专项训练卷(四) 数学文化与跨学科-【优+密卷】2025-2026学年七年级上册数学（北师大版·新教材）

可以组成第n个图案，n的值为2024. 而1+2十3十…十16=136,1十2十3十…十157.解：因为a是最小的正整数，所以a=1.因为b是 11,解：(1)设小长方形的长为xcm,则宽为(5 专项训练卷（四）数学文化与跨学科 =120, 绝对值最小的有理数，所以b一0.因为c在数轴上 2)cm. 1.解：设x人共同出资买单，根据题意，得5x十45= 所以可以看作是120,136这两个相邻的“三角形 对应的点到原点的距离是6，所以c=士6. 由题意得x+3(5一x)=9, 7x+3,解得x=21,所以5x+45=5×21+45= 数”的和 当c=6时，a-b十=1-0十6=7： 解得x-3,5一3=2(cm), 150(元). 5.解：由题图可知，向右发散的都是真分数，规律是 当c=-6时，a-b十c=1-0-6=-5. 答：小长方形的长为3cm,宽为2cm 答：21人共同出资买单，羊价是150元. 。一十6，向左发散的都是假分数，规律是与 8.解：(1)-64 (2)阴影部分图形的总面积为：5×9一5×3×2= 2.解：(1)(-7)+1+9-3. (2)设点C表示的数为c,因为点C到点B的距离 15(cm). 答：中间行三个数字的和是3. 是点C到原点的距离的3倍， 12.解：(1)因为AB=16,点M是AB的中点， a (2)由(1)得-5+9+m=3,解得m=一1：m十 所以|c-4|=3c|,所以c-4=3c或c-4=-3c, 所以AM-2AB=8. 11 1十m=3,即粒十1一1=3，解得n=3. 解得e=一2或c=1,即点C的对应的数为一2 因为MN=3, 所以m=一1，#=3. 所以在第7层. 或1， 所以AN=5, 3.解：(1)a'+4a'b+6a2b2+4ab3+b (3)设运动时间为t秒，则AM=t,NO=4+2:,因 因为点N是AC的中点， (2)82解析：利用“杨辉三角”我“贾宪三角”得 由题图知，第7层共有64个数，品在的右支上， 为点P是NO的中点，所以PO=2+t,所以PO 所以AC=2AN=10. 如下规律： AM=2十t一t=2,即线段PO-AM的值为2. (2)由(1)可知：AM=BM=8, a+b共2项，所有项系数的和为1十1=2=21， 所以品在第7层从左往右数第64÷2+2=34 9.解：(1)30 因为AB=16,AC=7CB (a十b)2共3项，所有项系数的和为1十2十1 (个)数， (2)①设点C所对应的数为x,则AC=x十20， 所以BC=2,AC=14. 4=22: 所以m=7,n=34. BC=80-x, 设P,Q第一次相进时间为t秒， (a十b)3共4项，所有项系数的和为1+3+3+1= 6.解：(1)2.5 所以31+t=16,1=4, 8=2: (2e- 由题意，利0_0子，解得=40 3 所以t=4, +++ 答：点C在数轴上所对应的数为40 此时点Q在点C左侧，距离为2. (3)秤盘的质量为500×1÷5=100(g), 故(a+b)”共(n十1)项，所有项原数的和为2°， ②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒. 设P,Q又经过m秒第二次相遇 设放入重物的质量为yg, 故(a十b)共8项，所有项系数的和为2 (I)当相遇前相距15个单位长度时，则31+21= 所以m十4=3m, 根据题意，得5(100+y)=500×20, (3)由题意可知2-5×2+10×2-10×22+5× 80-(一20)一15，解得t-17, 所以m=2, 解得x=1900.， 2-1=2+5×(-1)×2+10×(-1)×2*+ (Ⅱ)当相遇后相距15个单位长度时，则3十2： 所以点P,Q在第二次相遇时一共走了6秒 答：放入重物的质量为1900g 10×(-1)3×22+5×(-1)'×2+(-1), 80-(-20)+15,得t=23. 所以与点M的距离为8一4一2=2. 7.解：1)设奉节到宜昌的水上距离为x千米，根据 故可取a=2,b=-1,即原式=[2十（一1）门=1. 答：当两只电子蚂蚊运动17秒或23秒时，两只电 13.解：(1)设AB=xcm,根据题意得(x一5)一 (4)星期六解析：由6=(7-1)°=7-a×7+ 意得片-30-1，解得：=210 子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度】 3 10 bX7-c×73+d×7-eX7+1(a,b,c,d,e都 10解：原式=-9+=-9 15 3,解得x=12. 答：泰节到宜昌的水上距离为210千米 答：线段AB的长为12cm. 是整数)， 5 得6除以7余1， ②不能理由：0020-15+1=96小· 11.解：(1)原式■-6-8=-14. 10 (2)存在，由题意，得5一3=1，解得t= ,故的 故今天是星期五，过了6天后是星期六 因为29>24， (2②)原式=4+9-2-122 值是 4.解：（D1+2+3+4=1+)x4=10 所以李白不能在一日之内从白帝城到达江陵， 12.解：(1)我喜欢张明的解法，因为比较简便。 2 易错专项训练卷（一）有理数 ,故点M与 5 (3)由题意，得3t=1十5，解得t= (2)与第八个点阵相对应的等式：1+2十3+…+ 及其运算中易错题常见类型 (2)原式的倒数-(？日+)÷(】 8=1+8)×8 2 36 点N重合时（未到达点B),t的值为 5 1.B2.C3.D4.C =(保+)×（←） (3)10+15=5 (4)当点M追上点N前相距2cm,由题意，得 5.(1)1(2)-1(3)0(4)非负数 (4)与第n个点阵相对应的等式： =子×(-）-居×()+品×(g) 3十2=1十5，解得4=多：当追上后相距2cm,由 1+n-1)(m-1D+1+n)Xm=n2. 6.解：(1)正数集合：7,12,0.62,180，…}： 2 2 题意得3弘-2=1十5，解得4=子，当点M到达终 (2)整数集合：{-1,12,0，-15,180，…}： =-2+1-号 (5)256是“正方形数”，可以看作是120,136这两 点，点N距离点M2cm,此时t=5. 个相邻的“三角形数”的和 （3)分数集合号-801a62,-8-15%,… 综上所述，t= 3 7 因为256=162， 或t-2或t=5 所以256是“正方形数”， (4)非负数集合：712,0.0.62,180，…} 则原式一优密卷七年级上册数学·B 3.(深圳福田区期中)在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著4.（河源龙川开学）古代数学家把1,3,6,10…这样的数称为 专项训练卷（四） 的《详解九章算术》(1261年)一书中，用如图所示的三角形 “三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.观 数学文化与跨学科 解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发 察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律】 现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他 (1)下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观 之前北宋数学家贾宪(1050年左右)也用过这种方法，因此 察，并在④后面的横线上写出相应的等式： 专项一数学文化 我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.此图揭示 1.自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行 了(a十b)"(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有 商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪.中国 关规律： 古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算 ①1=1，②1+2=1+2)×2=3，③1+2+3=1+30X3- 2 2 术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足 …(a十b)1=a十b 6,④ 1 1 四十五：人出七，不足三.问人数、羊价各儿何？”题意是：若 (2)通过猜想，写出(1)中与第八个点阵相对应的等式 干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元：每人出7元，则 12 1 …(a+b)2=a2+2ab+b (3)从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可 还差3元，求人数和羊价各是多少 1331 …(a+b)'=a'+3a2b+3ab2+b 以看作两个相邻“三角形数”之和.结合(1)观察下列点阵 14()(）1…(a+b)'=a'+4a'b+6a2b2 图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式. (1)补充完整(a+b)的展开式，(a十b)= ::888 (2)(a+b)的展开式中共有 项，所有项的系数和 甜 为 t… (3)利用上面的规律计算：25-5×2+10×2一10×23+ ①1=1，②1+3=22，③3十6=32，①6十10=42， ⑤ 5×2-1. (4)通过猜想，写出(3)中与第n个点阵相对应的等式 (4)今天是显期五，过了6天后是星期几？（直接写答案） 0 (5)判断256是不是“正方形数”，如果不是，说明理由：如果 是，256可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？ 2.(邮郸邯山区一模)幻方是一个古老的数学问题，我国古代 的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图.如图所示 的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之 线 和都相等. (1)请求出中间行三个数字的和. (2)九宫图中m,n的值分别是多少？ -719 39 5.十九世纪的时候，某数学家发明了“一棵树”，称之为有理数专项二跨学科 续表 树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列，从6.（泉州永春期中）【综合实践】学习了一元一次方程后，老师 (2)如图②所示，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂 1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是二和 在综合实践课上给同学们布置了“如何自已动手做一杆秤” 龙个重物，并使左右平衡.设木杆长为Lcm,支点到木 任务二 的实践活动，下面是同学们对本次活动的设计方案。 杆左边挂重物处的距离为xcm,把，l作为已知数， 第三层是号，号昌日…按照这个规律，者位于第 列出关于x的一元一次方程 实践活动 如何自己动手做一杆秤 任务三 (3)根据素材二，判断放入重物的质量， m层第n个数（从左往右数），求m和n的值 如图①所示，用一根质地均匀的30cm的木杆和一些 等质量的小物体做下列试验，并记录每一次支点到木 杆左右两边挂重物的距离： 4 ①在木杆中间15cm处拴绳作为支点，将木杆吊起来 并使左右平衡， ②在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡： ③在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重 物一起向右移动，直至左右平衡： ④在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作并记录 如下 7.(北京丰台区一模)小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中 木杆左边支点到木杆 支点到术 “朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白 木杆右端挂 挂重物 左边挂重物 杆右端挂重 真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？如图所示，小刚经 素材一 重物个数 个数 的距离 物的距离 过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今 1 15 cm 15 cm 的湖北荆州.假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约 2 7.5cm 1 15 cm 为14km/h,从宜昌到荆州的速度约为10km/h.从奉节到 3 5 cm 1 15 cm 荆州的水上距离约为350km.经过分析资料，小刚发现从奉 节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1h. 1 15 cm 根据小刚的假设，回答下列问题： 1 15 cm 坠司水 早发白城 5.cm ·套白 朝辞白帝彩云间 枝江 30m P州 轻舟已过万重山 ① 2 (1)奉节到宜昌的水上距离是多少千米？ 同学们根据这个原理自制了一个 (2)李白能在一日(24h)之内从白帝城到达江陵吗？说明 杆秤，如图③所示，提钮处O是支 理由. 点，已知OA为5cm,秤砣质量是 素材二 500g,不放重物时，秤砣放在C处 时秤杆平衡，此时OC=1cm,放 人重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时OB=20cm 间题解决 (1)根据素材一试验记录数据的规律，在右端重物个数 任务一 不变的情况下，若木杆左边悬挂6个重物时，左边重物 到支点距离为 cm. 40