精品解析：上海市延安中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

延安中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________. 2. 若复数，其中为虚数单位，则_______． 3. 某高校需要从4名男学生和3名女学生中选出3名学生去“上海进博会”做志愿者，则选出的3名学生中，恰有1名女学生的概率是______． 4. 某校高三年级有人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为______． 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______． 6. 已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________. 7. 在等比数列中，，为该数列的前项和，为数列的前项和，且，则实数的值是____________． 8. 已知函数，若方程有2个根，则的范围是______． 9. 已知向量，，若， ，则________． 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________. 11. 已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，则空间四边形外接球的表面积为______. 12. 定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. “”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（ ） A. B. C. 平面 D. 平面平面 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤. 17. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值． 18. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 19. 学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. （1）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； （2）若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 20. 已知椭圆：的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. （1）求椭圆的方程； （2）设圆．若直线与圆相切，且点在轴右方，求点的坐标； （3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴与点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 21. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点是否为函数的1度点，并说明理由; （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延安中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的交运算求即可. 【详解】由题设，. 故答案为： 2. 若复数，其中为虚数单位，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可. 【详解】 故答案为： 3. 某高校需要从4名男学生和3名女学生中选出3名学生去“上海进博会”做志愿者，则选出的3名学生中，恰有1名女学生的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】总的方法数为，恰有一名女生则是从三个女生中选一个，再从个男生里面选两个即可。 【详解】从4名男学生和3名女学生中选出3名学生总的方法数为， 恰有一名女生则是从三个女生中选一个，再从个男生里面选两个，方法数为 ，所以概率为. 故答案为：. 4. 某校高三年级有人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据总人数和抽取的百分比直接计算即可. 【详解】样本量为. 故答案为：. 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______． 【答案】0.4## 【解析】 【分析】根据正态分布的均值和方差画出略图，利用正态分布图的对称性即可求得. 【详解】由可得， 则，故， 所以． 故答案为：0.4. 6. 已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所求双曲线与有相同的渐近线，所以设所求双曲线为，代入已知点，求出，即可得答案. 【详解】由题意设双曲线的标准方程为， 代入点，得，得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 7. 在等比数列中，，为该数列的前项和，为数列的前项和，且，则实数的值是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求得公比后，利用等比数列的前项和公式建立方程，解出即可. 【详解】设数列的公比为， 则， 解得， 故，， 所以，， 又，则， 由得， ， 解得， 故答案为：. 8. 已知函数，若方程有2个根，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数在时的单调性，进而可得函数在时的值域，再利用二次函数的性质可得函数时的值域，即得函数的值域，然后作出函数图象，结合函数图象即可求出参数的取值范围； 【详解】因为， 当时，由单调递增， ∴在上单调递增， ∴当时，， 当时，所以， 综上，函数的值域为， 作出函数的图象与直线如图所示： 函数有2个零点，即与有2个交点， 所以，即. 故答案为：. 9. 已知向量，，若， ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设向量，得到，结合，利用数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，，因为，可设向量， 则， 又因为，可得，解得， 所以，所以. 故答案为：. 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据列式求解得动点P的轨迹，再代入点到直线的距离公式列不等式即可求解. 【详解】设点，则， 即，所以动点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 要在圆上至少存在两点到直线的距离等于， 则需圆心到直线的距离， 解得. 故答案为： 11. 已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，则空间四边形外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】球心O、△BCD的外心、△ABD的外心，BD中点为E，这四个点是正方形的四个顶点，求出相关线段的长度，勾股定理求出外接球半径，算出表面积. 【详解】由题意知△ABD和△BCD为等边三角形，取BD中点为E，连接AE，CE，如图所示，则AE⊥BD． 由平面平面CBD，平面平面CBD=BD. 平面ABD 故AE⊥平面CBD， 有 球心O在平面BCD的投影为△BCD的外心，球心O在平面ABD的投影为△ABD的外心，有，， 则在中， ， 所以外接球半径 空间四边形外接球的表面积 故答案为：． 12. 定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义、，依次求出数列的前5项，归纳出，利用累加法求出，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【详解】当时，由，得，所以， 所以，得； 当时，由，得，所以， 所以，得； 当时，由，得，所以， 所以，得； 当时，由，得，所以， 所以，得； 当时，由，得，所以， 所以，得， 以此类推，得，即， 所以， 各式相加，得，所以，则， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法逐项进行判断即可. 【详解】A．因为，的正负无法确定，故错误； B．因为，的正负无法确定，故错误； C．因为，的正负无法确定，故错误； D．因为， ，所以，所以，故正确， 故选：D. 【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与作比较； （2）作商法：作商与作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较. 14. “”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可. 