五年级学习笔记-【真题圈】2025-2026学年小学上学期数学专项练习（人教版 北京专版）

RJ五年级数学上1A 1小数乘法 考点梳理 考点1小数乘整数。重点 1.小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个 技巧 计算小数乘整数时，可 相同加数的和的简便运算。 以根据计量单位间的关 例一个文具盒8.5元，王老师买3个文具盒需要多少元？ 系，将它转化为整数乘 8.5 8.5元=8元5角 法进行计算。 8.5 8元×3=24元 +8.55角×3=15角 25.524元+15角=25.5元 8.5元 把8.5元看作85角 85角 3 × 3 25.5元 把255角看作25.5元 255角 答：王老师买3个文具盒需要25.5元。 技巧· 2.借助因数和积的变化规律，将小数乘整数转化为整数乘 提示1 法计算。 小数点点 例计算0.72×5=3.6 哪呢？ 10.5 ×100 0.72 72 : …把0.72扩大到原来的100倍。 ×2 5 5 …5不变。 210 ÷100 3.6N 360 …得到的积360就是原来的积的 因数中有几位 100倍。要求原来的积，就要 小数就从积的 把360除以100。 提示1· 右边起数出几 考点2小数乘小数。重难点 位，点上小数 点就可以了。 1.小数乘小数的计算方法。 (1)先按照整数乘法算出积，再点小数点； (2)点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边 起数出几位，点上小数点。 拓展1 例1计算1.92×0.9=1.728 将1.92×0.9转化为 ×100 192×9计算，也就是将 1.92 X10→ 192 0.9 9 拓展小数乘法转化成整数乘 1.728 ÷1000之 1728 法，体现了转化思想。 学习笔记 例2计算0.56×0.04=0.0224。 提示2 积的小数位数不够，要在 0.025 0.56…两位小数 0.4 前面用0补足，再点上小X 0.04…两位小数 100 数点。 0.0224…四位小数 整数部分的0（起占位作用）个 个补位的0 提示2广 2.积与因数的大小关系。 拓展2广 积该有四 待我去积 (1)一个数(0除外)乘大于1的数，积比原来的数大。 位小数，位 的前面补 数不够我 足位数后 (2)一个数(0除外)乘等于1的数，积和原来的数相等。 咋点？ 你再点。 (3)一个数(0除外)乘小于1的数，积比原来的数小。 3.验算方法。 拓展2 (1)把因数的位置交换一下，再乘一遍。 为什么积 因为我 比我大呢？ 大于1。 (2)用计算器验算。 (3)用积和因数之间的大小关系估计结果的范围。拓展3广 6.6×1.2=7.92 考点3积的近似数。重点 当你小于 那当然是你 求积的近似数，先按照小数乘法的计算方法算出积，然后 1呢？ 大于积喽！ 看需要保留数位的下一位，再按“四舍五入”法求出结果。 例计算0.049×45。（得数保留一位小数。） 6.6×0.85.28 0.049×45=2.205 一0<5，舍去0和5，保留一位小数。 拓展3 0.049×45≈2.2用约等号“≈”连接。 拓展4广 学习小数除法后，还可 以用小数除法来验算。 考点整数乘法运算律推广到小数。重难点 方法1：交换因数的位置。 1.小数四则混合运算的顺序和整数四则混合运算的顺序 方法2：用计算器验算。 方法3：估计结果的 相同。 范围。 2.整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也 拓展4 适用。 保留一位小数，精确到 十分位(0.1)；保留两位 (1)交换律。 小数，精确到百分位 例0.7×1,2=1.2×0.7→交换两个因数的位置 (0.01):保留三位小数， 0.84 0.84 +得数不变 精确到千分位(0.001) 相等 0… 2 RJ五年级数学上1A (2)结合律。 提示3 例 (0.8×0.5)×0.4=0.8×(0.5×0.4)→调整运算顺序 简算时，可以将接近整 ① ① 十、整百、整千的数拆分 ② ② 成整十、整百、整千的数 0.16 0.16 ·得数不变 和一位数相加减的形 相等 式，再运用乘法分配律 (3)分配律。 进行计算。 例(2.4+3.6)×0.5=2.4×0.5+3.6×0.5将先求和 例0.65×202 ① ① ① 再求积变 =0.65×(200+2) ② 成先求积 =0.65×200+0.65×2 3 3→得数不变 再求和 相等 =130+1.3 =131.3 3.根据算式中数据的特点，灵活应用简便算法进行计算。 2.5×32+25×6.8 提示3· =2.5×32+2.5×68 考点⑤解决问题。重难点 =2.5×(32+68) =2.5×100 1.用估算解决实际问题。 =250 购物时，可以把数估大，仍没超过带的钱数，说明钱够；还可 提示4 估算就是根据实际情况 以把数估小，正好等于或大于带的钱数，说明钱不够。 提示4◆ 的不同，把数估大或估 例周老师带70元去超市购物。他买了2kg猪肉，每千 小，灵活采用不同的估 算方法。 克22.5元；1.5kg西红柿，每千克5元；0.8kg山药，每千克 (1)在进行估算时，一般 10元。他带的钱够吗？ 都估大或者都估小。 (2)把数看成与其本身 商品 数量/kg 单价/（元/kg) 总价/元 非常接近的数，一般采 用“四舍五入”法或者使 猪肉 2 22.5 <50 用某些特殊数（乘法中 西红柿 1.5 5 10 的特殊组合：125×8= 山药 0.8 10 <10 1000,25×4=100)。 1kg猪肉不到25元，2kg猪肉不到50元，1.5kg西红柿 应用 不到10元，0.8kg山药也不到10元，总共不超过50十10十 生活中有许多分段计费 的实际问题，如出租车 10=70(元)，所以他带的钱够。 计费问题、话费问题、阶 2.分段计费问题。 梯水价问题、阶梯电价 问题，在解决这类问题 解决分段计费问题，关键是理解每一段的收费标准。可以 时，要牢记分段计费的 先计算出各段的费用，再求和就是总费用。 应用 方法哟！ 3 学习笔记 易错探析 举一反三 易错点1积的小数位数不够时，忘记先在前面用0补足位数， 易错点1 再点小数点。 列竖式计算。 0.45×0.07= 例题判断下面两个积的小数点有没有点错，对的画 “√”，错的画“X”。 0.32×0.3=9.6( )3.47×0.6=0.2082( 分析：计算0.32×0.3时，先将0.32×0.3转化成32×3， 0.33×0.23= 得出积是96，再看两个因数中一共有三位小数，所以积的小数 部分应该也有三位，此时，应从96的右边起数出三位，位数不 够，要在前面用0补足，再点上小数点，得到正确的结果为 0.096。试着计算一下3.47X0.6吧。 易错点2 列竖式计算。 答案：XX 0.28×60= 易错点②确定小数点位置时，点小数点和去掉末尾的0的先 后顺序弄错。 例题列竖式计算：2.86×0.5 分析：确定积的小数点的位置时，如果积的末尾有0，应先0.38×0.25= 点上小数点，再去掉小数部分末尾的0。计算时，先将2.86× 0.5转化成286×5，得出积是1430，因为两个因数中一共有三 位小数，所以积的小数部分应该也有三位，又因为小数部分末 易错点3 尾的0可以省略，所以结果应该是1.43。 1.填空题。 答案：1.43 0.332×3的积保留两位 易错点3求积的近似数时，遇到连续进位时容易出错。 小数约是( )。 2.列竖式计算。（得数 例题列竖式计算。（得数保留一位小数。） 保留整数。) 0.999×9≈ 4.39×0.9≈ 分析：先计算出0.999×9的积是8.991，要求得数保留一 位小数，所以我们要看所需保留位数的下一位，即百分位。百 分位上的数为9，比5大，向前一位进1，这时十分位上的数满十 4 RJ五年级数学上1A 又向前一位进1，十分位上写0，要注意这个0不能去掉，在积 易错点4 的个位上写9。 1.填空题。 答案：9.0 某市出租车收费标准为 3km以内10元（包含 易错点④分段计费的实际问题中，容易犯以下错误：用分段计 3km),超过3km的部 算法计算超出起步价部分的费用时，没有用总量减去起步量； 分，每千米收取2.5元 (不足1km按1km计 用假设调整法计算时，忘记加上起步部分少算的费用。 算)，明明某天乘坐出租 例题王老师乘坐出租车从学校到距离16.4km远的高 车，第一次行驶里程为 铁站，已知出租车的起步价是6元(2km及以内)，超过2km 2.9km,应付车费 ()元；第二次行驶 的部分按每千米1.4元计费（不足1km按1km计算）。王老 里程是8.3km,应付车 师需要付多少元？ 费()元。 2.解决问题。 分析：解决本题有两种方法，用分段计算法计算时，车费分 某游乐场的收费标准为 为两部分，第一部分是起步价，第二部分是超出起步价部分的 20元可以畅玩2小时 费用，它们的和就是王老师需要付的车费。注意第二部分不要 (包含2小时)，超出2 小时的部分，每小时收 计算成总路程对应的费用；用假设调整法计算时，先都按每千 费8.5元。琨琨在该游 米1.4元计算，再加上起步价部分少算的费用。 乐场玩了5小时，应付 答案：方法一16.4-2=14.4(km)14.4km按15km 费多少元？ 计算。15×1.4+6=27（元） 方法二16.4km按17km计算。 17×1.4=23.8(元) 6-2×1.4=3.2(元) 23.8+3.2=27(元) 答：王老师需要付27元。 目举一反三答案 易错点1（竖式略）0.03150.0759 易错点2（竖式略）16.80.095 易错点31.1.002.（竖式略)4 易错点41.1025 2.方法一(5-2)×8.5=25.5（元）25.5+20=45.5（元） 方法二5×8.5=42.5（元）20-2×8.5=3（元）42.5+3=45.5（元） 答：应付费45.5元 5 学习笔记 2位置 考点梳理 考点用数对表示具体情境中物体的位置。重点 应用 1.竖排叫作列，横排叫作行。 数对的应用很广泛，例 如：在地球仪上，可以看 2.确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往 到一条条纵横交错的 后数。 线，那就是经纬线。连 接南北两极的线，叫经 3.用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后，中间用 线；和经线垂直的线，叫 逗号隔开，外面带上小括号，即（列数，行数）。 应用· 纬线。地球上任何地理 位置都可以根据它的经 例 座位表 度和纬度来确定。 第5行 第4行 第3行 第2行 王亮 拓展1 第1行 在方格纸上用数对确定 第1列第2列第3列 第4列 第5列 第6列 物体的位置渗透了数形 结合思想。 王亮在第4列、第2行的位置，可以用 数对(4,2)表示。 考点2 在方格纸上用数对确定物体的位置。重难点 拓展1广 拓展2 在同一平面图上，数对 1.方格纸上竖线与横线的任何一个交点都能用数对表示 中第一个数相同的物体 位于同一列，第二个数 其位置，其中“0”既是列的开始，也是行的开始。 相同的物体位于同一 2.给出表示物体位置的数对，要找到这个物体时，括号里 行。如： 大门(3,0) 的第一个数是几，就从左往右数几列，括号里的第二个数是几， 熊猫馆(3,5) 就从前往后数几行，然后找到列和行的交点，就是物体的位置。 大象馆(1,4) 海洋馆(6,4) 例 6 熊猫 其中大门和熊猫馆位于 海洋馆 拓展2· 同一列，大象馆和海洋 大象馆 数对(3,0)表示大 馆位于同一行。 2 猴山 门的位置，(6,4) ■大门 表示海洋馆的位置。 0123456 6 RJ五年级数学上1A 易错探析 举一反三 易错点对数对的意义理解错误。 易错点1 例题判断：数对(6,4)和(4,6)表示的物体的位置完全相 选择。 琨琨坐在教室的第4 同。 ( ) 列、第2行，他的位置用 分析：用数对表示物体的位置时，先表示列，后表示行，所 数对( )表示。 以数对(6,4)表示第6列、第4行；数对(4,6)则表示第4列、第 A.(4,2) B.(4,4) C.(2,4) D.(2,2) 6行，二者表示的物体的位置不相同。 答案：X 易错点②用数对表示位置时，混淆行和列。 易错点2 例题 用数对表示下图中各点的位置。 1.判断。 在同一幅图中，数对 6 (5,3)和(3,5)表示的位 4 E 3 置完全相同。() 2 2.用数对表示图中点A、 ND 012345678 B、C、D、E、F的位置。 6 A(,) B(,) C(,) 5 E D(,) E(,) 2 1 D 分析：竖排叫作列，横排叫作行；确定第几列一般从左往右 0123456789 A(,)B(,) 数，确定第几行一般从下往上数。用数对表示物体的位置时， C(,)D(,) 应先写列，后写行，两个数之间用逗号隔开。本题同学们容易 E(,)F(,) 错在括号里先写行再写列。 答案：(4,6)(1,4)(2,0)(6,0) (7,4) 目举一反三答案 易错点1A 易错点21.X 2.(3,5)(2,3)(3,1)(5,1)(6,3)(5,5) 7 学习笔记 3 小数除法 考点梳理 考点1除数是整数的小数除法。重点 1.小数除以整数的计算方法。 提示1 小数除法和整数除法不 (1)小数除以整数的计算步骤与整数除法基本相同，除到 同的是整数除法最高位 被除数的哪一位，就在那一位的上面写商，商的小数点要与被 上的0不写，而小数除 除数的小数点对齐。 提示1· 法如果商的最高位是个 位，商0，要用0占位。 (2)除到被除数的哪一位不够除时，一定要商0占位。 (3)除到最后一位仍有余数，要在余数后面添0继续除。 技巧◆ 技巧 小数除法不难算， 例 王叔叔5天跑了22.4km,他平均每天跑多少千米？ 小数点对齐是关键。 方法一22.4km=22400m 整数部分不够除， 商“0”再点小数点。 22400÷5=4480(m) 4480m=4.48km 末位如果有余数， 方法二 列竖式计算 后面添“0”继续算。 4A48 商的小数点要和被除数的小数点对齐。 522,40 20 24 …表示24个十分之一。 20 40…添0继续除，表示40个百分之一。 提示2 40 0 要使咱们的商不变， 我的小数点要移动几 答：他平均每天跑4.48km。 位呀？ 2.小数除法的验算方法。 被除数除数 利用乘法进行验算：商×除数=被除数。 考点2 一个数除以小数。重难点 我的小数点移动几 位，你的小数点就移 1.除数是小数的计算方法。 动几位。 (1)先移动除数的小数点，使它变成整数； (2)除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右 移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足）； 提示2广 8 RJ五年级数学上1A (3)按除数是整数的小数除法进行计算。 拓展1 例 N,2816、80←一在被除数的末尾用“0”补足。 还可以利用商的变化规 律求解：被除数和除数 同时向右移动两位 同时乘或除以相同的数 完整步骤如下： 60 (0除外)，商不变。 N,281680 拓展1广 16.8÷0.28=60 168 0 ×100×100不变 1680÷28=60 2.被除数不为0，商与被除数的大小关系： 提示3广 (1)除数大于1，商比被除数小； (2)除数等于1，商与被除数相等； 提示3 (3)除数大于0小于1，商比被除数大。 例 我在最前 胡说，明 面，商，我肯 明我比 6::1.5=4 6÷1=6 6÷0.5 =12 定比你大。 你大。 1.2÷1.2-1 1.2÷1=1.2 1.2÷0.8 =1.5 被除数除数商 49.5÷1.1=4549.5÷1=49.549.5÷0.45=110 商<被除数 商=被除数 商>被除数 别吵啦，你俩谁大 考点3 商的近似数与循环小数。重难点 谁小得看我。 1.商的近似数：求商的近似数时，先计算到比保留的小数 位数多一位，再将最后一位“四舍五人”。 提示4广 提示4 例 保留两位小数： 求商的近似数时，有时 19.4÷12≈1.62（元） 保留指定的小数位数 个 后，近似数的末尾有0， 计算价钱，保留两位小数，表示精确到分。 此时的0表示精确度， 保留一位小数： 不能去掉。 19.4÷12≈1.6（元） 计算价钱，保留一位小数，表示精确到角。 提示5 2.循环小数。 1.循环小数的小数部分 的位数是无限的。 (1)一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数 2.在用循环小数表示商 字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 提示5广 时要用“=”连接。 例像2.333…和6.14545…都是循环小数。 9 学习笔记 (2)一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，提示6 就是这个循环小数的循环节。 你头上的小圆，点真好 看，给我也画一个吧。 例2.333…的循环节是3,6.14545…的循环节是45。 (3)写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环 节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 提示6· 那可不行，只有循环 例5.333…写作：5.3 6.9258258… 写作：6.9258 小数才能拥有它。 拓展2 (4)小数部分位数有限的小数是有限小数，小数部分位数 在之后的学习中，我们还 无限的小数是无限小数。 拓展2广 会遇到一些特殊的无限 考点用计算器探索规律。 小数，如圆的周长与它的 直径的商是一个固定的 用计算器探索规律的方法：用计算器计算一 探索、发现 数，即3.1415926…，它 规律 根据规律直接写出得数。 就是一个无限不循环小 考点5解决问题。重难点 数，它的位数是无限的， 并且不循环。 结合实际情况用“进一法”或“去尾法”取商的近似数。 (1)像“一根丝带最多扎几个礼盒”“一瓶药最多够吃几天” “这些钱最多可以买多少本书”等，应采用“去尾法”。 提示7· 提示7 在用“去尾法”求解实际 例每套衣服用2.6m布，100m布最多可以做多少套衣服？ 问题时，只要除到要保 留的数位即可。即使省 做39套衣服需要：39× 100÷2.6≈38.46（套） 2.6=101.4(m),够做38 略部分最高位上的数字 套，但是不够做39套。 是5或比5大，在取近 似数时也要舍去。 答：100m布最多可以做38套衣服。 (2)像装东西，如“至少需要几个瓶子”“至少需要几个箱 提示8 子”等，应采用“进一法”。 提示8广 在用“进一法”求解实际 例把3.6kg蜂蜜分别装在一些小瓶中。如果每瓶能装 问题时，可以只除到要 保留的数位，然后用求 0.5kg,那么至少需要准备多少个这样的小瓶？ 得的商加1。即使商的 3.6÷0.5=7.2(个) 7个小瓶可以装： 十分位上的数比5小， 7×0.5=3.5(kg), 7+1=8(个) 在取近似数时也要向个 要装3.6kg需要准 位进1。 答：至少需要准备8个这样的小瓶 备7十1=8（个）小瓶。 10