1.6利用三角函数测高（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦北师大版九年级下册“利用三角函数测高”，通过“不告知建筑高度如何测量”的情境导入，先回顾三角函数解决实际问题的步骤，再逐步探究测倾器使用、底部可到达与不可到达物体的测量方法，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合实践与思维，引导学生用数学眼光观察现实（如从建筑测高抽象测量模型），通过测倾器操作步骤、仰角推理（同角余角相等）及两次测角方程构建，培养数学思维（逻辑推理、运算能力），典例与练习选用旗杆、东方明珠塔等实例，强化数学语言表达，助力学生提升应用能力，教师可高效备课。

北师大版·九年级下册 1.6 利用三角函数测高 第一章 直角三角形的边角关系 学 习 目 标 1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．(难点) 知识回顾 利用三角函数解决实际问题的步骤： 生活问题数学化 实际问题 图形分析 （构造直角三角形） 设未知量 解答问题 （构建三角函数模型） （代入数据求解） 求解方程 数学问题 建立方程 情境引入 如果不告诉你这些建筑的高度，你能根据我们所学的数学知识测出它们的高度吗？ 现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题. 新知探究 探究一：测量倾斜角 0 30 30 60 60 90 90 P Q 度盘 铅锤 支杆 测量倾斜角可以用测倾器，—简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成. 要用到测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具. （1）在测塔的高度时，会用到了哪些仪器? 有何用途? 想一想 新知探究 0 30 30 60 60 06 90 P Q 使用测倾器测量倾斜角的步骤如下: （2）使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？ 1.把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. 2.转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数. M 新知探究 如图，目标M的仰角是30°. 根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由. 0 30 30 60 60 06 90 P Q M A B C 理由是：同角的余角相等. 30° 30° 议一议 新知探究 探究二：测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？ 1.在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； 3.量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）. A C M N E α l a 新知探究 根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由. A C M N E α l a 在Rt△MCE中，, ∴=, ∴MN=ME+EN=ME+AC=. 新知探究 1.如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，≈1.732)． 解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°， ∴AC＝CE·tan60°＝6×≈6×1.732≈10.4(米)， ∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)． 所以，旗杆AB的高度约为11.9米． 新知探究 探究三：测量底部不可以到达的物体的高度 如图，要测量物体MN的高度,使用侧倾器测一次仰角够吗？为什么？ A C M N 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离. 底部不可到达，则只测出一个仰角，无法直接解三角形.因此需向测量物体方向移动测倾器一定距离后，再测出一个仰角.借助两个角和测倾器移动距离即可解三角形，进而求出物体的高度. 新知探究 A C B D M N α β E 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一条直线上),测得M的仰角∠MDE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b. a a b 新知探究 根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由. A C B D M N α β E a a b 在Rt△MDE中，ED=, 在Rt△MCE中，EC =, ∴EC-ED==b， ∴ME=, ∴MN= 新知探究 2.如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1 000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到1米）（ ） A.1 366米 B. 1 482米 C. 1 296米 D. 1 508米 A 新知探究 议一议 （1）到目前位置，你有哪些测量物体高度的方法？ （2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离呢？ 测量物体高度的方法有： （1）全等法；（2）相似法；（3）三角函数法. 可利用测倾器测量出该物体的仰角α（或俯角），利用物体高度和角α解三角形，即可求出某测点到该物体的水平距离. 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m). 例1 典例分析 解：如图，过点E作EM⊥CD，交CD于点M, 根据题意，可知∠DEM=30°,BC=EM=30m, CM=BE=1.4m. 在Rt△DEM中， DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)， ∴CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m). ∴学校主楼的高度约为18.72m. M 如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m. 例2 典例分析 解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m， 答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m. ∴BC=1000×tan25°≈466.3（m） ∴上海东方明珠塔的高度BD=466.3+1.7≈468（m） ∴ 巩固练习 基础巩固题 1.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为( ) (sin37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan37°≈0.75) A.7.5米 B.8米 C.9米 D.10米 D 2.如图，在高CD为60 m的小山上，若测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，则这个建筑物的高度为（ ） A.20 m B.30 m C.40 m D. 50 m C 巩固练习 基础巩固题 4.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米. 3.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60° ，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 米. 80 7+ 巩固练习 基础巩固题 6.如图，小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m(即小颖的眼睛与地面的距离)，那么树高是 m. 5.某公园一塔的塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米。其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示)，那么a的值约为 米.(1.73，结果精确到 0.1) 24.1 巩固练习 基础巩固题 解：（1）由题意，AC＝AB＝610（米）； ∴BE＝DEtan39°， ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米） ∴大楼的高度CD约为116米. 7.目前我国最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）. （2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ 巩固练习 基础巩固题 8.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB＝80米.为测量居民楼与这座大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．(结果保留整数)（参考数据 : ） 解：设CD =x 米．在Rt△ACD中，tan37°即, ∴AD= 在Rt△BCD，tan48°= ∴BD= ∵AD＋BD = AB，∴ 解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米． 课堂小结 利用三角函数测高 测量倾斜角 测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角） 测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角） 利用解三角形的知识，求出物体的高度 测倾器的认识及使用 作业布置 1.必做题：习题1.7第1-2题。 2.探究性作业：习题1.7第3题。 感谢聆听! $