28.2.2 应用举例（第2课时 方位角加坡角）（教学设计）数学人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦方位角与坡角的应用，通过复习方位角定义及填空引入，衔接已学仰角俯角知识，构建新旧知识联系的学习支架，引导学生探究解直角三角形的实际应用。 以航海、大坝等现实问题为载体，培养抽象能力与几何直观（数学眼光），通过构造直角三角形、方程思想推理（数学思维），规范解题步骤形成模型意识（数学语言），变式与拓展训练提升应用能力，资料实例丰富结构清晰，助力教师教学和学生核心素养发展。

28.2.2 应用举例（第2课时 方位角加坡角）教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册第二十八章 锐角三角函数 28.2解直角三角形及其应用，内容包括：方位角和坡角. 2.内容解析 本节课的内容是在学生学习了利用仰角俯角解直角三角形的基础上，深入探究解直角三角形在实际问题中的应用。本节课，我们将通过具体的应用实例，学会如何运用方位角和坡角的知识来解决直角三角形的问题。这不仅是数学知识的巩固，更是实际应用能力的提升。通过图形直观地理解方位角、坡角和直角三角形的关系，不断强化直观想象能力。在这一节中，我们将学习如何利用勾股定理来解直角三角形，包括求解三角形的边长和角度。这些知识不仅能够帮助我们解决实际问题，还能为后续学习打下坚实的基础。教学内容与学生已有知识的联系非常紧密。在此之前，我们已经学习了勾股定理的发现和证明，以及直角三角形的性质和利用仰角俯角解决问题，这些知识为本节课的学习提供了必要的背景和基础。通过本节课的学习，学生将能够将已有的知识运用到实际问题中，进一步巩固和拓展他们的数学思维 基于以上分析，本节课的教学重点是: 经历探索学习测量中方位角、坡角、坡度的概念，培养学生的抽象能力与几何直观；可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，理解自然现象背后的数学原理. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）.经历探索学习测量中方位角、坡角、坡度的概念，培养学生的抽象能力与几何直观；可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，理解自然现象背后的数学原理； （2）.通过学习利用方位角、坡度解直角三角形并解决实际问题，培养用数学的基本方法去分析、解决数学或实际问题的习惯，逐步形成理性精神； （3）.通过应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题，形成构建数学模型的意识和观念，能够精确地描述日常生活中的数量关系与空间形式. 2.目标解析 （1）教材由问题引入，并引导学生通过观察、推导等方法，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣； （2）培养学生对解直角三角形在实际问题中的理解和运用能力，对利用方位角和坡角解直角三角形的方法形成正确的认识； （3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础. 三、教学问题诊断分析 首先，九年级的学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何知识和解题能力。他们对直角三角形和仰角俯角的概念有了基本的理解，这是学习方位角和坡角解直角三角形的基础。而学生们在这一阶段可能存在以下特点：一方面，他们的抽象思维能力逐渐增强，能够从具体事例中提炼出数学规律；另一方面，他们在解决复杂问题时，可能会遇到逻辑推理上的困难，尤其是在处理实际问题与数学模型之间的转换时。在行为习惯方面，学生们在课堂上通常积极参与，但有时可能缺乏耐心，面对难题时容易放弃。此外，部分学生可能对数学应用题的兴趣不高，这可能会影响他们对本节课的学习热情。 基于以上分析，本节课的教学难点为：通过学习利用方向角、坡度解直角三角形并解决实际问题，培养用数学的基本方法去分析、解决数学或实际问题的习惯，逐步形成理性精神. 四、教学过程设计 （一）复习旧知 方位角的定义：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫作方位角. 如图所示： OA的方向是 南偏西 ； OB的方向是 北偏西 ； OC的方向是 南偏东 ； 【设计意图】通过复习旧知引入，建立新旧知识的联系，易于学生理解，迁移和掌握知识. （二）新知探究 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，海轮所在的处距离灯塔有多远（结果取整数）？ 解：如图 ，在中， ≈. 在中，， ∴ ∴当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔大约e． 方法点拨： （1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”, “南偏……”,的形式. （2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解. （3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换. 解题步骤 1.画图分析：根据方位角描述绘制示意图，标注已知角度和边长，利用平行线性质（如两次观察的正北方向平行）建立角度关系。 2.构造直角三角形：通过方位角确定直角三角形的边角关系， (1)若已知某点的方位角和距离，可利用正弦或余弦定理计算垂直高度或水平距离。 (2)若涉及两次观测（如从A点和B点观测同一目标），需通过公共边建立方程。 【设计意图】通过此题探究让学生类比仰角俯角所学的知识和方法，解决方位角在直角三角形中的应用，从而培养归纳，类比解决问题的能力. （三）新知应用 1.如图两城市相距.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段)，经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区( ≈, ≈)． 解：过点作，是垂足．200km 则，， ∵. ∵， ∴0， 即， 解得. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 2.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 解(1)：过点作于点，海里， ，， 设海里，则海里， 在中，， 在中，， ∴，解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． (2)：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的. 【设计意图】通过定义讲解让学生理解仰角俯角的概念，并能在图形中辨认仰角俯角. （四）新知再探 问1.如图，从山脚到山顶有两条路与，问哪条路比较陡？ 这条路比较陡. 问2.如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 坡角:坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作 . 坡度(或坡比)：坡面的铅垂高度()和水平长度()的比叫作坡面的坡度(或坡比)，记作， 即 . 坡度通常写成的形式 坡度与坡角的关系：,即坡度等于坡角的正切值. 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 1.如图(1)若,，则=______ (2)若,，则=______ 2.如图是一个拦水大坝的横断面图,, (1)斜坡,大坝高为, 则斜坡AB的坡度_____ (2)如果坡度=,则坡角=______ (3)如果坡度=,, 则大坝迎水坡的水平宽度为________. 【设计意图】理解和掌握坡角的概念，并能利用坡角的概念解决简单问题. （五）典例讲解 例1.如图所示的是某大坝的横断面，，迎水坡的坡比，背水坡CD的坡比．若坡面的长度为，求坡面AB的长度 解：过点作于点，过点作于点，如图， 由题意可知，四边形是矩形，． 背水坡CD的坡比， ，， ，即． 又迎水坡AB的坡比，， ． 例2.某数学兴趣小组的同学准备进行测量大树CD高度的综合实践活动．如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为，然后沿斜坡AB行走至坡顶B处，再沿水平方向行走至大树底端D处，斜面AB的坡度 ．求大树CD的高度． 解：如图，过点作于点，则． 斜面的坡度，. 设，则． 在中，， 解得（负值已舍去）， ， . 在中，， ． 故大树CD的高度为m． 方法点拨：利用方程思想解决直角三角形问题 【设计意图】通过例题讲解让学生学会利用坡角从实际问题中抽象出数学模型，从而培养数学抽象能力，引导学生运用几何知识解决实际问题，进一步提升逻辑推理能力，增强数学建模意识，让学生体验数学与生活的紧密联系. （六）变式训练 1.一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，求点到灯塔的距离（结果保留根号）． 解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，， ，米， ∴， 在中，米， 在中，米. 2.某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时40海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值） 解：如图所示，过点C作于H，由题意得， ，， ，海里， 设海里，则海里， 在中，海里， 在中，海里， 在中，海里， ∴，解得， ∴海里， 答：A、D两点间的距离为海里． 3.每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：，斜坡长30米，坡角．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡． (1)求坡顶与地面的距离等于多少米？（精确到米） (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿削进到E点处，求至少是多少米？（精确到米） 解(1)：∵在中，坡角， ∴， ∵斜坡长30米， ∴（米）， ∴（米）， (2)：由(1)得米，米， 连接，过点作，如图所示： ∵经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡． ∴， ∵，∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，即米，， 则（米）， ∴至少是米． 4.扬中塔又称扬中新广播电视发射塔，位于扬中市滨江公园内．如图，扬中塔建在背水坡坡比为，坡长，塔底距离点的环岛江堤上，小明在距离点 的点处测得塔顶的仰角为．已知堤坝顶部与地面平行，求扬中塔的高度(结果保留整数，参考数据：)． 解：如图，延长交于点，过点作，垂足为． ，， ． 又， 四边形是矩形， ，． 背水坡坡比为， 设，则． 在中，，根据勾股定理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ，． ， ． 在中，， ， ．故扬中塔的高度为． 【设计意图】巩固学生利用方位角和坡角解决实际问题，学会构造直角三角形解决问题. （七）拓展探究 1.如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，若渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行，则多少小时即可到达．（结果保留根号） 解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则，解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 2.如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，） (1)求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位） 解(1)：如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F， ∵ ∴，, ∴， ∵，，∴四边形是矩形,即 ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴（千米）； (2):如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇， ∵甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发， ∴甲的路程是乙的路程的1.5倍，即 设，则 由（1）得，， ∴， ∵∴即， 解得，（舍去）． ∴当两人相遇时，乙一共跑了3.5千米． 3.为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为(A、B、P、Q四点在同一平面) (1)求路段的长； 解(1)：由题意，得，， ∴， ∴； (2)当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？(参考数据：，，，，，，) (2)：如图，过点A作于M，于H． 由题意，得， 设米， ∵下引桥坡度， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴小汽车没有超速． 【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和解决问题的综合能力. （八）当堂巩固 1.某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（ A  ） A．米 B．米 C．米 D．米 2.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则 ． 3.如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则从岛看两岛的视角等于 90° ． 4.如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为__3千米___ 5.如图所示的是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线与地面的夹角分别为和．该大灯照亮地面的宽度为2.1 m，则该大灯距地面的高度约为________(参考数据：，，，) 6.如图，一艘轮船在小岛A的北偏东方向上，距离小岛的B处，沿正西方向航行后，到达小岛的西北方向上的C处，则该轮船航行的速度为 ． 7.如图，在某海域一艘巡逻舰由东向西匀速航行，速度为，该巡逻舰上午在A处发现北偏西方向的C处船甲正在由南向北匀速航行，后，巡逻舰航行到B处，发现船甲在其北偏西方向且距其的D处．请你根据相关数据，求船甲的速度．(结果精确到．参考数据： ， ， ) 解：如图，延长、相交于点E，则， 解：在中，， ， ∴（）， ∵， ∴（）， ∴（）， 在中，， ∴（）， ∴（）， ∴甲船的速度为()， 答：船甲的速度为． 8.某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，求出点到的距离（参考数据，，） 解：作于，于，则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，，解得，， 即点到的距离约为. 9.如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子的长为，求大树的高． 解：过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，则， 在中，， 设米，米， ∴，解得， ∴，， ∵， ∴， ∴即大树的高度为． 【设计意图】通过此题练习巩固学生对本节课所学知识的掌握和理解，并利用所学知识解决问题. （九）小结梳理 【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统地回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握. （十）布置作业 P77 练习1、2题. 五、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $