九下第28章 锐角三角函数 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 云南专版）

等腰直角三角形.25.解：如图 P过点E作EBG⊥CD于点G,交AB于 一BC-12.79一6.56.3(m).答：标语牌CD的长约为6.3m.26.解：(1)过点D作 6m,O0-4m,.E0-EO-O0-6-4-2(m).AD-BC-8m,.OA-OD DF⊥AE,交EA的延长线于点F,由题意，得四边形ABCF是矩形，·AF=BC= 1m在△ADF中，∠DAF-,ms∠DAF-AD- 10 4n在R△A0E中，m∠E0=贯=是=2.解：D当。=时，在 点H,根据题意，得四边形EFCG,四边形EFBH均为矩形，∴EF=HB=CG=1,6m: R△ABEt,an60=是.AE=10mAB=AE·an60=10B10X1.732= EH-FB.HG-BC-30 m...AH-AB-HB-21.6-1.6-20(m).DG-DC-CG- 102=10×1,4114(km).答：AD的长度约为14kmt(2)小明应该选择线路①，理由 17.3(m).答：楼房的高度约为17.3m:(2)当a-45时，小编能雨到太阳.理由如下：假 3.6-6=30m.由AH/DG,得△AEH△DBG,∴器=，器， EH」 如下：在R△ADF中，∠DAF-4行，AF-10kmam∠DAF-SDF=AF 设没有台阶，当a45时，如图，日 设从点B射下的光线与地面AD ∴.EH=60m,∴.FB=60m答，他与教学楼(AB)之间的距离为60m26.解：(1)，DC an45°=10X1=10(km),,在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠EBS=90°-60°=30°， =AC,CF平分∠ACB,,F为AD的中点，又，E为AB的中点，EF是△ABD的中 位线.EF∥BC:(2)由(1)，得EF是△ABD的中位线，.△AEF△ABD,EF= AB-CF-DF+CD-10+H4(km).tn ZABE-AE-AB:tn 30-4X 名0小=5世-5-（传-8w-827据： 号-8厅(kmEB=2AB-2X8厅-16B(km.按线路①A-D-C-B走的路程 的交点为F,与MC的交点为H.在R△ABF中，∠BFA=,n∠BFA= AAnD (I)由题意，得AP=2:cm,DQ=tcm,QA=(6-t)em当QA=AP时，△QAP为等 为AD+DC十CB=14+14十10=38(km).按线路②A-E-B走的路程为AE+EB= AB A=17.3mAF=m5=1.3(mCF=AF-AC=1.3-12=0.1m 白角三角形，即6一t-2,解得t=2.当t=2s时，△QAP为等楼三角形：(2)根据题 8√5+16√=243≈24×1.73=41.52(km).,38km<41.52km,∴.小明成该选拆线 意可分以下阿种情况时论：①当△QAPn△AC时，器-是.期号-号解得1 t在R1△HCF中，∠HFC=45,n∠HFC=C是.CF=0.1m.CH=CF,an4行 路①.27.解：(1)”在△4BC中，BC=1,AB=3,∠C=90,由勾股定理，得AC= A一C=√可=2反血A=器-方osA=若-22，由阅浅材料可 =0,1×1=0.1(m),0.1<0.2,,大楼的影子落在台阶MC这个制面上，而小猫在 1.2即当1=1.2时，△QAP△AC:@当△PAQ△ABC时，器-新，则号= MN这级台阶上，·小猫能硒到太阳， 受，解得=3，即当=3：时，△PAQ△ABC.综上所述，当1-1.2s或3s时，以Q 知，m2A-2 s-2x2y×子-4号，2)知图@“mA- 九下期末综合评价 1.A2.C3.A4.D5.C6.B7.B8.C9.D10.C1l.A12.B13.D A,P为顶点的三角形与△AC相似. A是-6AD=AC·oA,AC=AB:coA=A.AD=osA, 图② 第二十八章综合评价 14.C15.D164=30017.(6,)或(-6，-)8.正六棱柱19.y=-是 1.D2.A3D4.A5.C6.C7,A8,A9.C10.A1lD12.C13.D 六ED=AD-AE=coA-,在R△CED中，cO∠CED= ED」 EC 0.解：0原式=2×号十 年：(2原武=2×9-（号）+疗-1=25 X1= 14.D15.A162n180压m以万-10.解：1原式 2cos A-1.cos 2A=2cos'A-1. -21.解：1)如图。 线段BC即为所求：(2)，∠C=∠C,∠ABC =2×号-厅+号号=反-(2)原式=之-2×（号）+(-1=之-是-1 第二十九章综合评价 1.C2.C3.B4.D5.B6.C7.D8.B9.C10.C11.D12.B13.C =一1.21.解“关于x的一元二次方程卫一2红sine十尽血。一是=0有两个相等 14.B15.B16.4.517.3π18.319.420.解：(1)作法：连接AC,过点D作 -∠0-0，△CABn△CP0.六0-瓷：授-BCBC-2m.小亮影 BC DF∥AC,交直线BE于点F,则EF是DE的投形，如图： 实数根4=0，即(2sime)-4(Bna一斗)=4sima-4尽in。十3=0.化简，得 子的长为2m.22.解：(1)反比例函数的比例系数为一12，自变量x的取值范周为士 sna一5ine+是-0(na-号)-0.sn。-,。-60.2.解：0：∠C ≠0：2)当=-3时，y=一号-4：8)当y=-时，即一厅=-兰解得r=4后 (2)AC∥DF.∴∠ACB=∠DFE.义，∠ABC=∠DEF=90,△ABC∽△DEF 23.解：(1)如图，？ 点O即为所求：(2)△ABC与△ABC的 -90,AB-13,-5,AC-AB-BC-13-可-12.simA-A- B 提-祭，即品-言DB-7.5,即DE的长为7,5m21.解：)中心投影 oA=6-是mA=%=:(2:∠C=90,∠A=60∠B=90-∠A=0 (2):AB⊥CP,PO1PC,∴∠ABC=∠OPC=90.义∠ACB=∠P,∴△ABCO -60=30.“c=2+4,六h=2=5+2六a=6·an∠A=5+2)×5=3+ △0PC=由题意，得AB=2m,BC=3m,B即=4.5mPC=Bp+BC= 22.解：如图 2.∴∠B=30°.b=月+2.a=3+2.23.解：：∠C=90°.∠BDC=45, 5+3=7,5(m)心示.0P-5m.答，路灯的高度0P为5m 位似比为，24，解：延长EF交AG于点H,则EH⊥AG,过点B作BP⊥AG于点 ∠DBC-5,∠DC-∠BCDC-BC-6又：nA-%-号AB- 23.解：(1) P,易得四边形BFHP是矩形，.FB=PH,FH=PB台阶拔面AB的坡度=5： 12,设BP=5xm,则AP=12xm.在R△ABP中，由勾股定理，得PB十PA=AB, =号×6=15.24.解：(ACL BD,∠ACB=∠ACD=90,在△ABC中 主视图 左视图 即(5x)2+(12x)2=26,解得x=2或x=-2(舍去)，PB=FH=10m,AP=24m ms∠ABC-%-吉，BC=8,“AB=三C=亭×8=10.由勾股定理，得AC 设E-am,BF-HP-6man∠EBF--m鼠，2-2. ABBC=√0一8=6，即AC的长为6：(2)连接CF,过点F作FE⊥BD于点 24.:分别连接AD,EM,过点D作DN⊥AB,垂足为N,由题意，得△EFMO n∠EAH=器-那+焉=um0212@,由@得a=4, E.BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，在R1△ACD中，则有CF=AD △AND,四边形CDN为矩形，÷票-器BN=CD=2m,ND=iC=9m∴六 23.5.答：塔楼的商度EF约为47m,25.解：(1)：点A的横坐标是2，将r=2代入 =FD,∴·△CDF是等腰三角形.，FE⊥CD,易得点E是CD的中点，∴EF是△ACD =,AN=6m,六AB=AV+BN=6+2=8(m.答新AB的商度为8m =:(x-2)+5中，得y=5.点A(2,5.将点A(2,5代入y=生，得=2×5= 的中位线，∴CE=号CD=号×4=2，EF=号AC=号×6=3，∴BE=BC+CE=8+2 25,解：1)这个圆柱的表面积是元×（之）×2+π×4×6=8元+24=32：(2)这个圆 1.一只“点B的敏坐标是一4：将y一一4代人一只得一4一只解得 =10,m∠FBD-是-高2点解：过点A作AE⊥BD于点E.:在R△ABE 柱的体积是×（之） ×6=π×4×6=24π.26.解1(1)如图 (2)E0= -号点B(-号-4)将点B(-是-4)）代人斯=6（红一2）+5，得-4日 t,∠EAB=30.AB=10m,BE=AB=5m,六AE=EBE=5E(m).在 Rt△ADE中，DE-AE·tan42=7.79(m)..BD-DE+BE-12.79(m),∴.CD-BD :(-受-2）+5.解得k:=2.六y=2x一2)+5=2红十1.故的值为10，k:的值为 第58页（共72页） 第59页（共72页） 第60页（共72页）第二十八章综合评价 9在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且inA= .cos B=1 ·则△ABC 18.某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造.如图，改造 2 前的斜坡AB=80√17m,坡度为1：4.将斜坡AB的高度AE提高 (时间：120分钟满分：100分) 的形状是 ( 20m(即AC=20m)后，斜坡AB改造成斜坡CD,其坡度为1：L5, A直角三角形 B.钝角三角形 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分， 则改造后斜坡CD的长为 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 共30分) 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=,则下列选项正 10.计算器显示结果为sin0.9816=78.9918的意思正确的是( 307 15 确的是 A.计算已知正弦值的对应角度 B.cosB=么C.tamA=g B.计算已知余弦值的对应角度 (第18题图) (第19题图) A.sin A= D.tanB=色 C.计算一个角的正弦值 19.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算 D.计算一个角的余弦值 tan15时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90,∠ABC=30,延长CB使 1.在△ABC中，∠B=80.若AC=10,mA=号，则AB的长是（ BD=AB,连接AD,得∠D=15,所以an15°=AC=1一 CD2+5 (第1题困) (第4题图) 第6题图 C.60 D.80 2-3 =2-5.类比这种方法，计算tan22.5°的值为 2.tan30°的值等于 (2+√3)(2-5) A号 B号 12.如图，已知⊙O的半径为5，弦BC:AC=3:4,则sinA的值为 C.1 D.2 三，解答题（本大题共8小题，共62分》 3.在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，下列各 20.(6分)计算： 式成立的是 ( A.b=a·sinB B.a=b·cosB (1)2cos45°-tan60°+sin30° C.a=b·tanB D.b=a·tanB 4.如图，一根3m长的木头AB斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A =:1.5 离地面的高度AC为1m时，木头AB的倾斜角&的余弦cosa的值 为 ( (第12题图) (第13题图) (第14题图) 3 &号 D 13.如图，河坝的横断面为梯形ABCD,且AB=CD,坝顶宽10m,坝高 (2)sin30°-2cos230°+(-tan45)25. C.2/2 12m,斜坡AB的坡度i=1:1.5,则坝底AD的长度为( 5.如果把一个悦角三角形ABC三边的长都缩小为原来的三倍，那么锐 A.26m B.28m C.30m D.46m 角A的余弦值 14.如图，BD是菱形ABCD的对角线，CELAB于点E,且点E是AB A缩小为原来的号 的中点，则tan∠BFE的值是 B.扩大为原来的3倍 C.不变 D.无法确定 A号 B.2 D.3 21.(6分)已知∠a为锐角，且关于x的一元二次方程xr-2rna十3sina 6.如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点 15.在锐角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,有以 C.当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°， b -子-0有两个相等实数根，求。 测得AB=1.6m,则OC的长为 ( 下结论：gA-sim Bsin C=2R(其中R为△ABC的外接国半 品品m B.08 径)成立.在△ABC中，若∠A=75,∠B=45,C=4,则△ABC的外 c0820m 接圆的而积为 ( C.0.8sin20°m D.0.8cos20°m 4 C.16m D.64π 7.在△AC中若由A-+(停m码=0，则∠C的度数是( 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） A.120 B.105 C.75 D.45 16.已知在R1△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=3,则∠A的正弦值为 8.已知∠A+∠B=90,且cosA-方，则sinB的值为 17.一斜坡的坡角为8，坡长比坡高多100m,那么斜坡的高为 A B C26 5 ,(用α的锐角三角函数表示) 第1页（共6页） 第2页（共6页） 第3页（共6页） 22.(10分)(1)在△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=5,求∠A的正弦25.(7分)小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国一南亚博览 27.(11分)阅读下列材料： 值，余弦值和正切值： 会”的竖直标语牌CD.她在点A测得标语牌顶端D处的仰角为 题日：如图①，在△ABC中，已知∠A<45°，∠C=90°，AB=1,请用 (2)在Rt△ABC中，∠C=90,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边， 42,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上)， sinA,cosA表示sin2A. ∠A=60°，c=23+4,解这个直角三角形. AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求标语牌CD的长.（结果 解：如图@，作△ABC的中线CE,过点C作CDLAB于点D,则CE= 保留小数点后一位，参考数据：sin42≈0.67，c0s42≈0.74， AE=AB-:CD=AC·SnA,AC=AB·cosA=osA, tan42°≈0.90.√/3≈1.73) ∴.∠CED=2∠A. 在R△CED中，im∠CED=CP-AC,iA-2AC.imA=2cosA CE sin A,Pp sin 2A=2cos A sin A. 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)如图③，在△ABC中，∠C=90°，若BC=1,AB=3,求sinA, sin2A的值： 23.(7分)如图，在△ABC中，∠C=90,nA-号，D为AC上一点， (2)在上面的阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或cosA表示 ∠BDC=45°，DC=6,求AB的长. cos 2A. K45 26.(8分)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条 长跑锻炼线路，如图，①A一D一C-B:②A一E-B.经墈测，点B在 图① 图國 图③ 点A的正东方，点C在点B的正北方10km处，点D在点C的正西 方14km处，点D在点A的北偏东45方向，点E在点A的正南方， 点E在点B的南偏西60方向.（参考数据：2≈1.415≈1.73） 24.(7分)如图，在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC (1)求AD的长度：（结果精确到1km) (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说 专，BF为AD边上的中线. 明他应该选择线路①还是线路②. (1)求AC的长： (2)求tan∠FBD的值 60 第4页（共6页） 第5页（共6页） 第6页（共6页）