期末专题复习讲义——专题01《丰富的图形世界》 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

期末复习 第一章 丰富的图形世界 目录： 考情通览 知识点速览 题型全览 分层训练 核心知识点 复习要求 考点分类 生活中的立体图形 识别常见立体图形，掌握棱柱顶点/棱/面数量关系，理解点线面体联系 基础必考点，选择填空占3-5分，棱柱特征及点线面体应用易错 立体图形的展开图 掌握正方体 11 种展开图，能补全展开图、判断相对面（含图案 / 数字） 高频考点，选择填空为主，含图案的展开图还原错误率高 截一个几何体 判断常见几何体截面形状，掌握截面边数与几何体面数的关系 中档考点，选择填空偶考，棱柱截面与棱数关联易出错 三个方向看物体形状 画视图、由视图还原立体图形（含小正方体个数最值），匹配视图与几何体 核心考点，占 5-8 分，解答题常考视图绘制，最值问题难突破 知识点 01 生活中的立体图形 1. 分类体系：​ 柱体：圆柱（曲面侧面）、棱柱（n 棱柱有 2n 个顶点、3n 条棱、n+2 个面）​ 锥体：圆锥（曲面侧面）、棱锥（n 棱锥有 n+1 个顶点、2n 条棱、n+1 个面）​ 球体：无顶点无棱无平面​ 点线面体联系：点动成线（卫星轨迹）、线动成面（雨刷刮水）、面动成体（旋转矩形得圆柱）​ 2. 核心辨析：​ 棱柱≠圆柱：棱柱侧面是平行四边形，圆柱侧面是曲面​ 棱锥≠圆锥：棱锥侧面是三角形，圆锥侧面是曲面​ 3. 经典练习 典习1（2024・辽宁本溪期末）：下雨时汽车雨刷刷净雨水，体现的数学原理是（　　）​ A.点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 面面相交成线​ 典习2（2024・山东烟台期中）：一个棱柱有 10 个顶点，则它是__五____棱柱，有__15____条棱。​ 易错点：混淆棱柱与棱锥的棱数公式，忽略点线面体的实际情境对应． 知识点 02 立体图形的展开图 1. 正方体展开图： 四类 11 种：“1-4-1” 型 6 种、“1-3-2” 型 3 种、“2-2-2” 型 1 种、“3-3” 型 1 种 禁忌：“田” 字格、“凹” 字形、“7” 字形 2. 相对面判断： 隔一相对（“1-4-1” 型上下相对）、Z 端相对（“1-3-2” 型两端相对） 3. 常见展开图： 圆柱（长方形 + 2 圆）、圆锥（扇形 + 圆）、三棱柱（3 长方形 + 2 三角形） 4. 经典练习 典习3如图①所示的是一个正方体的表面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时正方体朝上的一面上的字是　 　 ． 典习4（2024・江苏镇江期末）：补全正方体展开图，共有_____种补法。 •易错点：含图案时忽略旋转方向对相对面的影响，补全展开图漏算情况. 知识点 03 截一个几何体 1.截面规律：截面边数≤几何体面数（正方体最多截出六边形） 2.常见截面： 圆柱：圆、长方形、椭圆 圆锥：圆、三角形、椭圆 三棱柱：三角形、长方形、五边形 4. 核心结论：用平面截棱柱，截面为 n 边形，则平面经过 n 个面 5. 经典练习 典习5（2024・四川成都期末）：用平面截一个棱柱，最多得八边形，则该棱柱有______个顶点，______条棱。 典习6（2024・河南郑州期中）：用平面截下列几何体，截面可能是长方形的有_____个（圆柱、圆锥、长方体、球） 易错点：误认为圆柱可截出三角形，忽略棱柱截面边数与面数的关系. 知识点 04 三个方向看物体的形状 1.视图原则：长对正、高平齐、宽相等 2.还原技巧：由俯视图定底层分布，主视图定列数层数，左视图定行数层数 3.最值问题：最多个数 = 俯视图各格最大值之和，最少个数 = 主视图左视图交叉最小值之和 4. 经典练习 典习7（2024・四川成都开学考）：主视图为，俯视图为，则搭成几何体最多需______个小正方体。 典习8（2024・贵州贵阳期中）：由 5 个小正方体搭成的几何体，主视图和左视图均为2列2层，俯视图可能是______（画一种） 易错点：还原时漏算隐藏的小正方体，画视图时虚实线混淆 题型一 立体图形识别与点线面体应用 解题技巧 1. 棱柱顶点数 = 2× 底面边数，棱数 = 3× 底面边数；2. 结合生活场景对应点线面体关系 易错点拨 区分 “棱”（线段）与 “侧棱”（相邻侧面的交线），避免混淆圆柱与棱柱的侧面特征 【典例 1】（2024・湖南岳阳期末）下列几何体中，为三棱锥的是（　　）（选项为四幅不同几何体图） 【典例 2】（2024・山西太原阶段练）“密雨如散丝” 体现的数学原理是______；“腾云似涌烟” 可类比______的形成（填点 / 线 / 面 / 体的转化） 【变式 1】（2024・山东临沂期末）将直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 三棱锥 【变式 2】（2024・全国随堂练）一个多面体有 8 个面、12 条棱，则它的顶点数为_____（用欧拉公式 V-E+F=2）． 题型二 正方体展开图与相对面问题 解题技巧 1. 用 “排除法”：含 “田”“凹” 形的一定不是展开图；2. 标记法判断相对面：固定一个面，还原其他面 易错点拨 含数字 / 图案时，需考虑面的旋转方向，不能仅看位置关系 【典例 3】（2024・湖南长沙期末）正方体展开图写有 “学而不思则罔”，“学” 对面的字是（　　） A. 不 B. 思 C. 则 D. 罔 【典例 4】在学校组织的“传统文化进校园”活动中，礼堂的电子屏上，以古典民乐为背景音，滚动播放由一个立方体与其平面展开图相互转化形成的视频．这个立方体的六个面上分别有：梅、兰、竹、菊、松、柏，同学们能看到的一个展开图是（　　） A． B． C． D． 【变式 3】有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2038次后，骰子朝下一面的点数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式 4】如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（　　） A． B． C． D． 题型三 截面与几何体特征关联 解题技巧 1. 截面边数 = 平面穿过的面数；2. 圆柱截面不可能是三角形，圆锥截面不可能是长方形 易错点拨 截正方体时，过顶点数决定截面形状：过 3 个顶点得三角形，过 6 个顶点得六边形 【典例 5】（2024・成都阶段练）用平面截正方体，截面形状不可能是（　　） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 七边形 D. 正六边形 【典例 6】（2025・渠县课后作业）用平面截某几何体得到长方形，该几何体不可能是（　　） A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 五棱柱 【变式 5】（2024・贵州贵阳期中）用平面截圆锥，能得到的截面形状有______（至少写 2 种） 【变式 6】（2024・山东威海期中）用平面截一个 n 棱柱，截面最多是_____边形，若截面是八边形，则 n=______ 题型四 视图绘制与几何体还原 解题技巧 1. 画视图：先画主视图，再画俯视图（与主视图等长），最后画左视图（与主视图等高）；2. 还原最值：最多用 “叠加法”，最少用 “交叉法” 易错点拨 由视图还原时，底层小正方体必须铺满俯视图，上层仅需满足主视图和左视图的高度要求 【典例 7】用10个相同的小立方块搭成几何体．从上面看到的几何体的形状图如图1所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请在图2中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． B. 【典例 8】如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）填空：这个几何体由 　　 个小正方体组成； （2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图； （3）在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加 　　 个小正方体． 【变式 7】如图，一条细线从圆柱的点A缠绕到相对的点B，圆柱高为10cm，圆柱底面圆半径为4cm，则圆柱高的侧面积为______（3.14）。要使细线最短，画出圆柱展开后最短线段AB。 【变式 8】（2024・广东深圳期末）一个几何体由若干个完全相同的小立方体搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．画出从正面和左面看该几何体的形状图． 期末基础训练 1.（2024・本溪期末）“卫星飞行留下痕迹” 体现的数学原理是（　　） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 面面相交成线 2. （2024・岳阳期末）五棱柱有______个面，______条棱，______个顶点。 3.下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（　　） A． B． C． D． 4.（2024・成都期末）用平面截长方体，截面不可能是（　　） A. 三角形 B. 五边形 C. 七边形 D. 长方形 5.把7个相同正方体摆成如图所示的几何体． （1）画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； （2）如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加 　　 个小正体． 期末重难点训练 1. 如图所示的是一个正方体的展开图，相对面上的两个数的和都为6，则= 2.（2024・驻马店阶段练）欧拉公式 V-E+F=2，某多面体由三角形和五边形组成，F=12，E=30， 则 V= 3.如图是几个相同小正方体粘合而成的几何体的主视图和左视图，则其俯视图可能为( ) 3. （2024・成都开学考）圆柱底面半径 2cm，高 3cm，绕高旋转一周得到的几何体表面积为______cm²（π 取 3.14） 4. （如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答： (1) 如果A面在长方体的底部，那么 面会在上面; (2) 求这个长方体的表面积和体积。 期末拓展训练 1.些完全相同的小正方体搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（　　） A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 2.有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是　　 ，最小是　　 ． 3.一个正方体，六个面上分别写着六个连续整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，如图所示，能看到的所写的数为16，19，20，问这6个整数的和为多少？ 4.（开放题）列举 3 种截面可能是三角形的几何体，并说明截取方法。 5. （实践题）用一张长 12cm、宽 8cm 的长方形纸，卷成圆柱，有几种卷法？分别求体积（π 取 3） 6．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图1，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图2放置时，测得液面高为；若如图3放置时，测得液面高为．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是 　．　 ．（结果保留π） 7．将数字﹣2，﹣3，﹣5，8，9，11写在每一枚骰子的6个面上，做成6枚完全相同的骰子，将它们叠放成如图所示的A，B两个柱体，柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？ 8．张明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． （1）共有　　 种弥补方法； （2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； （3）在你帮忙设计成功的图中，要把﹣8，10，﹣12，8，﹣10，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上） 9．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小明总共剪开了　　 条棱． （2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全． （3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积． 10．问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是　　 （填序号）． ① ② ③ ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为10cm的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒B （填“A”或“B”）； ②材料组准备了40cm×60cm规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习 第一章 丰富的图形世界 目录： 考情通览 知识点速览 题型全览 分层训练 核心知识点 复习要求 考点分类 生活中的立体图形 识别常见立体图形，掌握棱柱顶点/棱/面数量关系，理解点线面体联系 基础必考点，选择填空占3-5分，棱柱特征及点线面体应用易错 立体图形的展开图 掌握正方体 11 种展开图，能补全展开图、判断相对面（含图案 / 数字） 高频考点，选择填空为主，含图案的展开图还原错误率高 截一个几何体 判断常见几何体截面形状，掌握截面边数与几何体面数的关系 中档考点，选择填空偶考，棱柱截面与棱数关联易出错 三个方向看物体形状 画视图、由视图还原立体图形（含小正方体个数最值），匹配视图与几何体 核心考点，占 5-8 分，解答题常考视图绘制，最值问题难突破 知识点 01 生活中的立体图形 1. 分类体系：​ 柱体：圆柱（曲面侧面）、棱柱（n 棱柱有 2n 个顶点、3n 条棱、n+2 个面）​ 锥体：圆锥（曲面侧面）、棱锥（n 棱锥有 n+1 个顶点、2n 条棱、n+1 个面）​ 球体：无顶点无棱无平面​ 点线面体联系：点动成线（卫星轨迹）、线动成面（雨刷刮水）、面动成体（旋转矩形得圆柱）​ 2. 核心辨析：​ 棱柱≠圆柱：棱柱侧面是平行四边形，圆柱侧面是曲面​ 棱锥≠圆锥：棱锥侧面是三角形，圆锥侧面是曲面​ 3. 经典练习 典习1（2024・辽宁本溪期末）：下雨时汽车雨刷刷净雨水，体现的数学原理是（　　）​ A.点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 面面相交成线​ 详解：首先分析各选项对应的原理： 选项 A（点动成线）：指一个点运动形成线段，如笔尖画直线，与雨刷运动无关； 选项 B（线动成面）：雨刷可看作一条 “线”，它在玻璃上左右摆动时，扫过的区域形成 “面”（即被刷净的雨水区域），符合题意； 选项 C（面动成体）：指一个平面运动形成立体图形，如旋转长方形得圆柱，与雨刷无关； 选项 D（面面相交成线）：指两个平面相交形成一条直线，如墙面与地面的交线，与题意不符； 综上，答案选 B。 