【详解】展开式的通项为：； 当时，展开式的第项为常数项，充分性成立； 当时，展开式中存在常数项，如，必要性不成立； “”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件. 故选：A. 15. 在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（ ） A. B. C. 平面 D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】作出截面后可作，从而判断A，利用线面垂直的性质判断BC，根据面面平行的性质判断D． 【详解】选项A，正方体中，显然有，连接延长， 如果直线交棱于点（图1），则作交于，连接，则是梯形，作交于，则平面， 如果直线交棱于点（图2），则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此A正确； 选项B，正方体中易知平面，因此与垂直的直线都可能平移到平面内，而当平面，平面时，直线与平面相交，不可能平移到平面内，B错； 选项C，由选项B知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，C错； 选项D，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，D错． 故选：A． 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②. 【详解】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤. 17. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若，在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【小问1详解】 由，得，此时， ，， 所以当，即时函数取到最大值1. 【小问2详解】 当时，，则， 当为锐角时，，因此满足时，，得， 此时，即， 由余弦定理得，即， 因此的最小值为，在时取到. 18. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 【答案】（1） 直三棱柱中，所有棱长均为4， 上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形， 连接与交于点，则为，的中点，连接DE， 在中，分别为边的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用直三棱柱的性质结合线面平行判定定理证明结论； （2）结合直三棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，中点，连接，则，平面ABC， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， ， 为上的点，平面， 到平面的距离d即为直线与平面的距离， ， 直线与平面的距离为：． 19. 学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. （1）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； （2）若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件，由条件概率及全概率公式求解即可； （2）（i）将问题转换成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率或通过缩小样本空间求解即可；（ii）将问题转换成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率，或缩小样本空间求解即可. 【小问1详解】 设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件， ＂恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表＂为事件，则 故； 【小问2详解】 （i）有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表， 可以看成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，男1女1，女1男2，男2女1，女1男3，男3女1，女2男1，男1女2，女2男2，男2女2，女2男3，男3女2，女3男1，男1女3，女3男2，男2女3，女3男3，男3女3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共24个样本点， 满足条件的有6个，故， （ii）第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表， 可以看成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，女1男2，女1男3，女2男1，女2 男2，女2男3，女3男1，女3男2，女3男3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共15个样本点，满足条件的有6个， 故. 20. 已知椭圆：的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. （1）求椭圆的方程； （2）设圆．若直线与圆相切，且点在轴右方，求点的坐标； （3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴与点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）为定值， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率的定义可得结果； （2）设直线的方程为，由直线与圆相切求出k，联立直线与椭圆方程解方程组得交点坐标可得结果； （3）设，由三点共线，得，由三点共线，得，计算可得结果. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率是，解得， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 因为点在轴右方，所以， 由，解得或（舍），故. 【小问3详解】 设, 且，， 因三点共线，则，即， 解得， 因三点共线，同理可得，， 所以为定值，该定值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是根据三点共线，得，由三点共线，得，计算可得结果. 21. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点是否为函数的1度点，并说明理由; （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）证明见解析； （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出的根判断即可. （2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解即可. （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解. 【小问1详解】 依题意，，则曲线在点处的切线方程为， 该切线过点当且仅当，即， 所以原点是函数的一个1度点. 【小问2详解】 设，， 则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点，当且仅当， 设，则当时，，函数在上严格增， 因此当时，，则方程无解， 所以点是的一个0度点. 【小问3详解】 函数，求导得， 对任意，曲线在点处的切线方程为， 则点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解， 设，则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点， 若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求； 若，求导得，当由或时，；当时，， 函数在上严格增；在上严格减． 则函数在时取得极大值，在时取得极小值， 又，， 因此当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求， 因此两个不同的零点当且仅当或， 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或， 所以的全体2度点构成的集合为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $