边三角形的高为， ∴这个正三棱柱的体积是， 故选：． 8．如图，这是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”成为解题的关键． 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此求解即可． 【详解】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有2个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是个． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．一个零件，从正面看、从左面看和从上面看到的零件的形状图如图所示(尺寸单位：厘米)，这个零件的体积为 立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了三视图和长方体的体积公式．根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】由三视图可知，该零件是一个长方体，且长方体的三边长分别为厘米、厘米和厘米， 故该零件的体积为（立方厘米）， 故答案为：． 10．将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为 ． 【答案】144 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；根据简单几何体三视图的定义得出其主视图是边长为的正方形即可． 【详解】解：这个几何体的主视图的面积，即边长为的正方形的面积，所以主视图的面积为， 故答案为：144． 11．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、左面、上面看到的形状图，则构成这个几何体的小立方块的个数是 个． 【答案】5 【分析】本题考查了从不同方向看到的形状确定小立方块的个数；从上面看到的形状可知，第一层有4个小立方块，根据从正面与左面看到的形状，第二层只有1个小立方块，则确定共有5个小立方块． 【详解】解：从上面看到的形状可知，第一层有4个小立方块，根据从正面与左面看到的形状，第二层只有1个小立方块，共有5个小立方块； 故答案为：5． 12．一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是 ．       【答案】 【分析】由三视图可知，该几何体底面是直角边为的等腰直角三角形，高为的三棱柱，根据三棱柱的表面积公式求解即可． 【详解】解：这个几何体的表面积为： ； 故答案为． 13．某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题关键．根据三视图得出这个几何体是一个底面直径为2、高为3的圆柱，再根据圆柱的体积公式计算即可得． 【详解】解：由三视图可知，这个几何体是一个底面直径为2、高为3的圆柱， 所以这个几何体的体积是， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．请根据下图（1）、（2）、（3）的立体图形的三视图说出立体图形的名称． 【答案】（1）三棱锥；（2）长方体；（3）圆柱 【分析】本题考查由三视图确定几何体，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 由三视图想象立体图形时，首先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形． 【详解】解：（1）三棱锥；（2）长方体；（3）圆柱. 15．图1是地面上由8个棱长为的正方体积木搭成的几何体，回答下列问题： (1)在图2中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)将图1中小立方块①移走后，从 面看到的新几何体的形状图不发生改变，如果保持从这个面看的形状不改变，最多可以再移走 个小立方块； (3)求出图1中8个小立方块搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）． 【答案】(1)见解析 (2)正；2 (3) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的表面积，利用空间想象力解析是解题的关键． （1）根据从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状画图即可； （2）由几何体可知，小立方块①移走后，从正面看到的新几何体的形状图不发生改变，即可得到答案； （3）根据几何体表面的小正方形数量计算表面积即可． 【详解】（1）解：如下图： （2）解：将图1中小立方块①移走后，从正面看到的新几何体的形状图不发生改变，如果保持从这个面看的形状不改变，最多可以再移走2个小立方块； （3）解：， 故答案为：． 16．分别画出图中立体图形的三视图． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了三视图的画法，正确从不同的角度得出图形的形状是解题关键． 利用三视图的画法从不同的角度画出图形得出即可． 【详解】解：如图所示 17．如图是某几何体的三视图： (1)这个几何体的名称是______． (2)这个几何体的顶点数是______，面数是______，棱数是______． (3)求这个几何体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)6，5，9 (3) 【分析】本题考查了三棱柱，解题关键是熟悉三棱柱的构造特点， （1）根据几何体特征直接得出结论； （2）根据几何体特征得出结论； （3）结合几何体展开图特征求出结论即可． 【详解】（1）解：这个几何体的名称是三棱柱； 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的顶点数是6，面数是5，棱数是9； 故答案为：6，5，9； （3）解：这个几何体的表面积为 ． 18．如图①所示，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)一共有______个小正方体； (2)在图②中画出这个几何体从正面、左面与上面看到的形状图； (3)如果现在还有一些棱长都为的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)5 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体，几何体的表面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图①最下层有七个，第二层有两个，最上层有一个，所以共有十个； （2）根据几何体的特征可作图，进而先确定出表面正方形的个数，然后求出表面积即可； （3）要保持从上面和左面看到的形状图都不变，在从前向后数的第二排的每一列都可以最多放三个，据此解答即可． 【详解】（1）解：一共有个小正方体． 故答案为：； （2）解：如图， 这个几何体的表面积； （3）解：在从上面看到的形状图上摆放相应数量的小正方体，使其从上面看到的形状图和从左面看到的形状图都不变， 所以最多可以添加个． 故答案为：5． 19．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)它的表面积为，它的体积为． 【分析】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积，体积等相关知识，考查学生的空间想象能力． （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的表面积以及体积公式计算即可． 【详解】（1）解：这个几何体为三棱柱． （2）解：它的表面积为：； 它的体积为：． 所以，它的表面积为：，它的体积为：． 20．如图是由一些相同的小正方体按一定规律组成的立体图形． (1)用含n的代数式表示第n个图形中小正方体的个数； (2)当时，画出所组成的立体图形的三视图； (3)若小正方体的棱长为，请计算第3个图中的立体图形的表面积． 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了图形规律的探究、三视图的画法以及正方体的表面积公式等，掌握这些是解题的关键． （1）观察图形得出每个图形中小正方体的个数，从而得出第n个图形中小正方体的个数； （2）根据三视图的定义，按第三个图画出来即可； （3）根据正方体的表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由图知，每个图的小正方体个数为： 第一个图：， 第二个图：， 第三个图：，               第n个图：， 所以第n个图形中有个小正方体； （2）当时，图形的三视图如下： （3）因为小正方体的棱长为， 所以第3个图中的立体图形的表面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $