海南省文昌中学2025-2026学年高二上学期11月段考数学试题

2025—2026学年度第一学期高二段考答案 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C A B A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】 （1）由椭圆的右顶点可得，又，所以， …………2分 所以， …………3分 所以椭圆的方程为 …………4分 （2）因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为 …………6分 由 得， …………8分 设，则， ………10分 由弦长公式得.13分 16．【详解】 （1）取的中点，连接 ……1分 则 ……2分 而底面为矩形，是的中点， 所以 ……3分 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， …………5分 又平面，而不在平面内， …………6分 所以平面 …………7分 （2）因为平面，四边形为矩形， 所以以为原点，以所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示. …8分 则, . ……9分 所以. 设平面的一个法向量为， 则 ， …………10分 令，则. 所以平面的一个法向量为， …………12分 所以 ………14分 所以直线PB与平面所成角的正弦值为. ………15分 17.【详解】 （1）设“甲成功解密份文件”（）； “乙成功解密份文件”（） …………1分 由题知， …………5分 解得：， …………6分 （2）由（1）知：， …………8分 设“甲乙两人两次一共解开密码至多2次”，则 两两互斥，与与，与分别相互独立， …………10分 ，， …13分 所以 …………14分 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率为． ……15分 18.【详解】 （1）由为等边三角形，为的中点，可知， …………1分 又因为平面平面，平面平面，平面 所以平面， …………3分 又平面，则． …………4分 （2）取的中点，连接，因为， 则， …………5分 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ……6分 又，，则，……7分 所以， …………8分 设平面的法向量 因为， 由 ，得到 ， 令， 所以， ……10分 易知平面的一个法向量为， …………11分 则， …………12分 所以平面和平面夹角的余弦值为． …………13分 （3）因为，设直线与平面所成角为， ， …………15分 整理得到，即， 解得，满足题意，所以. …………17分 19.【详解】 （1）根据题意，点到、距离之和为， …………1分 所以，设点， 则到、距离之和为且大于与距离， 所以，根据椭圆的定义得， 曲线表示以、为焦点，长轴长为的椭圆. …………2分 所以，中，， 即， …………3分 所以，曲线的方程为. …………4分 （2）由题知椭圆右焦点为，设直线方程：， …………5分 设 联立 ，消得： …………6分 由韦达定理： …………7分 又，, 所以，， …………8分 要证，即证, …………9分 即证， 即证， …………10分 即证， 又根据韦达定理：，得证.……11分 （3）如图： 在中，因为，G是中点，所以是中点， 由（2）同理可得，所以四边形是平行四边形， 且G是中点，所以是中点，连接， 易知 所以, …………12分 由（2）得：， 令椭圆的右焦点为，则 . 即 …………13分 计算 所以， …………14分 （令）化简得： ， 由于对勾函数单调递增 所以，则：， …………16分 故：. …………17分 高二数学段考题参考答案 第3页 （共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高二段考试题 数 学 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．两条平行直线和间的距离为，则分别为（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆的方程为，直线与圆相交于M、N两点且，则的值为（    ） A． B． C． D．10 7．已知圆：（，为常数）与：.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 8．已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方 为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 9．已知直线和圆，则（    ） A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为4 10．从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中不放回地依次随机摸出2个球，A表示事件“恰有1个白球”， B表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，则下列结论正确的是（    ） A．事件A，B互为对立事件 B． C． D．事件，为相互独立事件 11．椭圆:的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为8 C．过点（1,1）的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为和 D．的最小值为 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若抛物线上的点P的横坐标为3，则点P到焦点的距离是 ． 13．以双曲线 的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 ． 14．已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知椭圆的离心率为是椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点，求. 16．（本小题满分15分） 已知四棱锥，PA⊥平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． （1）求证：平面PAB； （2）求直线PB与平面所成角的正弦值. 17．（本小题满分15分） 为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比 赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．已知：甲成功解密一份文件的概率为，乙成功解密两份文件的概率为. （1）求的值； （2）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率． 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面EFCB，，为的中点． （1）求证：； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）若直线与平面所成的角的正弦值为， 求实数的值． 19．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，满足到、距离之和为定值的点的轨迹为曲线，且点在曲线上.过点且不平行于x轴的直线与曲线交于点A、B，AB的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C、D，l与x轴的交点为E. （1）求的方程； （2）证明：； （3）记CG与AE的交点为M，DG与BE的交点为N，求四边形MGNE面积的最大值. 试卷第1页，共3页 高二数学 第4页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $