专题4.1 数列重难点题型讲义（3个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题4.1 数列重难点题型专训 （3个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 数列的概念及辨析 题型二 根据规律填写数列中的某项 题型三 数列周期性的应用 题型四 判断数列的增减性 题型五 确定数列中的最大(小)项 题型六 根据数列的单调性求参数 题型七 判断或写出数列中的项 题型八 累加法求数列通项 题型九 累乘法求数列通项 题型十 利用an与sn关系求通项或项 题型十一 构造法求数列通项 题型十二 观察法求数列通项 题型十三 根据数列递推公式写出数列的项 题型十四 由递推关系式求通项公式 题型十五 由递推数列研究数列的有关性质 题型十六 递推数列的实际应用 拓展训练一 求数列的项 拓展训练二 求数列通项的方法 拓展训练三 递推的相关问题 知识点一： 数列的概念及表示方式 1、数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫做数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第项叫做数列的通项 2、数列的表示 （1）一般形式：，，，…，，… （2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。 3、数列的通项公式 （1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 【即时训练】 1．（2025·浙江·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一下·上海闵行·期末）数列中，，则的值为 ． 知识点二：求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【即时训练】 1．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列满足，则数列的最小项是第（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，，则在数列的前30项中，最大项和最小项分别为 ， ． 知识点三： 由数列的前几项求数列的通项公式 （1）各项的符号特征，通过或来调节正负项． （2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． （3）相邻项(或其绝对值)的变化特征． （4）拆项、添项后的特征． （5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 【即时训练】 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ） A．0 B．32 C．48 D．64 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）数列的前n项和为，若，则 ． 【经典例题一 数列的概念及辨析】 【例1】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（2024高三·全国·专题练习）试确定一个正整数，在数列中（其中）取出所有的项构成由不同的项组成的五个子数列．其中每两个子数列均无相同的项，且这五个子数列的各项和均相等． 1．（2024·北京顺义·二模）设，，，…，是1，2，3，…，7的一个排列.且满足，则的最大值是（    ） A．23 B．21 C．20 D．18 2．（多选题）（24-25高二下·湖北·阶段练习）如图，已知直线与曲线，设为曲线C上横坐标为1的点.过作x轴的平行线交于，过作x轴的垂线交曲线C于；再过作x轴的平行线交于，过作x轴的垂线交曲线C于……，设点，，…，，…的纵坐标分别为，，…，，…，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）分别写出下面的数列： (1)在区间内，能被6整除的整数按从小到大的顺序构成的数列； (2)分别精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，0.00001的近似值（四舍五入）依次排列构成的数列． 【经典例题二 根据规律填写数列中的某项】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）如果数列，，，，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来，那么这个数列的第8项为（   ）． A．70 B．92 C．105 D．118 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去……    (1)图③中共挖掉了多少个正方形？ (2)求每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式． 1．（24-25高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 2．（多选题）（2025·江苏·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（   ）    A．站在第20拐角的学生是111号 B．站在第23拐角的学生是137号 C．第133号同学站在拐角位置 D．站在拐角位置的同学共有79名 3．（24-25高二上·安徽·期末）某同学设计了一种小游戏，规则如下：从第二局起，每一局将上一局中一个白球变成一个白球和一个黑球，一个黑球变成一个白球和两个黑球．按如此规律，若初始第一局为一个白球，则第七局游戏后所得白球与黑球的总数为 ． 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，下列图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为；解答下列问题．    (1)利用观察法写出以及； (2)从第几个图形开始，图形面积大于127？ 【经典例题三 数列周期性的应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，则能使的的数值是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【例2】（2025高三·全国·专题练习）数列满足，判断数列的周期性． 1．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，则数列的前13项和为（   ）． A．2 B．8 C．12 D．14 2．（多选题）（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．成等比数列 C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知数列，，，且任意连续三项的和都是15，则 ． 4．（24-25高三下·全国·强基计划）已知斐波那契数列满足，，求的个位数字． 【经典例题四 判断数列的增减性】 【例1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【例2】（24-25高二·全国·随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)； (2)． 1．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）已知数列{an}的通项公式为前n项的和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（多选题）（24-25高二下·广西南宁·开学考试）下列数列中，一定是单调递增数列的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）已知数列满足下面说法正确的有 . ①当时，数列为递减数列； ②当时，数列为递减数列； ③当时，数列为递减数列； ④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知.讨论的单调性.    【经典例题五 确定数列中的最大(小)项】 【例1】（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，求该数列前30项中的最大项和最小项． 1．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（多选题）（24-25高二下·江西·期末）数列满是，则（    ） A．数列的最大项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小项为 D．数列的最小项为 3．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知数列{an}的通项公式为，前n项积为，则的最大值为 ． 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，求数列中的最大项． 【经典例题六 根据数列的单调性求参数】 【例1】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列是递增数列，，试确定的取值范围． 1．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二下·陕西铜川·阶段练习）已知递增数列的通项公式为，则的值可能为（    ） A． B． C．2 D．6 3．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式是. (1)若，当为何值时，有最小值？给出结论并求出最小值． (2)对于任意，都有，求实数k的取值范围． 【经典例题七 判断或写出数列中的项】 【例1】（24-25高二上·河南·期中）已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·江苏·课前预习）已知数列{an}的通项公式，. (1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项； (3)求及. 1．（24-25高三上·安徽黄山·期末）已知数列的通项，若且，使得，则的取值个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 2．（多选题）（24-25高二上·山东·阶段练习）已知数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，问： (1)第43项为多少？ (2)是数列的第几项？ 【经典例题八 累加法求数列通项】 【例1】（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 1．（2025高三·全国·专题练习）若，则的整数部分是（   ） A．1997 B．1998 C．1999 D．2000 2．（多选题）（2024·广东肇庆·一模）将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（   ） A．37 B．58 C．67 D．79 3．（24-25高二上·河南焦作·阶段练习）在数列中，，，则数列通项公式 . 4．（2025·浙江绍兴·一模）植树节来临，某学校数学活动小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在处,其中，当时， 其中表示非负实数的整数部分,如，.按此方案，求第2011棵树种植点的坐标. 【经典例题九 累乘法求数列通项】 【例1】（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 1．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 2．（多选题）（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，若存在正整数， 使得等式成立，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）若数列满足，则 . 4．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 【经典例题十 利用an与sn关系求通项或项】 【例1】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知数列的前n项和，则（   ） A．20 B．16 C．12 D．8 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前项和为，解决下列问题． (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； (3)若前项和，求其通项公式； (4)已知，求其通项公式． 1．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．（多选题）（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知数列的前项和为，则 . 4．（2025高二下·全国·专题练习）设数列的前项和为，且，． (1)求； (2)求的通项． 【经典例题十一 构造法求数列通项】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设数列满足，且，求． 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期中）已知数列满足，且，则 . 4．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知数列中，. (1)求； (2)设，求证：. 【经典例题十二 观察法求数列通项】 【例1】（24-25高二下·江西赣州·期末）数列为，则不能作为通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知数列的前5项为，则的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·随堂练习）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝．已知“大衍数列”的前10项分别为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式： (1)； (2)； (3)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…． 【经典例题十三 根据数列递推公式写出数列的项】 【例1】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下5个圆环最少移动的次数为（   ） A．16 B．14 C．7 D．5 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足：（m为正整数），若，求m所有可能的取值． 1．（24-25高二下·山东淄博·期末）数列满足，且，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（多选题）（2025·海南海口·模拟预测）若数列满足：，已知，则（   ） A．14 B．15 C．17 D．18 3．（2025高三·全国·专题练习）数列定义如下：，且当时，，已知，则正整数的值为 . 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知数列满足，，我们知道当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：1，2，，…；当时，得到有穷数列：，，0． (1)求当为何值时； (2)设数列满足，，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列． 【经典例题十四 由递推关系式求通项公式】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设为数列的前n项积，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列满足，，求. 1．（2024·广东佛山·一模）记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 2．（多选题）（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）在数列中， ．求的通项公式. 【经典例题十五 由递推数列研究数列的有关性质】 【例1】（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例2】（2024高三·全国·专题练习）数列满足，判断数列的周期性. 1．（24-25高二下·辽宁大连·期中）设，数列满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（多选题）（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）若数列满足，，，则的最大值为 ． 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…． (1)写出数列中，，的递推关系，并求是该数列中的第几项； (2)记是数列的前n项和，证明：为定值． 【经典例题十六 递推数列的实际应用】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）上一个层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为，则下列猜想正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 1．（2024·陕西安康·模拟预测）生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 2．（多选题）（24-25高二下·四川成都·阶段练习）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，...，k，规定：同意按“”，不同意（含弃权）按”，令，其中，且，以下说法正确的是（    ） A．若，则第2号同学同意自己作为班干部候选人 B．若，则第1号同学和第3号同学都同意第2号同学当选 C．同意第1号同学当选的人数为 D．同时同意第1，2号同学当选的人数为 3．（24-25高二下·上海·开学考试）已知数列的各项均为正整数，对于任意正整数，有，其中为使为奇数的正整数.若存在正整数，使得当且为奇数时，恒为常数，则的值为 . 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知某中学食堂每天供应3 000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A，B两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜)．调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a1＝2 000. （1）请用an，bn表示an＋1与bn＋1； （2）证明：数列{an－2 000}是常数列． 【拓展训练一 求数列的项】 【例1】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）设，为正整数，，，，，…，，…，已知，则的值为（    ） A．1806 B．2005 C．3612 D．4100 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，求数列的最大项． 1．（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）已知数列的通项公式为，前n项和为．则取得最小值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知数列的通项公式为，则（    ） A．， B．，， C．，， D．、，， 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则 ． 4．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 【拓展训练二 求数列通项的方法】 【例1】（2024高三上·河南·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且．若当且仅当时，取得最小值，且，则符合条件的实数组成的集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： (2)若数列的前项和为，证明：. 1．（24-25高二上·福建·期末）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 2．（多选题）（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，下列说法正确的是（    ） A．此数列的第19项是180 B．此数列的偶数项的通项公式为 C．此数列的项不可能为奇数 D．此数列的前项和为 3．（2024高二·全国·专题练习）设为数列的前项和，已知，，则 4．（24-25高二上·全国·课后作业）写出下面数列的一个通项公式： (1)，，，，，…； (2)1，，，，，…； (3)6，66，666，6666，66666，…； (4)2，0，2，0，2，…． 【拓展训练三 递推的相关问题】 【例1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（   ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知斐波那契数列．把相邻两项的比值看做一个新的数列，即．证明：当越来越大时，其比值逐渐的趋向于． 1．（2024·湖南长沙·一模）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024高三下·全国·竞赛）设数列满足：，则可以是（   ） A．212 B．410 C．2293 D．4896 3．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）已知数列满足：①；②对于任意正整数，，都有成立．则数列的通项公式 ． 4．（2025·福建福州·模拟预测）记为正整数，的最大公约数，正整数数列满足. (1)求时，求，； (2)当时，求所有满足的正整数； (3)当时，证明：不存在满足的正整数. 1．（24-25高二下·广东珠海·期中）如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东枣庄·期中）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．34 B．55 C．89 D．144 6．（多选题）（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的通项公式，前项和为，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．数列单调递减 D．数列的最小项是 7．（多选题）（24-25高二下·广东佛山·期末）已知数列的前n项和为，，则（   ） A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 8．（多选题）（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）记为正项数列的前项和，且，则（    ） A． B． C．数列单调递增 D． 9．（多选题）（24-25高二下·四川资阳·期中）已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（    ） A． B．数列为周期数列 C． D．数列为递增数列 10．（多选题）（24-25高二下·广东肇庆·期末）自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 11．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的前项和为 . 12．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于 ． 13．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知数列满足，则 . 14．（2025高二·全国·专题练习）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智玩具，它的九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为 ． 15．（24-25高二下·江苏·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为.利用下图所揭示的的性质，则在等式中， . 16．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知等差数列，的通项公式分别为，，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，…，，…. (1)求，，，； (2)求证：在数列中，但不在数列中的项恰为，，，…，，…； (3)求数列的通项公式. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求证：； (2)设数列的前项和为，求证：． 18．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 19．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求证： (1)，； (2)，且. 20．（2025高三·全国·专题练习）（1）学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连续出现正面的可能情形有多少种？ （2）用1，2，3，4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以组成多少个不同的6位数？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 数列重难点题型专训 （3个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 数列的概念及辨析 题型二 根据规律填写数列中的某项 题型三 数列周期性的应用 题型四 判断数列的增减性 题型五 确定数列中的最大(小)项 题型六 根据数列的单调性求参数 题型七 判断或写出数列中的项 题型八 累加法求数列通项 题型九 累乘法求数列通项 题型十 利用an与sn关系求通项或项 题型十一 构造法求数列通项 题型十二 观察法求数列通项 题型十三 根据数列递推公式写出数列的项 题型十四 由递推关系式求通项公式 题型十五 由递推数列研究数列的有关性质 题型十六 递推数列的实际应用 拓展训练一 求数列的项 拓展训练二 求数列通项的方法 拓展训练三 递推的相关问题 知识点一： 数列的概念及表示方式 1、数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫做数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第项叫做数列的通项 2、数列的表示 （1）一般形式：，，，…，，… （2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。 3、数列的通项公式 （1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 【即时训练】 1．（2025·浙江·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据数列前项和与的关系，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】当时，；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，但，所以选项错误. 当时，，则；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，， 当时，，所以选项错误. 当时，，由可得，但不能得出； 当时，即，可得，同样无法得出. 例如数列为，，满足，但，所以选项错误. 已知，当时，，即； 当时，； ，由可得，那么，所以，即，选项正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·上海闵行·期末）数列中，，则的值为 ． 【答案】0 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】时， 故答案为：0. 知识点二：求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【即时训练】 1．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列满足，则数列的最小项是第（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项. 【详解】数列中，由，得，由，得， 则当时，；当时，， 即， 所以数列的最小项是第6项. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，，则在数列的前30项中，最大项和最小项分别为 ， ． 【答案】 ； 【分析】将变为，然后观察其什么时候取最大或最小项． 【详解】， 若要最大，则需取最小正数，则当时，最大． 若要最小，则需取最大负数，则当时，最小． 所以最大项为；最小项为. 故答案为：； 知识点三： 由数列的前几项求数列的通项公式 （1）各项的符号特征，通过或来调节正负项． （2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． （3）相邻项(或其绝对值)的变化特征． （4）拆项、添项后的特征． （5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 【即时训练】 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ） A．0 B．32 C．48 D．64 【答案】B 【分析】根据数列前项和公式，求出数列通项公式，依次求出前项，再求和. 【详解】已知，则当时，， 可得， 当时，，符合公式，则数列通项公式为， 则， 数列的前项和为， 故选：B. 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】384 【分析】根据前项和的递推公式求得，然后求出，即可求解. 【详解】①，②， 两式相减得，故， 令中得，，所以． 故答案为：384 【经典例题一 数列的概念及辨析】 【例1】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由极端原理结合题意可得. 【详解】极端原理知，要使得最大，数列的项要尽可能地小.注意到，以此类推. 且， 故的最大值为6. 故选：B 【例2】（2024高三·全国·专题练习）试确定一个正整数，在数列中（其中）取出所有的项构成由不同的项组成的五个子数列．其中每两个子数列均无相同的项，且这五个子数列的各项和均相等． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】根据题意确定n的范围，再根据题意中子数列满足的条件，即可求得答案. 【详解】由于，由题意知， 如果，构成五个无相同项的子数列，必定至少有两个单项数列， 它们不相等，不合题意，因此． 故时，五个子数列为； 也可以是时，五个子数列为； 或者是时，五个子数列为. 1．（2024·北京顺义·二模）设，，，…，是1，2，3，…，7的一个排列.且满足，则的最大值是（    ） A．23 B．21 C．20 D．18 【答案】B 【分析】依据绝对值的几何意义和题给条件即可求得的最大值. 【详解】即为相邻两项之差的绝对值之和， 则在数轴上重复的路径越多越好，又， 比如，其对应的一个排列为 则的最大值是 故选：B 2．（多选题）（24-25高二下·湖北·阶段练习）如图，已知直线与曲线，设为曲线C上横坐标为1的点.过作x轴的平行线交于，过作x轴的垂线交曲线C于；再过作x轴的平行线交于，过作x轴的垂线交曲线C于……，设点，，…，，…的纵坐标分别为，，…，，…，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求出的坐标判断A；求出坐标，结合选项A，利用观察法得出规律判断B；利用图象数形结合判断CD. 【详解】对于A，点在曲线上，， 点，点，因此，A正确； 对于B，由选项A知，，，， 以此类推，，，，B错误； 对于C，设直线与曲线的交点纵坐标为，观察图象知， ，因此，C正确； 对于D，由图知，，因此，D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高二下·上海·期中）设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为 ． 【答案】 【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）分别写出下面的数列： (1)在区间内，能被6整除的整数按从小到大的顺序构成的数列； (2)分别精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，0.00001的近似值（四舍五入）依次排列构成的数列． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据能被6整数的数的特点即可写出数列； （2）根据值的表示即可得到数列. 【详解】（1）内第一个能被6整除的整数是102， 再根据能被6整数的整数的特点知后面的数依次比前一位大6，则数列为： . （2） 精确到的近似值构成的数列为： 【经典例题二 根据规律填写数列中的某项】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）如果数列，，，，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来，那么这个数列的第8项为（   ）． A．70 B．92 C．105 D．118 【答案】B 【分析】解法1：从数列的项和项之间的关系角度找规律求解即可； 解法2：从图形角度找规律求解即可． 【详解】解法1：从1，5，12，22中可以得到规律，后三项是各自前一项依次加，，， 则此数列的第8项应为． 解法2：从图形角度，第二个图形可以看成一个点加上一个正方形数，即； 第三个图形可以看成三角形数“”和正方形数“”的和，即． 同理得第四个图形表示的数为， 以此类推，可知第八个图表示的数为. 故选：B． 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去……    (1)图③中共挖掉了多少个正方形？ (2)求每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式． 【答案】(1)73 (2) 【分析】（1）观察图中每次挖掉的正方形个数，是前一次挖掉的个数乘以8，再加上前两次挖的个数可得总数； （2）观察图形可得规律，每次挖掉的正方形个数是前一次的8倍，由此可得递推公式. 【详解】（1）因为第一次挖掉1个正方形，第二次挖掉8个，第三次挖掉 个， 所以图③中共挖掉 个正方形. （2）由（1）知，第一次挖 个正方形，第二次挖掉 个，第三次挖掉 个， 以此类推，第n次挖掉，故  ， 则递推公式为 . 1．（24-25高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C 【分析】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积. 【详解】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积， 图形4的面积， 以此类推， 则图形的面积 则第10个图形的面积为． 故选：C. 2．（多选题）（2025·江苏·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（   ）    A．站在第20拐角的学生是111号 B．站在第23拐角的学生是137号 C．第133号同学站在拐角位置 D．站在拐角位置的同学共有79名 【答案】ACD 【分析】由前几个拐角的编号，找到规律，即可逐项判断； 【详解】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26 将奇数项的拐角即为，易得：; 偶数序号的拐角即为，由规律可得： 第20拐角的学生编号为：正确； 站在第23拐角的学生编号为：错误； 由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置； 由，可得， 由，可得， 所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：由前几个拐角编号，找到规律； 3．（24-25高二上·安徽·期末）某同学设计了一种小游戏，规则如下：从第二局起，每一局将上一局中一个白球变成一个白球和一个黑球，一个黑球变成一个白球和两个黑球．按如此规律，若初始第一局为一个白球，则第七局游戏后所得白球与黑球的总数为 ． 【答案】233 【分析】根据题意，假设第局中的白球总数为，第局中的黑球总数为，由已知，根据规律即可求解. 【详解】根据题意，假设第局中的白球总数为，第局中的黑球总数为， 第一局是1个白球，0个黑球，可知，， 第二局，原来的一个白球会变成1个白球和1个黑球，所以，， 第三局，每个白球和黑球都要变化，第二局有1个白球和1个黑球， 所以第三局的白球数应该是原来的白球数加上原来的黑球数， 同样，黑球数是原来的白球数加上原来的黑球数的二倍，，， 根据此规律可得，， 所以，，，，，，，， 所以第7局后球的总数为． 故答案为：233. 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，下列图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为；解答下列问题．    (1)利用观察法写出以及； (2)从第几个图形开始，图形面积大于127？ 【答案】(1)， ， ， ， (2)第7个图形 【分析】（1）根据规律写，，，和即可； （2）根据题意列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）根据题意，图形1的面积：， 图形2的面积：， 图形3的面积：， 图形4的面积：， 图形的面积：． （2）由，得，所以，故， 又因为，所以， 所以从第7个图形开始图形面积大于127． 【经典例题三 数列周期性的应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，则能使的的数值是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】结合数列的周期性即可求解. 【详解】由题意数列的前4项为， 数列是周期为3的周期数列， 能使的的数值是， 对比选项可知，只有C正确. 故选：C. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）数列满足，判断数列的周期性． 【答案】周期为2． 【分析】通过递推公式列举出数列的项，进而发现周期，然后再进行证明即可． 【详解】因为，所以，，则猜想该数列的周期为2， 下面进行证明： 根据题意，， 于是数列的周期为2． 1．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，则数列的前13项和为（   ）． A．2 B．8 C．12 D．14 【答案】B 【分析】利用递推式判断数列的周期性，进而求和即可. 【详解】因为，所以， 则，， ，， 可得数列是周期为3的周期数列，且设前项和为， 则，故B正确. 故选：B 2．（多选题）（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．成等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可推导数列是以3为周期的周期数列，由，可得，然后逐项判断即可. 【详解】由，及，得． 因为，所以 ，所以是以3为周期的周期数列， 所以 ，所以B错误，ACD正确． 故选：ACD． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知数列，，，且任意连续三项的和都是15，则 ． 【答案】5 【分析】由，，得到数列的周期性，从而得到，再根据和求得和，从而得到. 【详解】时，由，， 两式相减可得， 因此数列是以3为周期的周期数列， 可得，． 由，可知，所以． 故答案为：. 4．（24-25高三下·全国·强基计划）已知斐波那契数列满足，，求的个位数字． 【答案】9 【分析】采用枚举法列举出前70项的个位数，可得斐波那契数列个位数是以60为周期的循环数列，根据周期数列的性质求解即可. 【详解】采用枚举法列举出前70项的个位数如下表: 所以斐波那契数列个位数是以60为周期的循环数列， 因为， 所以的个位数与的个位数相同，即的个位数是9． 【经典例题四 判断数列的增减性】 【例1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得. 【详解】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B 【例2】（24-25高二·全国·随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)； (2)． 【答案】(1)数列为递减数列，图见解析 (2)数列为递增数列，图见解析 【分析】描点法作图，根据及图像可判断 【详解】（1），且，， 数列为递减数列，如图：    （2），， 数列为递增数列，如图：    1．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）已知数列{an}的通项公式为前n项的和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】解法一：根据选项验证取得最小值时n的值即可. 解法二：利用作差法判断数列的单调性，继而判断出数列的项的正负情况，即可确定答案. 【详解】解法一：由已知，易知，故最小时为.故选：B 解法二：由题意可知， 可得 ， 令，则， 故当时，； 令，即，则或， 即当或时，； 令，则， 令，则， 令，则或， 则当时，，当时，； 当时，；当时，； 故，， 故当时，Sn取得最小值， 故选：B 2．（多选题）（24-25高二下·广西南宁·开学考试）下列数列中，一定是单调递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据数列的通项公式及递推关系，结合相关函数的区间单调性依次判断各项的正误. 【详解】A：函数在上单调递减，在上单调递增， 由，且， 而，易知在上单调递增，符合； B：函数在在上单调递减，在上单调递增， 由，且， 又，故在上单调递增，符合； C：由，故在上单调递增，符合； D：对于，当时在上单调递减，不符合. 故选：ABC 3．（24-25高二上·北京·期中）已知数列满足下面说法正确的有 . ①当时，数列为递减数列； ②当时，数列为递减数列； ③当时，数列为递减数列； ④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项. 【答案】②③④ 【分析】通过求出数列的递推式，找出之间的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， 在数列中，， ∴ ， ∵， ∴当 时， , 即 当 时， ，即 . 当 时， ， 故数列 不是递减数列，故①不正确. 当 时， ，， 故数列 是递减数列，故②正确. 当 时， ，所以数列 是递减数列，故③正确. 当 为正数时，令 , 所以 . 时， , 数列 从第二项起递减， 所以此时数列 有两项相等的最大值； 时，数列从第一项到第 项递增，从第 项起递减， ，所以 ， , 所以 , 所以此时数列 有两项相等的最大值， 故④正确. 选答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推式，递增递减数列的判断，考查学生数学思维和理解题意的能力，计算的能力，具有很强的综合性. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知.讨论的单调性.    【答案】答案见解析. 【分析】先求数列的不动点，再利用蛛网图进行判断. 【详解】令，可得. 当，即时，为常数数列，不具有单调性； 当，即时，由蛛网图知，数列递减，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；    当，即时，由蛛网图知，数列递增，且随n增大，向不动点逐渐“靠拢”；    【经典例题五 确定数列中的最大(小)项】 【例1】（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对通项公式化简变形后可求得当或时，，当时，，从而可求出取到最小值时的值. 【详解】， 由，得，解得或， 因为，所以当或时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故选：B 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，求该数列前30项中的最大项和最小项． 【答案】最大项为，最小项为 【分析】依题意转化得，然后通过观察分析即可得解． 【详解】， ， 而，， 若要最大，则需要取最小正数，则当时，最大， 若要最小，则需要取最大负数，则当时，最小． 所以该数列前30项中的最大项为，最小项为. 1．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高二下·江西·期末）数列满是，则（    ） A．数列的最大项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小项为 D．数列的最小项为 【答案】BD 【分析】根据条件，判断出数列的单调性即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由，得到，且易知，时，，当时，， 所以 所以数列的最大项为，最小项为， 故选：BD. 3．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知数列{an}的通项公式为，前n项积为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由题可得时，，从而最大值，只能在或产生，据此可得答案. 【详解】由，因，则时，. 又，则，时，都有. 从而最大值，只能在或产生， 注意到，，. 则的最大值为. 故答案为： 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，求数列中的最大项． 【答案】 【分析】解法一或解法二：分析数列的单调性，即可求得数列中的最大项. 【详解】解法一：（作差比较法）：， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 所以，， 所以数列中的最大项为或，且； 解法二（作商比较法）：， 令，解得；令，解得；令，解得． 又，故，， 所以数列中的最大项为或，且． 【经典例题六 根据数列的单调性求参数】 【例1】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的单调性求解即可. 【详解】数列是单调递减数列， 故，即 且，故. 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列是递增数列，，试确定的取值范围． 【答案】或 【分析】解法1：由，可得对均成立，可求得的取值范围．解法2：可得，计算可得的取值范围． 【详解】解法1：因为数列是递增数列，所以， ， 因为， 又，， 所以，解得或． 解法2：因为是递增数列，所以， 即， 化简得， 所以或． 1．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是递增数列，所以，不等式恒成立求解参数的取值范围即可. 【详解】由题可知是递增数列，所以，即， 所以，故．因为，所以． 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二下·陕西铜川·阶段练习）已知递增数列的通项公式为，则的值可能为（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】BCD 【分析】由分离参数，结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】由是递增数列，得对恒成立. 易得， 则， 即对恒成立. 因为函数在上单调递减， 所以. 故选：BCD 3．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意知数列是单调递增数列，则，得对任意恒成立，分离参数得，即求即可. 【详解】由有，所以， 由题知数列是单调递增数列，所以， 即对任意恒成立，所以， 即，当时，的最大值为，即. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式是. (1)若，当为何值时，有最小值？给出结论并求出最小值． (2)对于任意，都有，求实数k的取值范围． 【答案】(1)有最小值，其最小值为 (2) 【分析】（1）结合给定条件得到具体数列，再利用二次函数的性质求解最值即可. （2）利用数列的性质转化为恒成立问题，再分离参数求解参数范围即可. 【详解】（1）当时，， 由二次函数性质得当或时， 有最小值，其最小值为． （2）由于对任意，都有， 即对任意恒成立， 整理得对任意恒成立， 令，由一次函数性质得单调递减， 则的最大值为，因此， 所以实数k的取值范围为． 【经典例题七 判断或写出数列中的项】 【例1】（24-25高二上·河南·期中）已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，其中、，且，两式作差分析可得、为的两个约数，求出、的值，代值计算可得的值. 【详解】设，，其中、，且， 所以，， 因为、，且，则、， 所以，、为的两个约数，显然， 所以，，解得，则，解得. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·江苏·课前预习）已知数列{an}的通项公式，. (1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项； (3)求及. 【答案】(1) (2)不是 (3)， 【分析】（1）将代入直接计算即； （2）由方程解集来即可判断； （3）利用通项公式直接得到及. 【详解】（1）. （2）令， 当为偶数时，，整理得， 解得或，因为且为偶数，所以原方程无解； 当为奇数时，，整理得， 因为，又，所以原方程无解. 综上所述，不是该数列中的项. （3）； . 1．（24-25高三上·安徽黄山·期末）已知数列的通项，若且，使得，则的取值个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】C 【分析】由题意可得为方程的两个不等正整数解，为负整数，结合韦达定理分析求解. 【详解】令，即， 由题意可得为方程的两个不等正整数解， 由韦达定理可得，可知为负整数， 因为， 所以，共个． 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·山东·阶段练习）已知数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BC 【分析】由题知时，；时，；时，，进而根据题意求解即可得答案. 【详解】解：因为的解集为， 所以，对于数列，当时，；时，；时，， 所以，数列的前项和为取得最小值时，或. 故选：BC 3．（24-25高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为 ． 【答案】（答案不唯一，中的一个值） 【分析】记，然后分类讨论、，当以及时可直接根据通项公式的取值正负作出判断，当时，根据的正负作出判断，由此可求解出结果. 【详解】记， 当时，即，显然恒成立，不满足要求； 当时，或， 若，则，所以恒成立，不满足要求； 若，此时，必然满足数列中存在负数项， 由上可知，的可取值的范围是，故可取， 故答案为：（答案不唯一，中的一个值）. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，问： (1)第43项为多少？ (2)是数列的第几项？ 【答案】(1) (2)5724项 【分析】（1）将原数列按适当的方法分群即可求解； （2）结合数列呈现的规律即可求解. 【详解】（1）将原数列按下面的方法分群： 在第个群中有个元素，且第个群中的分母都等于， 则第1个群到第个群共有：个元素， 有，解得，故第43项在第9群中． 又，所以第43项是第9群中的第7个元素，即为． （2）又， 所以是原数列中的第项． 【经典例题八 累加法求数列通项】 【例1】（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【分析】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解. 【详解】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 【答案】 【分析】累加法来求解数列的通项公式，即通过将从到的式子累加，消去中间项，从而得到与的关系，进而求出. 【详解】， ， ， ， … ， 累加得： ， 所以． 1．（2025高三·全国·专题练习）若，则的整数部分是（   ） A．1997 B．1998 C．1999 D．2000 【答案】B 【分析】利用放缩法进行放缩即可求解． 【详解】 ， 又 ， 所以，则的整数部分为， 故选：B． 2．（多选题）（2024·广东肇庆·一模）将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（   ） A．37 B．58 C．67 D．79 【答案】ACD 【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐弯数”为， 不难发现，，，，…， 所以（）， 利用累加法得， 因而， 当时，也符合上式， 所以（）. 代入选项验算可知A，C，D三个选项正确. 故选：ACD. 3．（24-25高二上·河南焦作·阶段练习）在数列中，，，则数列通项公式 . 【答案】 【分析】由累加法求通项即可. 【详解】由，得， 所以，，， ，， 各式相加可得：，已知， . 故答案为：. 4．（2025·浙江绍兴·一模）植树节来临，某学校数学活动小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在处,其中，当时， 其中表示非负实数的整数部分,如，.按此方案，求第2011棵树种植点的坐标. 【答案】. 【分析】利用累加求和可得，同理可得，，代入即可得出． 【详解】∵，，，， 故， 同理由，， 可得：， ∴，， 第 2011 棵树种植点的坐标为． 【经典例题九 累乘法求数列通项】 【例1】（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法计算出答案. 【详解】 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 【答案】． 【分析】利用累乘法来求通项公式，即的关系，逐步化简得出通项公式. 【详解】当时，， ， ， 所以当时，． 经检验，也满足上式， 所以. 1．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 2．（多选题）（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，若存在正整数， 使得等式成立，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令，代入，求出，即可验证A选项，即可求出的通项公式，即可验证B,C选项，再根据通项公式，即可验证D选项， 【详解】解析：时，，而，，∴，故A选项正确 ∴，即 ∴ 故C选项正确，B选项错误 假设存在正整数，使得等式成立 ∴ 化简整理得，令，解得， 取，时，成立，故D选项正确． 故选：ACD 3．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）若数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用递推公式再递推一步，得到一个新的等式，两个等式相减，再利用累乘法可求出数列的通项公式，利用所求的通项公式可以求出的值. 【详解】因为（1）， 所以（2）， 得, ， 所以有， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求解即可； （2）利用累乘法求解即可. 【详解】（1）， ，，，…，． 将以上个等式相加， 得， 即， ，， 而也适合上式，； （2）， ， 则， 又，， 而也适合上式，． 【经典例题十 利用an与sn关系求通项或项】 【例1】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知数列的前n项和，则（   ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】D 【分析】根据公式，即可求解. 【详解】. 故选：D 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前项和为，解决下列问题． (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； (3)若前项和，求其通项公式； (4)已知，求其通项公式． 【答案】(1)． (2) (3) (4) 【分析】由求解即可. 【详解】（1）由数列的前项和的定义可知． （2）当时，；当时，不满足上式． 所以通项公式为 （3）当时，；当时，，不满足上式． 因此通项公式为. （4）由题意知，当时，， 两式相减可得， 则，当时，，不满足上式． 故通项公式为. 1．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】通过赋值，即可求解 【详解】当时，，又，则. 当时，，又， 所以， 解得. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，利用数列通项与前n项和关系求解. 【详解】已知，则， 两式相减得到，故A正确； 根据A选项得到，故B正确； ，故C不正确； 根据，,故D正确. 故选：ABD 3．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】根据与的关系求和当，时的表达式，由此可得结论. 【详解】因为数列的前项和为， 所以， 当，时，， 又，故满足关系， 所以， 故答案为： 4．（2025高二下·全国·专题练习）设数列的前项和为，且，． (1)求； (2)求的通项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前项和与通项公式的关系得到，再结合赋值法求解即可. （2）结合已知结论得到，再利用累乘法求出，最后得到即可. 【详解】（1）由题意得，，则， 显然，则，当时，有， 故，化简得， 即，令，得到. （2）由已知得当时，， 则，且， 当时，， 故（） 当时，也符合上式，故数列的通项为. 【经典例题十一 构造法求数列通项】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式变形得出，可知数列为常数列，即可求得的值. 【详解】因为，所以，即， 所以，故数列为常数列，故， 因此，. 故选：C. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设数列满足，且，求． 【答案】 【分析】根据已知数列的前项和的表达式得到当时，两边同时除以后得到新的数列为常数列从而求解即可. 【详解】当时，， 即， 两边同时除以， 得， 所以数列是常数数列， 所以， 所以． 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式变形得出，结合题意得出，，可知数列为常数列，由此可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的各项为正数，且，， 故当时，， 由题意可知，对任意的，，则，所以，， 则有，所以，数列为常数列， 故，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造常数数列即可解得. 【详解】由题意，，因为， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】推导出数列为常数列，可得出，即得出的值. 【详解】因为数列满足，且， 则，所以， 所以数列为常数列，故， 因此，. 故答案为：. 4．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知数列中，. (1)求； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答. （2）由（1）及已知，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）由题意，得，故为常数列. ，故. （2） 故 【经典例题十二 观察法求数列通项】 【例1】（24-25高二下·江西赣州·期末）数列为，则不能作为通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意逐项验证即可求解. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：C. 【例2】（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3)． (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【详解】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为． 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知数列的前5项为，则的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用观察法可得出数列的通项公式. 【详解】观察数列的前项可知，的通项公式可能为， 因为，故， 若，则，不合乎题意. 故选：ABC. 3．（24-25高二·上海·随堂练习）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝．已知“大衍数列”的前10项分别为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为 ． 【答案】1912 【分析】观察此数列，得到偶数项满足，奇数项满足，从而可求解. 【详解】观察此数列，偶数项为2，8，18，32，50，，可得此时满足， 奇数项为0，4，12，24，40，，可得， 所以，，则， 所以． 故答案为：1912． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式： (1)； (2)； (3)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据分子分母各自的规律即可求解， （3）根据奇偶性，结合即可求解. 【详解】（1）数列的奇数项为负，偶数项为正．把看成，则各项的绝对值的分母依次为可写成， 分子依次为可化为，可写成． 所以数列的一个通项公式为． （2）数列可写成，，所以数列的一个通项公式为． （3）将数列变形为，， 所以数列的一个通项公式为． 【经典例题十三 根据数列递推公式写出数列的项】 【例1】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下5个圆环最少移动的次数为（   ） A．16 B．14 C．7 D．5 【答案】A 【分析】根据题意由并利用递推公式逐项代入计算可得结果. 【详解】依题意由可得， 因此,,. 即解下5个圆环最少移动的次数为16. 故选：A 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足：（m为正整数），若，求m所有可能的取值． 【答案】m所有可能的取值为4，5，32． 【分析】由根据关系式，分情况讨论，分别求出的值即可. 【详解】若为奇数，则，． 若为奇数，则，（舍去），若为偶数，则，． 若为奇数，则，（舍去），若为偶数，则，； 若为偶数，则，． 若为奇数，则，（舍去），若为偶数，则，． 若为奇数，则，，若为偶数，则，． 故m所有可能的取值为4，5，32． 1．（24-25高二下·山东淄博·期末）数列满足，且，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】变形已知条件得：，由递推公式分析可得答案. 【详解】法一：由已知，则，则， 则，归纳可得，所以. 法二：由题可得，，即，所以是常数数列， ，即，所以. 故选：B. 2．（多选题）（2025·海南海口·模拟预测）若数列满足：，已知，则（   ） A．14 B．15 C．17 D．18 【答案】ABD 【分析】本题考查数列的递推关系，由数列的递推式求出数列的前4项，再求和即可． 【详解】解：由题意可知，当为偶数时，；当为奇数时，， 因为，所以，则或， 若，则或， 所以或； 当时，则，所以， 综上所述，的所有可能取值为14，15，18． 故选：ABD． 3．（2025高三·全国·专题练习）数列定义如下：，且当时，，已知，则正整数的值为 . 【答案】520 【分析】由题意可列出分别为偶数和奇数时与1的大小关系，再根据递推公式即可得出的值. 【详解】由题设知，当n为偶数时，； 当为奇数时，. 因为，所以n为偶数. 从而，，则是偶数， 则，则是偶数； 则，则是奇数， 则，则是偶数， 依次可得： ，则是偶数； 则，则是偶数； 则，则是偶数； 则，则是偶数； 则，则是偶数； 则，所以，即. 故答案为：520. 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知数列满足，，我们知道当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：1，2，，…；当时，得到有穷数列：，，0． (1)求当为何值时； (2)设数列满足，，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），故，，， ，，故． （2），故，设， 则，，…， ， 故，， 故只能得到有穷数列. 【经典例题十四 由递推关系式求通项公式】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设为数列的前n项积，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合前n项积的意义求出通项公式. 【详解】数列中，，当时，， 两式相除得，由，得， 则当时，，即，因此， 满足上式，所以. 故选：B 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列满足，，求. 【答案】， 【分析】利用对数运算法则可求得，再利用累乘即可求得. 【详解】因为， 所以，即. 所以， 又也符合上式， 所以，. 1．（2024·广东佛山·一模）记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 【答案】C 【分析】由数列的前项积满足，可求得是等差数列，并求得的通项， 进而得到的通项，再由，即可求得正整数的最小值. 【详解】∵为正项数列的前项积， ， ∴当时，， 时，，又， ∴，即， ∴是首项为3，公差为2的等差数列，且. 由，得 若，则，∴ 所以，正整数的最小值为1001. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】先由分析出数列的奇数项和偶数项均为等比数列，再逐项判断即可. 【详解】解：数列中，，， 所以，即 因为，所以 所以 所以数列的奇数项和偶数项，均为以为公比的等比数列 所以 对A，，故A正确； 对B，由分析知，是等比数列，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对已知数列的递推公式进行变形整理，得到新的递推公式，从而得到数列的奇数项和偶数项均为等比数列. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】先对式子两边同时除以，得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求得结果. 【详解】将两边同时除以，得， ∴，又，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，∴． 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）在数列中， ．求的通项公式. 【答案】 【分析】由①得当时②，①式减②式得，再验证的情况即可. 【详解】因为 ①， 所以当时，②， ①-②得， 所以， 当 时，满足上式， 所以. 【经典例题十五 由递推数列研究数列的有关性质】 【例1】（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】利用斐波那契数列的规律列方程来求得的值. 【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得： ， 则． 故选：C 【例2】（2024高三·全国·专题练习）数列满足，判断数列的周期性. 【答案】周期为2. 【分析】通过递推公式列举出数列的项，进而发现周期，然后再进行证明即可. 【详解】因为，所以，，则猜想该数列的周期为2. 下面进行证明： 根据题意，. 于是数列的周期为2. 1．（24-25高二下·辽宁大连·期中）设，数列满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】ABC选项，注意到，当时，方程有解，则当为方程的根时，则，即可判断选项正误；D选项，结合基本不等式可得，，即可判断选项正误. 【详解】A选项，当时， 故当或时，为常数列， 且或，所以不成立，故A错误； B选项，当时， 故当时，为常数列，且，所以不成立，故B错误； C选项，当时， 故当或时，为常数列， 且或，所以不成立，故C错误； D选项，当时，因为， 所以，又，当且仅当取等号. 故，，故D正确. 故选：D 2．（多选题）（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用，通过分类讨论分析可判断A、B；由得，结合累加法得到，利用此结论推算可判断C、D. 【详解】对于A，当时，，又，，即时，，故，故A正确； 对于B，时，， 当时，， 综上，成立，故B正确； 对于C，由得，，通过累加法得 ，得 则； 所以，故C正确； 对于D，，， 所以， ，故D不正确. 故选：ABC. 3．（2025高二·全国·专题练习）若数列满足，，，则的最大值为 ． 【答案】32 【分析】解方程得到或．要想满足题目要求且取最大值，需满足当时满足，当时满足，从而得到，再根据，得到方程，求出答案． 【详解】由，得或． 要满足，且取最大值，可知当时满足， 当时满足，，， 因为，所以，解得． 要使得最大，则． 故答案为：32 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…． (1)写出数列中，，的递推关系，并求是该数列中的第几项； (2)记是数列的前n项和，证明：为定值． 【答案】(1)，第2026项 (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得递推式，再根据递推即可求解； （2）通过构造数列，可得是常数列即可证明. 【详解】（1）观察数列知，数列从第三项起，每一项是前两项的和，即递推关系为， 则，，， 所以， 所以 ， 即是该数列的第2026项； （2）证明：由（1）知，，所以 所以， 所以数列是常数列，所以，为定值. 【经典例题十六 递推数列的实际应用】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）上一个层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为，则下列猜想正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，其中，且，，从而求出答案. 【详解】A选项，上一个层的台阶，所有不同上法的总数为，那么可以从第个台阶上两层到第层的台阶，也可以从第个台阶上一层到第层的台阶，故，其中， 又，，故D正确. 故选：D． 【例2】（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 1．（2024·陕西安康·模拟预测）生物学家在研究植物的生长过程中，发现某种树苗的生长规律为：树苗在第1年长出一条新枝，新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律生长，则第10年的树枝条数为（    ） A．56 B．55 C．54 D．34 【答案】B 【分析】设第年共有条树枝，结合题意可得，，，计算出即可得. 【详解】设第年共有条树枝，则有，， 第三年开始，新枝变老枝，继续生长， 则当时，， 故有 . 故选：B. 2．（多选题）（24-25高二下·四川成都·阶段练习）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，...，k，规定：同意按“”，不同意（含弃权）按”，令，其中，且，以下说法正确的是（    ） A．若，则第2号同学同意自己作为班干部候选人 B．若，则第1号同学和第3号同学都同意第2号同学当选 C．同意第1号同学当选的人数为 D．同时同意第1，2号同学当选的人数为 【答案】AD 【分析】根据所给关系式判断A、C，由或判断B，分别列出同意第号同学当选和第号同学当选的同学，则同时同意第号与第号当选的人数为它们对应相乘再相加即可，从而判断D. 【详解】对于A：因为， 所以，表示第号同学同意第号同学当选，即第号同学同意自己作为班干部候选人，故A正确； 对于B：若，则或， 若，则表示第号同学同意第号同学当选，第号同学不同意第号同学当选， 若，则表示第号同学不同意第号同学当选，第号同学同意第号同学当选，故B错误； 对于C：同意第号同学当选的人数为，故C错误； 对于D：全班名同学同意第号同学当选的情况为， 全班名同学同意第号同学当选的情况为， 同时同意第号与第号同学当选的情况为， 所以同时同意第号与第号同学当选的人数为，故D正确. 故选：AD 3．（24-25高二下·上海·开学考试）已知数列的各项均为正整数，对于任意正整数，有，其中为使为奇数的正整数.若存在正整数，使得当且为奇数时，恒为常数，则的值为 . 【答案】1或5 【分析】设正整数，且是一个奇数，有（其中是正奇数），由递推公式求解. 【详解】解：根据题意，设正整数，且是一个奇数，则有（其中是正奇数）. 结合题设中的递推公式，有；仍由是奇数，是一个偶数；从而再利用递推公式，有. 由题设中给对于的定义可知，是一个奇数； 另一方面，结合，可知，因而由，整理得. 由是正整数可知是5的正约数，从而有或，即或.当时，；当时，. 综上所述，的值为1或5. 故答案为：1或5. 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知某中学食堂每天供应3 000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A，B两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜)．调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a1＝2 000. （1）请用an，bn表示an＋1与bn＋1； （2）证明：数列{an－2 000}是常数列． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】（1）凡是在这星期一选种菜的，下星期一会有改选种菜；而选种菜的，下星期一会有改选种菜，即可求得，； （2）由，将，代入，整理即可得到，由，故数列是常数列． 【详解】（1）由题意知：，， （2）证明：，且， ， ， ， 又， 数列是常数列． 【拓展训练一 求数列的项】 【例1】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）设，为正整数，，，，，…，，…，已知，则的值为（    ） A．1806 B．2005 C．3612 D．4100 【答案】A 【分析】根据已知条件化简归纳通项公式即可求参. 【详解】, , , 依此类推得出, 所以, 所以. 故选：A. 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，求数列的最大项． 【答案】最大项为． 【分析】法一：用作差法判断数列的单调性，找到最大项； 法二：空前绝后法得到数列的最大项. 【详解】法一：． 当时，；当时，． 因此， 所以数列的最大项为． 法二：设数列的最大项为，则，即，解得， 因为，所以，故数列的最大项为． 1．（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）已知数列的通项公式为，前n项和为．则取得最小值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由得到，即可求解. 【详解】由得， 由得， 所以当或时，， 所以取得最小值时，． 故选：C. 2．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知数列的通项公式为，则（    ） A．， B．，， C．，， D．、，， 【答案】BD 【分析】分析数列的单调性，求出其最大项，逐项判断即可. 【详解】对任意的，， 当且时，，此时，数列单调递增，即； 当时，； 当且时，，此时，数列单调递减， 所以，数列的最大项为或，且当时，，即无最小项，BD对，AC错. 故选：BD. 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则 ． 【答案】 【分析】根据数列和的通项公式找出它们的公共项，进而确定新数列的前几项，从而得到的值. 【详解】数列的奇数项满足， 数列的项形式为，   观察发现，当且仅当为奇数，此时可表示为，   因此，新数列的通项公式为， 计算得. 故答案为：. 4．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 【答案】(1)不是数列中的项 (2)数列中的项都在区间内 【分析】（1）因式分解得，再令，求出，根据是否为正整数即可得解； （2）分离常数求出的范围即可. 【详解】（1）， 由，解得， 又因为，所以不是数列中的项； （2）， 因为，所以，所以， 所以， 所以数列中的项都在区间内. 【拓展训练二 求数列通项的方法】 【例1】（2024高三上·河南·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且．若当且仅当时，取得最小值，且，则符合条件的实数组成的集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由累加法首先得，进一步结合对勾函数性质得，结合即可求解. 【详解】由题意，得， 故当时，．由，，…，， 累加可得，故，当时，该式也成立， 故． 因为当且仅当时，取得最小值，又， 所以由“对勾函数”的单调性可得，即， 解得． 又，所以符合条件的实数组成的集合为， 该集合中的元素个数为5. 故选：C． 【例2】（24-25高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）将等式变形为，并通过累乘法求解数列通项公式； （2）由（1）可知，将放缩，再根据裂项相消法即可证明. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 将上述个式子相乘得， 所以，当时，成立， 故. （2）由（1）得， 所以， 所以， 即. 1．（24-25高二上·福建·期末）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【分析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出. 【详解】由，得， ， . 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，下列说法正确的是（    ） A．此数列的第19项是180 B．此数列的偶数项的通项公式为 C．此数列的项不可能为奇数 D．此数列的前项和为 【答案】ABC 【分析】观察此数列，得到此数列的通项公式，，代入选项计算可判断ABC，特殊值法代入可判断D. 【详解】解：观察此数列： 奇数项为：0，4，12，24，40，…，， 即：，，，，…，； 偶数项为： 2， 8， 18， 32， 50，…，， 即：，，，，，…，； 所以此数列的第19项是，故A正确； 偶数项的通项公式为：，故B正确； 由以上可知，为偶数，也为偶数，故C正确； 观察数列可知，此数列前4项和为，所以D不正确. 故选：ABC 3．（2024高二·全国·专题练习）设为数列的前项和，已知，，则 【答案】 【分析】两边同除，令，则有且，则有，即可得； 【详解】， 令， 则， ∴又，， ∴； 故答案为：； 4．（24-25高二上·全国·课后作业）写出下面数列的一个通项公式： (1)，，，，，…； (2)1，，，，，…； (3)6，66，666，6666，66666，…； (4)2，0，2，0，2，…． 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】(1)根据分子分母的特征分析数列的解析式即可； (2)结合正负交错的数列特征增加符号解析式； (3) 根据9，99，999…的通项公式求解； (4)根据数列1，-1，1，-1，1，…．的通项公式求解即可； 【详解】（1）该数列的分子成公差为2的等差数列，分母成公比为2的等比数列， 则 （2）该数列是正负交错的摆动数列，被开方次数依次递增， 故 （3）9，99，999…的一个通项公式为 则6，66，666…的一个通项公式为 （4）1，-1，1，-1，1，…．的一个通项公式为， 则2，0，2，0，2，…．的一个通项公式为. 【拓展训练三 递推的相关问题】 【例1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（   ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】可根据已知的递推公式，结合数列的前几项，依次计算出数列的后续项，直到找到数值为21的项，从而确定其项数. 【详解】; ; ; ; ; ; 故可知21为数列的第8项， 故选：. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知斐波那契数列．把相邻两项的比值看做一个新的数列，即．证明：当越来越大时，其比值逐渐的趋向于． 【答案】证明见解析 【分析】根据斐波那契数列的通项公式，将相邻两项的比值的数列表示出来，然后可证明结果. 【详解】因为，则 分子分母同除以，得 ． 因为，所以当时，，即， 因此当越来越大时，． 1．（2024·湖南长沙·一模）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用数列的递推式推得，从而推得，由此得解. 【详解】∵，∴当时，， ∴， 故， ∵，∴，， 故， ∴. 故选：C. 2．（多选题）（2024高三下·全国·竞赛）设数列满足：，则可以是（   ） A．212 B．410 C．2293 D．4896 【答案】AC 【分析】根据数列递推式，可推得，对于A,C,分别找出一组符合题意得解即可；对于B,D,可以从34与21 互为质数角度，通过，构造出的形式，从而推得，的形式，由的范围判断值不存在即可. 【详解】因，故 . 对于A，由，因故应该为偶数， 当时，，恰好符合题意，故A正确； 对于B，因，则， 设， 整理得， 因34与21 互为质数，则必存在，满足， 则，， 而，， 故且， 故且，故此时不存在， 故无符合要求的解，即不能取410，故B错误； 对于C，由，因故应该为奇数， 当时，，恰好符合题意，故C正确； 对于D，因，则, 设， 整理得，因34与21 互为质数， 则必存在，满足，， 即， 故且， 所以且， 故且，值不存在， 故无符合要求的解，即不能取4896，故D错误. 故选：AC. 3．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）已知数列满足：①；②对于任意正整数，，都有成立．则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】令，，结合得出，令，，即可得出数列的通项公式． 【详解】令，，则， 因为，所以， 令，则，所以； 令，，则， 所以， 故答案为： 4．（2025·福建福州·模拟预测）记为正整数，的最大公约数，正整数数列满足. (1)求时，求，； (2)当时，求所有满足的正整数； (3)当时，证明：不存在满足的正整数. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题目中最大公约数的定义求解即可， （2）利用引理对于正整数，有.并用数学归纳法证明这个引理，并用这个引理结合题目含义得到对于正整数，.即时，不存在满足的正整数从而得到当且仅当满足. （3）先假设存在正整数满足，利用引理：当时，，并用数学归纳法证明这个引理，并用这个引理得到，所以和或，利用这两种情况得到和进而得到矛盾从而证明出不存在满足的正整数. 【详解】（1）当时，因为 所以，. （2）因为 从而满足题意. 引理1：对于正整数，有. 当时，成立. 假设当时，成立； 当时， 从而当时也成立，即引理1得证. 所以对于正整数，有 回到原题，由引理1知：对于正整数，. 即时，不存在满足的正整数 综上所述，当且仅当满足. （3）当时，. 若，则；若，则. 所以，若存在正整数满足，则 假设存在正整数满足，记，则. 引理2：当时，. 当时，成立；当时，成立. 假设当时，成立； 当时， 从而得到，考虑到的最小性，等号不能成立. 所以，从而当时也成立，即引理2得证. 回到原题，显然是严格递增数列，因为，所以. 由引理2可知：，所以. 类似地，可以得到或 当时， 与矛盾 当时， 与矛盾 综上所述，不存在满足的正整数. 1．（24-25高二下·广东珠海·期中）如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图①，②，③的雪花图形的作法规律，依次求出，即可求得. 【详解】由图知，， ， ， 故. 故选：C. 2．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时的值. 【详解】设，，解得：， 当和时，，所以取得最小值时，. 故选：C 3．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【详解】数列，，，，…， 即数列，，，，…的一个通项公式是． 故选：D. 5．（24-25高三上·山东枣庄·期中）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A．34 B．55 C．89 D．144 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出数列的递推公式，再依次计算求出. 【详解】依题意，（，），，， 所以. 故选：D. 6．（多选题）（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的通项公式，前项和为，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．数列单调递减 D．数列的最小项是 【答案】ABD 【分析】分析可知当时，，当时，，并分析出数列的单调性，可判断ABC选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，当时，，则， 此时数列单调递减， 当时，，则，此时数列单调递减， 故， 故数列最大项为，A对； 对于B选项，由A选项可知，数列最小项为， 故的最大值为，B对； 对于C选项，由A选项可知，数列不单调，C错； 对于D选项，令，可得， 所以当时，，故数列的最小项是，D对. 故选：ABD. 7．（多选题）（24-25高二下·广东佛山·期末）已知数列的前n项和为，，则（   ） A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 【答案】BD 【分析】利用特殊值法可判断A选项；分析数列的单调性，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，，则，故数列不单调，A错； 对于B选项，， 当且时，且数列单调递减， 当且时，且数列单调递减， 故当且仅当时，取得最小值，B对； 对于C选项，由可得或， 故当时，，故数列单调递增，C错； 对于D选项，由可得， 故当时，；当时，， 所以，当且仅当时，取得最小值，D对. 故选：BD. 8．（多选题）（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）记为正项数列的前项和，且，则（    ） A． B． C．数列单调递增 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A,B，直接代入即可计算；对于选项C,D，可根据进行化简判断. 【详解】对于选项A： ，化简得：. 所以，选项A正确； 对于选项B： ，化简得：. 因为，数列为正向数列，所以. 所以，故B错误； 对于选项CD： . ， 所以，化简， 若，则，即或， 则或（舍去）， 因为，所以，所以，， 所以为递增数列，所以， 所以， 所以，CD正确. 故选：ACD. 9．（多选题）（24-25高二下·四川资阳·期中）已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（    ） A． B．数列为周期数列 C． D．数列为递增数列 【答案】AD 【分析】根据递推关系求得数列的通项公式，从而对选项逐一判断即可． 【详解】由，得，即， 又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 所以，故A正确，C错误； 对于D，因为，所以为递增数列，故D正确； 对于B，，数列不具有周期性，故B错误． 故选：AD． 10．（多选题）（24-25高二下·广东肇庆·期末）自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】由题意（）从而可得，即，，可求得即可对A判断；由，依次两两结合相加可得可对B判断；由，，依次两两结合相加可得可对C判断；由题意可得，再将的各项依次展开，即可对D判断. 【详解】A：， ， ，A错误. B：，B正确. C： ，C正确. D：，， 即 ，，，D正确. 故选：BCD. 11．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的前项和为 . 【答案】 【分析】求出数列的前项，可知数列是以为周期的周期数列，推导出数列是以为周期的周期数列，结合数列的周期性可求得的前项和. 【详解】已知，， 则，，，， 由此可知数列是以为周期的周期数列，即， 又，则，， ，，， 猜想数列是以为周期的周期数列， 因为， 所以数列是以为周期的周期数列，则一个周期内三项的和为， 又，所以的前项和为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于 ． 【答案】682 【分析】分别求出数列和的通项，再把它们的公共项求出来即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，满足上式，所以， 同理可求得， 设的第项与的第项相等，则，即，， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 故数列的前5项和等于． 故答案为： 13．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】化简递推关系可得，证明数列为常数数列，由此可求结论. 【详解】由，可得， 所以， 所以数列为常数数列，又， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14．（2025高二·全国·专题练习）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智玩具，它的九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为 ． 【答案】 【分析】即求，利用递推公式，代入数值即可求得答案. 【详解】由可得，，，． 故所求最少移动次数为16． 故答案为：. 15．（24-25高二下·江苏·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为.利用下图所揭示的的性质，则在等式中， . 【答案】2020 【分析】由题意可得，再结合累加法即可求解 【详解】由题意，， 所以， ， 。 ， 所以， 所以， 所以， 所以， 由， 所以， 所以， 故答案为： 16．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知等差数列，的通项公式分别为，，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，…，，…. (1)求，，，； (2)求证：在数列中，但不在数列中的项恰为，，，…，，…； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由数列的递推公式，分别写出数列的前四项，结合题意，可得答案； （2）由题意建立数列中的奇数项与数列中项的等式方程，可得答案； （3）由（2）将数列分为奇数项与偶数项两个子数列，将数列分为等距的个子数列，由题意，可得答案. 【详解】（1）由，可得，，，， 由，可得，，，， 由题可得，，， （2）因为数列是由数列和的项构成，所以只需讨论数列的项是否是数列的项即可. 设，， 所以，即，所以是中的项； 假设，所以， 所以不是的项. 综上所述，在数列中，但不在数列中的项恰为，，…，，…. （3）由（2）知，， ，， 又，， 所以依次可得，，，，， 所以. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求证：； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推公式，判断出数列为单调减数列，和数列所有项均为正数，得出的范围，再根据递推公式，计算出结果即可. （2）根据递推公式和累加法，求出的递推公式，根据数列的范围，使用放缩法可得的范围，进而证明不等式. 【详解】（1）由题意得，即，故． 由得， 由得， 所以成立． （2）由，得， 累加得， 由和，得， 由，所以， 因为，所以， 因此，得， 可知，即， 所以. 18．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 【答案】(1)；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知递推公式得出是常数列，再计算化简证明； （2）根据单调性结合累加法计算证明即可. 【详解】（1）因为数列满足， 所以,， 所以， 所以是常数列，所以， 所以； （2）因为，所以,所以， 因为都大于零，所以可逐步推出, 所以,所以是单调递增数列， 所以， 所以,, 即， 以上个式子累加计算得，所以， 所以,, 所以，所以. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求证： (1)，； (2)，且. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题中的递推公式结合数学归纳法即可证明； （2）由，可得，故，故原命题即证明，.由及（1）中结论即可证明. 【详解】（1）当时，，显然满足不等式； 假设当时，不等式成立，即成立， 则当时，则，且， 即成立， 综上，，. （2）因为，所以， 所以. 所以，原命题即证明，. 事实上由（1）知，所以. 所以原命题得证. 20．（2025高三·全国·专题练习）（1）学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连续出现正面的可能情形有多少种？ （2）用1，2，3，4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以组成多少个不同的6位数？ 【答案】（1）144；（2）3105 【分析】（1）设甲投掷次，不连续出现正面的可能情形有种，讨论最后一次正面或反面，得到，正好构成了斐波那契数列，由此可求解. （2）设用1，2，3，4四个数字组成符合条件的一个位数，有种方法，讨论若末位是1或2，3，4，得到，由此递推公式求得第6项. 【详解】（1）设甲投掷次，不连续出现正面的可能情形有种，考虑最后一次投掷：若最后一次呈现反面，则前次有种方法；若最后一次呈现正面，则倒数第二次必是反面，前次有种不同的方法.由加法原理得：，易知其初值，， 则 ∴甲投掷次，不连续出现正面的可能情形有种. （2）设用1，2，3，4四个数字组成符合条件的一个位数，有种方法. 若末位是1，则倒数第二位只能是2，3或4，符合条件的有个； 若末位是2，3或4，则符合条件的有个； 由加法原理得：，又 ∴ 故用1，2，3，4四个数字可以组成符合条件的不同的6位数有3105个. 学科网（北京）股份有限公司 $