典习2（2024・山东烟台期中）：一个棱柱有 10 个顶点，则它是__五____棱柱，有__15____条棱。​ 详解：根据棱柱的顶点数公式：n 棱柱有 2n 个顶点（上下底面各 n 个顶点）。已知顶点数为 10，则 2n=10，解得 n=5，故该棱柱为 “五棱柱”；再根据棱柱的棱数公式：n 棱柱有 3n 条棱（上下底面各 n 条棱，侧面 n 条棱），则五棱柱的棱数为 3×5=15；综上，答案依次为 “五”“15”。 易错点：混淆棱柱与棱锥的棱数公式，忽略点线面体的实际情境对应． 知识点 02 立体图形的展开图 1.正方体展开图： 四类 11 种：“1-4-1” 型 6 种、“1-3-2” 型 3 种、“2-2-2” 型 1 种、“3-3” 型 1 种 禁忌：“田” 字格、“凹” 字形、“7” 字形 2. 相对面判断： 隔一相对（“1-4-1” 型上下相对）、Z 端相对（“1-3-2” 型两端相对） 3. 常见展开图： 圆柱（长方形 + 2 圆）、圆锥（扇形 + 圆）、三棱柱（3 长方形 + 2 三角形） 4. 经典练习 典习3如图①所示的是一个正方体的表面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时正方体朝上的一面上的字是　 真 　 ． 详解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴图①中“界”和“真”相对；“杯”和“精”相对；“世”和“彩”相对， 将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时，则这时小正方体朝下的字是“界”，那么正方体朝上一面上的字是“真”． 故答案为：真． 典习4（2024・江苏镇江期末）：补全正方体展开图，共有___3___种补法。 详解：正方体展开图的补全需遵循 “不出现禁忌图形（田、凹、7）” 的原则，已知原展开图为 “1-3” 型（左 1 右 3）： 可补在 “左 1” 的上方：形成 “1-3-1” 型（左 1、中 3、上 1），符合要求； 可补在 “左 1” 的下方：形成 “1-3-1” 型（左 1、中 3、下 1），符合要求； 可补在 “右 3” 的右侧：形成 “3-3” 型（左 3、右 3），符合要求； 不可补在 “右 3” 的上方或下方（会形成 “7” 字形，属于禁忌图形）； 综上，共 3 种补法，答案为 “3”。 •易错点：含图案时忽略旋转方向对相对面的影响，补全展开图漏算情况. 知识点 03 截一个几何体 1.截面规律：截面边数≤几何体面数（正方体最多截出六边形） 2.常见截面： 圆柱：圆、长方形、椭圆 圆锥：圆、三角形、椭圆 三棱柱：三角形、长方形、五边形 4. 核心结论：用平面截棱柱，截面为 n 边形，则平面经过 n 个面 5. 经典练习 典习5（2024・四川成都期末）：用平面截一个棱柱，最多得八边形，则该棱柱有___12___个顶点，___18___条棱。 详解：根据 “截面边数≤几何体面数”，最多得八边形，说明该棱柱有 8 个面；棱柱的面数公式：n 棱柱有 n+2 个面（上下 2 个底面 + n 个侧面），则 n+2=8，解得 n=6，即 “六棱柱”；六棱柱的顶点数：2n=2×6=12；六棱柱的棱数：3n=3×6=18；综上，答案依次为 “12”“18”。 典习6（2024・河南郑州期中）：用平面截下列几何体，截面可能是长方形的有__2____个（圆柱、圆锥、长方体、球） 详解：逐一分析各几何体的截面可能性： 圆柱：若平面垂直于底面截圆柱，截面为长方形（上下底直径为宽，圆柱高为长），可能； 圆锥：无论平面如何截取，截面只能是圆、三角形、椭圆，不可能是长方形，排除； 长方体：平面平行于任意面截取，截面均为长方形（或正方形，正方形是特殊的长方形），可能； 球：无论平面如何截取，截面只能是圆，不可能是长方形，排除； 综上，符合条件的几何体有 2 个，答案为 “2”。 易错点：误认为圆柱可截出三角形，忽略棱柱截面边数与面数的关系. 知识点 04 三个方向看物体的形状 1.视图原则：长对正、高平齐、宽相等 2.还原技巧：由俯视图定底层分布，主视图定列数层数，左视图定行数层数 3.最值问题：最多个数 = 俯视图各格最大值之和，最少个数 = 主视图左视图交叉最小值之和 4. 经典练习 典习7（2024・四川成都开学考）：主视图为，俯视图为，则搭成几何体最多需___6___个小正方体。 详解：根据 “最值问题” 技巧，最多个数需在俯视图每个位置填 “主视图与左视图对应位置的最大值”： 俯视图分 2 列（左列、右列）、2 行（前行、后行）； 主视图左列 2 层、右列 1 层，左视图（对应 2 行）：假设左视图前行 2 层、后行 1 层（主视图与左视图 “高平齐”）； 俯视图各位置最大值：左列前行 2、左列后行 2、右列前行 1、右列后行 1； 最多个数 = 2+2+1+1=6； 综上，答案为 “6”。 典习8（2024・贵州贵阳期中）：由 5 个小正方体搭成的几何体，主视图和左视图均为2列2层，俯视图可能是______（画一种） 详解：根据 “还原技巧”，主视图和左视图均为 2 列 2 层，说明几何体： 底层至少有 2 个小正方体（覆盖主视图 2 列、左视图 2 行，如俯视图为 “2×2” 的田字格缺 1 个，或 “L” 形）； 上层至少有 1 个小正方体（满足 2 层），总个数为 5（底层 4 个 + 上层 1 个，或底层 3 个 + 上层 2 个）； 示例俯视图：“2×2” 田字格（底层 4 个），上层在左列前行 1 个，总个数 4+1=5，符合要求； 综上，俯视图可以是（答案不唯一） 易错点：还原时漏算隐藏的小正方体，画视图时虚实线混淆 题型一 立体图形识别与点线面体应用 解题技巧 1. 棱柱顶点数 = 2× 底面边数，棱数 = 3× 底面边数；2. 结合生活场景对应点线面体关系 易错点拨 区分 “棱”（线段）与 “侧棱”（相邻侧面的交线），避免混淆圆柱与棱柱的侧面特征 【典例 1】（2024・湖南岳阳期末）下列几何体中，为三棱锥的是（　　）（选项为四幅不同几何体图） 详解：逐一识别选项对应的几何体类型： 选项 A：圆锥（有 1 个圆形底面、1 个曲面侧面、1 个顶点），不符合 “三棱锥”（底面为三角形）； 选项 B：圆柱（有 2 个圆形底面、1 个曲面侧面，无顶点），不符合； 选项 C：长方体（底面为长方形，属于四棱柱），不符合； 选项 D：三棱锥（有 1 个三角形底面、3 个三角形侧面、4 个顶点），符合定义； 答案选 D。 【典例 2】（2024・山西太原阶段练）“密雨如散丝” 体现的数学原理是___点动成线___；“腾云似涌烟” 可类比___面动成体___的形成（填点 / 线 / 面 / 体的转化） 详解：“密雨如散丝”：雨滴可看作 “点”，无数雨滴下落形成 “线”（雨丝），但 “散丝” 交织成覆盖地面的 “面”，故原理是 “线动成面”； “腾云似涌烟”：烟雾可看作 “面”（一层烟雾），多层烟雾叠加或扩散形成 “体”（云朵的立体形态），故类比 “面动成体”； 答案依次为 “点动成线”“面动成体”。 【变式 1】（2024・山东临沂期末）将直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的几何体是（　　） A圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 三棱锥 详解：根据 “面动成体” 原理：直角三角形是 “平面图形”，绕一条直角边（固定轴）旋转，另一条直角边旋转形成 “圆形底面”，斜边旋转形成 “曲面侧面”，最终得到的立体图形是 “圆锥”； 选项 A（圆柱）需绕矩形的边旋转，选项 C（球）需绕半圆的直径旋转，选项 D（三棱锥）无法由直角三角形旋转得到； 答案选 B。 【变式 2】（2024・全国随堂练）一个多面体有 8 个面、12 条棱，则它的顶点数为____6__（用欧拉公式 V-E+F=2）． 详解：欧拉公式为 V（顶点数）-E（棱数）+F（面数）=2，已知 E=12，F=8： 代入公式得：V - 12 + 8 = 2； 化简计算：V - 4 = 2 → V=6； 答案为 “6”。 题型二 正方体展开图与相对面问题 解题技巧 1. 用 “排除法”：含 “田”“凹” 形的一定不是展开图；2. 标记法判断相对面：固定一个面，还原其他面 易错点拨 含数字 / 图案时，需考虑面的旋转方向，不能仅看位置关系 【典例 3】（2024・湖南长沙期末）正方体展开图写有 “学而不思则罔”，“学” 对面的字是（　　） A。不 B. 思 C. 则 D. 罔 详解：该展开图为 “2-2-2” 型，根据 “2-2-2” 型相对面规律：“Z字两端是对面”，“学” 与 “思” 相对； 答案选 B。 【典例 4】在学校组织的“传统文化进校园”活动中，礼堂的电子屏上，以古典民乐为背景音，滚动播放由一个立方体与其平面展开图相互转化形成的视频．这个立方体的六个面上分别有：梅、兰、竹、菊、松、柏，同学们能看到的一个展开图是（　　） A． B． C． D． 详解：根据正方体展开图的特征可知原立方体中“梅”“竹”“柏”相邻， A、折叠后“梅”与“柏”不相邻，不符合题意； B、折叠后“梅”与“柏”不相邻，不符合题意； C、折叠后““梅”“竹”“柏”相邻，符合题意； D、折叠后“竹”与“柏”不相邻，不符合题意； 故选：C． 【变式 3】有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2038次后，骰子朝下一面的点数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 详解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， ∵2038÷4＝509余2， ∴朝下的数字是3， 故选：B． 【变式 4】如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（　　） A． B． C． D． 详解：此收纳盒的展开图是： 故选：B． 题型三 截面与几何体特征关联 解题技巧 1. 截面边数 = 平面穿过的面数；2. 圆柱截面不可能是三角形，圆锥截面不可能是长方形 易错点拨 截正方体时，过顶点数决定截面形状：过 3 个顶点得三角形，过 6 个顶点得六边形 【典例 5】（2024・成都阶段练）用平面截正方体，截面形状不可能是（　　） A.等边三角形 B. 正方形 C. 七边形 D. 正六边形 详解：根据 “截面边数≤几何体面数”，正方体有 6 个面，故截面最多为 6 边形（六边形），不可能是 7 边形； 选项 A：平面过正方体 3 个相邻顶点，可截出等边三角形； 选项 B：平面平行于正方体的面，可截出正方形； 选项 D：平面过正方体 6 个顶点（每个面过 1 个顶点），可截出正六边形； 答案选 C。 【典例 6】（2025・渠县课后作业）用平面截某几何体得到长方形，该几何体不可能是（　　） A.长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 五棱柱 详解：逐一分析截面可能性： 选项 A（长方体）：平面平行于任意面，截面为长方形，可能； 选项 B（圆柱）：平面垂直于底面，截面为长方形（高为圆柱高，宽为底面直径），可能； 选项 C（圆锥）：平面截取圆锥时，截面只能是圆（平行底面）、三角形（过顶点）、椭圆（斜截），不可能是长方形； 选项 D（五棱柱）：平面平行于底面（五边形）或垂直于底面，可截出长方形，可能； 答案选 C。 【变式 5】（2024・贵州贵阳期中）用平面截圆锥，能得到的截面形状有___圆、等腰三角形___（至少写 2 种） 详解：根据圆锥的结构特征（1 个圆形底面、1 个曲面侧面、1 个顶点）： 平面平行于底面截圆锥：截面为 “圆”； 平面过顶点且垂直于底面截圆锥：截面为 “等腰三角形”； 平面斜截圆锥（不过顶点、不平行底面）：截面为 “椭圆”； 答案可写 “圆、等腰三角形”（或其他符合的形状）。 【变式 6】（2024・山东威海期中）用平面截一个 n 棱柱，截面最多是__n+2____边形，若截面是八边形，则 n=___6___ 详解：第一步，截面最多边数：根据 “截面边数 = 平面穿过的面数”，n 棱柱有 n+2 个面（2 个底面 + n 个侧面），故平面最多穿过 n+2 个面，截面最多为（n+2）边形； 第二步，截面为八边形时求 n：若截面为八边形，则平面穿过 8 个面，即 n+2=8，解得 n=6；答案依次为 “n+2”“6”。 题型四 视图绘制与几何体还原 解题技巧 1. 画视图：先画主视图，再画俯视图（与主视图等长），最后画左视图（与主视图等高）；2. 还原最值：最多用 “叠加法”，最少用 “交叉法” 易错点拨 由视图还原时，底层小正方体必须铺满俯视图，上层仅需满足主视图和左视图的高度要求 【典例 7】用10个相同的小立方块搭成几何体．从上面看到的几何体的形状图如图1所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请在图2中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． A. 详解：主视图，左视图如图所示： 【典例 8】如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）填空：这个几何体由 　6　 个小正方体组成； （2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图； （3）在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加 　4　 个小正方体． 详解：（1）由图可得：这个几何体由6个小正方体组成， 故答案为：6； （2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示： ； （3）根据题意得： 保持主视图和左视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加一个， ∵1+1+1+1＝4（个）， ∴最多还可以添加4个小正方体， 故答案为：4． 【变式 7】如图，一条细线从圆柱的点A缠绕到相对的点B，圆柱高为10cm，圆柱底面圆半径为4cm，则圆柱高的侧面积为___251.2cm2___（3.14）。要使细线最短，画出圆柱展开后最短线段AB。 详解：圆柱侧面展开如图：，此时AB最短： 圆柱侧面展开图为 “长方形”，长方形的长 = 圆柱底面周长 = 2×3.14×4=25.12，宽 = 圆柱高 = 10，所以圆柱侧面积即为长方形的面积=25.12×10=251.2. 故圆柱侧面积为251.2cm2. 【变式 8】（2024・广东深圳期末）一个几何体由若干个完全相同的小立方体搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．画出从正面和左面看该几何体的形状图． 详解：根据题意，可得从正面和左面看该几何体的形状图如图所示： 期末基础训练 1.（2024・本溪期末）“卫星飞行留下痕迹” 体现的数学原理是（　　） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 面面相交成线 详解：卫星可看作 “点”，飞行轨迹是 “线”，故原理是 “点动成线”；选项 B（线动成面）如面动成体，选项 C（面动成体）如旋转长方形，选项 D（面面相交成线）如墙面交线，均不符合。 答案选 A。 2. （2024・岳阳期末）五棱柱有____7__个面，___15___条棱，_10_____个顶点。 详解：根据 n 棱柱公式（n=5）： 面数：n+2=5+2=7； 棱数：3n=3×5=15； 顶点数：2n=2×5=10； 答案依次为 “7”“15”“10”。 3.下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（　　） A． B． C． D． 详解：能折叠成正方体的是： 故选：C． 4.（2024・成都期末）用平面截长方体，截面不可能是（　　） A. 三角形 B. 五边形 C. 七边形 D. 长方形 详解：长方体有 6 个面，截面边数≤6，故不可能是 7 边形； 选项 A：过 3 个顶点截出三角形； 选项 B：过 5 个面截出五边形； 选项 D：平行于面截出长方形； 答案选 C。 5.把7个相同正方体摆成如图所示的几何体． （1）画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； （2）如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加 　3　 个小正体． 详解：（1）从正面看，从左面看，从上面看该几何体如图所示： （2）如图所示， ∴这样最多可以添加3个小立方块． 故答案为：3． 期末重难点训练 1. 如图所示的是一个正方体的展开图，相对面上的两个数的和都为6，则= 详解 1所在的面与x所在的面是相对面,2所在的面与4所在的面是相对面,3所在的面与y所在的面是相对面 .1+x=6,3+y=6 .x=5,y=3, .x+y=5+3=8。 故答案为8 2.（2024・驻马店阶段练）欧拉公式 V-E+F=2，某多面体由三角形和五边形组成，F=12，E=30， 则 V= 20 详解：直接代入欧拉公式：V - E + F = 2 → V - 30 + 12 = 2 → V - 18 = 2 → V=20； 答案为 “20”。 3.如图是几个相同小正方体粘合而成的几何体的主视图和左视图，则其俯视图可能为( ) 详解：选项A与主视图、左视图不能同时符合, 选项B与主视图不符合， 选项C对应的立体图如图，符合主视图和左视图， 选项D与左视图不符合 故选C. 3. （2024・成都开学考）圆柱底面半径 2cm，高 3cm，绕高旋转一周得到的几何体表面积为___62.8___cm²（π 取 3.14） 详解：绕圆柱的高旋转一周，几何体仍为原圆柱，表面积 = 2× 底面积 + 侧面积； 底面积 =πr²=3.14×2²=12.56 cm²； 侧面积 = 2πrh=2×3.14×2×3=37.68 cm²； 表面积 = 2×12.56 + 37.68=25.12+37.68=62.8 cm²； 答案为 “62.8”。 4. （如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答： (1) 如果A面在长方体的底部，那么 F 面会在上面; (2) 求这个长方体的表面积和体积。 详解：(1)如图所示，4与2是对面，所以如果4面在长方体的底部，那么F面会在上面; 故答案是：F （2）这个长方体的表面积是:2x(1x3+1x2+2x3)=22(米?)这个长方体的体积是: 1x2x3=6(米3)。 期末拓展练习 1.些完全相同的小正方体搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（　　） A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 详解：由2个视图可得该组合几何体有3行，3列，所以最底层最多有9个正方体，最少有3个正方体；第二层最多有4个正方体，最少有2个正方体；第3层最多有1个正方体，最少有1个正方体，所以组合几何体最多有9+4+1＝14个正方体，最少有3+2+1＝6个正方体． 故正方体可能的个数在6和14之间，共有9种可能的情况， 故选：C． 2.有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是　51　 ，最小是　26　 ． 详解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6＝51， 最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4＝26， 故答案为：51，26． 3.一个正方体，六个面上分别写着六个连续整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，如图所示，能看到的所写的数为16，19，20，问这6个整数的和为多少？ 详解：从16到20共5个数，还差一个数，它是15或21． 因为这6个数是连续的整数且相对面上的两个数的和都相等． 如果缺少的那个数是15，那么最小的15应该和最大的20相对，16和19相对，这和图示不符， 所以这6个数是16、17、18、19、20、21． 16+17+18+19+20+21＝111． 故这6个整数的和为111． 4.（开放题）列举 3 种截面可能是三角形的几何体，并说明截取方法。 详解：正方体：平面过正方体的 3 个相邻顶点（不共面），截出三角形； 圆锥：平面过圆锥的顶点，且垂直于圆锥的底面，截出等腰三角形； 三棱柱：平面平行于三棱柱的任意一个侧面，且过 3 条侧棱，截出三角形； （其他合理答案也可，如四棱柱、五棱锥等）。 5. （实践题）用一张长 12cm、宽 8cm 的长方形纸，卷成圆柱，有几种卷法？分别求体积（π 取 3） 详解：有 2 种卷法，核心是 “以长方形的长为圆柱底面周长” 或 “以宽为底面周长”； 卷法 1：以长 12cm 为底面周长，宽 8cm 为高 底面周长 C=12=2πr → r=12÷(2×3)=2 cm； 体积 V=πr²h=3×2²×8=3×4×8=96 cm³； 卷法 2：以宽 8cm 为底面周长，长 12cm 为高 底面周长 C=8=2πr → r=8÷(2×3)=4/3 cm； 体积 V=πr²h=3×(4/3)²×12=3×(16/9)×12=64 cm³； 综上，2 种卷法，体积分别为 96 cm³ 和 64 cm³。 6．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图1，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图2放置时，测得液面高为；若如图3放置时，测得液面高为．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是 　．　 ．（结果保留π） 详解：设该玻璃密封容器的容积为V，依题意有： π×a2h＝V﹣π×a2×（hh）， 解得V． 故答案为：． 7．将数字﹣2，﹣3，﹣5，8，9，11写在每一枚骰子的6个面上，做成6枚完全相同的骰子，将它们叠放成如图所示的A，B两个柱体，柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？ 详解：根据题意得，﹣2与11相对，﹣3与9相对，﹣5与8相对， 柱体A后面的3个数字分别是：11，11，﹣5；左面的3个数字分别是：8，﹣3，﹣2； 柱体B后面的3个数字分别是：﹣5，﹣2，﹣5；左面的3个数字分别是：﹣3，9，9； 因此，柱体A的表面（不含底面）点数之和为：11+11﹣5+8﹣3﹣2﹣2﹣2+8﹣5+9+11﹣3＝36， 柱体B的表面（不含底面）点数之和为：﹣5﹣2﹣5﹣3+9+9+8+11+8+9﹣3﹣3﹣2＝31； 答：柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是36，31． 8．张明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． （1）共有　4　 种弥补方法； （2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； （3）在你帮忙设计成功的图中，要把﹣8，10，﹣12，8，﹣10，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上） 详解：（1）共有4种弥补方法， 故答案为：4； （2）如图所示： ； （3）如图所示： ． 9．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： （1）小明总共剪开了　8　 条棱． （2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全． （3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积． 详解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱， 故答案为：8． （2）如图，粘贴的位置有四种情况如下： （3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长acm， ∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm， ∴4×20+8a＝880， 解得a＝100， ∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米． 10．问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是　①③④　 （填序号）． ① ② ③ ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为10cm的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒B （填“A”或“B”）； ②材料组准备了40cm×60cm规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 详解：（1）由正方体表面展开图的特征可知，图中可以制作成无盖正方体的是①③④， 故答案为：①③④； （2）①根据正方体表面展开图的特征可知，展开图2可以围成礼盒B， 故答案为：B； ②如图1，一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图； 如图2，一张卡纸最多可以画出3个礼盒B的展开图． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $