2026年高考数学一轮复习检测卷（全国二卷01）（高效培优）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

2026年高考数学一轮复习检测卷 （全国二卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合,则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足：,则（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率为,则其渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 4．已知变量y与x的一组数据如表所示,根据数据得到y关于x的经验回归方程为． x 2 3 4 5 y 若,则（   ） A．6.8 B．7.8 C．8.8 D．9.8 5．已知函数,若且函数的最小正周期满足,则（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量,,,若,则（   ） A． B． C． D． 7．有四个半径为的小球,球,球,球放置在水平桌面上,第四个小球放在这三个小球的上方,且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球,与这四个小球均外切.则球的半径为（   ） A． B． C． D． 8．已知,若,,则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9．智慧农业又称数字农业或信息农业,通过利用人工智能､机器学习､物联网等技术使农业更加智能化,推动了农业生产变革,同时也促进了高校毕业生等青年的就业.某智慧农场计划招聘一批员工,为了制定更为合理的招聘策略,统计了现有的名员工的年龄（岁）的情况,并制作了如图所示的频率分布直方图,若同一组中的数据用该组区间的中间值代表,则下列结论正确的是（    ） A． B．这名员工的年龄的众数的估计值为 C．这名员工的年龄的中位数的估计值为 D．从这名员工中年龄在内的频率为0.25 10．在中,内角,,所对的边分别为,,,如下判断正确的是（   ） A．若,则 B．若,则为等腰三角形 C．若,则为锐角三角形 D．若满足条件,的有两个,则的取值范围为 11．已知抛物线,点、、为抛物线上三点,且的重心为抛物线的焦点,记直线的斜率分别为.若,则（    ） A． B．的三个顶点到轴的距离之和为3 C．若点坐标为,则 D．当点的横坐标为4时, 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．函数的定义域为 . 13．已知等比数列的前项和为,记,则的最小值为 . 14．在计算机科学中,闵氏距离是机器学习算法的基础,常用于测量数据点之间的相似性或差异性．设两组数据分别为和,则这两组数据间的闵氏距离为,其中表示阶数．若,,,则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（13分） 记等差数列的前项和为,已知,且． (1)求和； (2)设,求数列前项和． 16．（15分） 在四棱锥中,底面为矩形,平面,,是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 17．（15分） 已知函数． (1)当时,求证：； (2)当时,求证：． 18．（17分） 已知椭圆,点,,在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程． (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M,N两点． （ⅰ）若O为原点,求面积的最大值； （ⅱ）点,设点Q是线段MN上异于M,N的一点,直线QA,QM的斜率分别为,,且,求的值． 19．（17分） 伯努利-欧拉的装错信封问题是一个十分有趣的数学问题．现有共个元素及共个位置,的对应位置为,定义错排数为将共个元素排列在共个位置上,其中有个元素不在其对应位置上的情况数,例如．另外,规定． (1)计算：； (2)在概率论中常使用协方差来衡量两个离散型随机变量之间的总体偏差,定义协方差为．当时,记错排的元素个数为,正确排列的元素个数为,求证：； (3)定义错排概率为随机将共个元素排列在,共个位置上,其中恰有个元素不在其对应位置上的概率,证明：． 1 / 3学 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习检测卷 （全国二卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,∴,故选B． 2．若复数满足：,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数,则, 故.故选B. 3．双曲线的离心率为,则其渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设,所以渐近线为.故选A. 4．已知变量y与x的一组数据如表所示,根据数据得到y关于x的经验回归方程为． x 2 3 4 5 y 若,则（   ） A．6.8 B．7.8 C．8.8 D．9.8 【答案】D 【解析】由题意可得 x 2 3 4 5 2 3 5 6 由表中数据可得,,故点在上,故,故,则, 当时,即,则,解得,故选D. 5．已知函数,若且函数的最小正周期满足,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,为函数的最大值或最小值. ,,解得.又函数的最小正周期满足,且, ,解得,当时,满足题意,.故选B. 6．已知平面向量,,,若,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由,,得,,因为,所以,则,因为,,, 因为,,,所以, 与不平行,由已知不一定为,与不一定垂直,故选B. 7．有四个半径为的小球,球,球,球放置在水平桌面上,第四个小球放在这三个小球的上方,且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球,与这四个小球均外切.则球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接四个球的球心可以得到一个棱长为的正四面体,根据正四面体的外接球的半径公式得到半径,因为小球与这四个小球均外切,则所求的小球的半径为,故选C. 8．已知,若,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,则,由 ,所以 ,则,由,所以 ,所以,所以,则.故选C. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9．智慧农业又称数字农业或信息农业,通过利用人工智能､机器学习､物联网等技术使农业更加智能化,推动了农业生产变革,同时也促进了高校毕业生等青年的就业.某智慧农场计划招聘一批员工,为了制定更为合理的招聘策略,统计了现有的名员工的年龄（岁）的情况,并制作了如图所示的频率分布直方图,若同一组中的数据用该组区间的中间值代表,则下列结论正确的是（    ） A． B．这名员工的年龄的众数的估计值为 C．这名员工的年龄的中位数的估计值为 D．从这名员工中年龄在内的频率为0.25 【答案】AC 【解析】根据频率分布直方图的性质：所有矩形的面积之和为1（即频率之和为1）,已知组距为,则,即,解得,A正确；频率分布直方图中,众数是最高矩形对应的区间的中点值,在频率分布直方图中,对应的矩形最高,所以众数的估计值为,B错误；设中位数为,中位数左边和右边的频率分布直方图的面积相等,都为,前两个矩形的面积和为,对应的矩形面积为,因为,所以中位数在内,则,,解得：,所以这名员工的年龄的中位数的估计值为,C正确；年龄在内的频率为,D错误.故选AC. 10．在中,内角,,所对的边分别为,,,如下判断正确的是（   ） A．若,则 B．若,则为等腰三角形 C．若,则为锐角三角形 D．若满足条件,的有两个,则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于A,若为直角三角形,,则,故A错误； 对于B,由和正弦定理,,即,因,则,即,故B正确；对于C,因的内角只能为锐角、直角或钝角,由可知,在符号上只能是三正或者两负一正,而三角形中最多只有一个钝角,故三者只能是三正,即都是锐角,故C正确；对于D,由满足条件,的有两个,可知,即,故D正确.故选BCD. 11．已知抛物线,点、、为抛物线上三点,且的重心为抛物线的焦点,记直线的斜率分别为.若,则（    ） A． B．的三个顶点到轴的距离之和为3 C．若点坐标为,则 D．当点的横坐标为4时, 【答案】ACD 【解析】A选项,设,显然,,, 的重心为,故,, 故,, 由焦半径公式可得,,,故, 又,则,解得或0（舍去）,A正确；,故 的三个顶点到轴的距离之和为6,B错误；抛物线方程为,故, 故,同理可得,, 所以,C正确；因为,点的横坐标为4,所以,又,故,所以, 平方可得,故, 故,且, 所以,D正确. 故选ACD.      第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．函数的定义域为 . 【答案】或 【解析】由,可得或,所以函数定义域为或. 13．已知等比数列的前项和为,记,则的最小值为 . 【答案】 【解析】,,则, 又符合上式,故,则 ,当或时,取最小值,故的最小值为. 14．在计算机科学中,闵氏距离是机器学习算法的基础,常用于测量数据点之间的相似性或差异性．设两组数据分别为和,则这两组数据间的闵氏距离为,其中表示阶数．若,,,则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由已知可得,所以可看作平面上的动点与动点之间的距离．设,,则点在曲线上,点在直线上． 设曲线斜率为1的切线对应的切点为,则,所以,,则切线方程为．直线与间的距离为,所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15．（13分） 记等差数列的前项和为,已知,且． (1)求和； (2)设,求数列前项和． 【解析】（1）设的公差为,因为,所以,（1分） 又,所以,解得,（3分） 所以,（5分） ．（7分） （2）,（10分） 所以 ．（13分） 16．（15分） 在四棱锥中,底面为矩形,平面,,是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）由题设,（1分） 平面,平面,（3分） 则平面.（15分） （2）    构建如图示的空间直角坐标系,则,（7分） 所以,则,（9分） 若平面的一个法向量为,则, 取,则,又平面的一个法向量为,（12分） 由图可知二面角为锐角,（13分） 所以二面角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 已知函数． (1)当时,求证：； (2)当时,求证：． 【解析】（1）当时,, 令,,（1分） 由,得,由,得, 所以在上单调递增,在上单调递减,最大值为, 所以,即；（4分） 令,, 由,得,由,得, 所以在上单调递减,在上单调递增,最小值为, 所以,即,（7分） 综上得.（8分） （2）当时,, 要证明,只需证明, 故只需证明.（9分） . 因为函数和函数在上单调递增,所以在上单调递增. ,（11分） 所以必定存在唯一一个零点,且, 所以在上单调递减,在上单调递增, 所以. 由,得,,（13分） 所以, 所以. 所以,当时,.（15分） 18．（17分） 已知椭圆,点,,在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程． (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M,N两点． （ⅰ）若O为原点,求面积的最大值； （ⅱ）点,设点Q是线段MN上异于M,N的一点,直线QA,QM的斜率分别为,,且,求的值． 【解析】（1）点,,在椭圆C上, 则有,（2分） 所以,椭圆C的方程为.（4分） （2）（ⅰ）设直线l的方程为,点,, 由消去x得：, 则,,则或,（6分） 所以, 所以面积,（8分） 令,则,, 当且仅当,即时,面积的最大值为1. （10分） (ii)因为,所以直线QA,QM的倾斜角互补,所以, 所以点Q在线段AD的垂直平分线上,所以,（11分） 所以, 同理得,,,（13分） 所以, 因为,（15分） 所以, 所以的值为1. （17分） 19．（17分） 伯努利-欧拉的装错信封问题是一个十分有趣的数学问题．现有共个元素及共个位置,的对应位置为,定义错排数为将共个元素排列在共个位置上,其中有个元素不在其对应位置上的情况数,例如．另外,规定． (1)计算：； (2)在概率论中常使用协方差来衡量两个离散型随机变量之间的总体偏差,定义协方差为．当时,记错排的元素个数为,正确排列的元素个数为,求证：； (3)定义错排概率为随机将共个元素排列在,共个位置上,其中恰有个元素不在其对应位置上的概率,证明：． 【解析】（1）可以排在上,有种排法, 当的位置确定后,剩下两个元素只有1种排法． 所以．（1分） 可以排在上,有种排法． 不妨设排在上,接下来讨论． 当排在上时,剩下两个元素的排法有（种）． 当不排在上时,可以排在上,有种情况． 若排在上,剩下两个元素只有1种排法． 所以．（4分） （2）易知当时,的所有可能取值为0,2,3,4． , ,（7分） 所以的分布列为： 0 2 3 4 所以, 于是,（9分） 则 , 由的分布列可得随机变量的分布列为： 0 于是,得证．（11分） （3）根据定义,, 先从个元素中选出个元素,再对它们进行排列,并使它们均不排在对应位置上, 所以,所以．（13分） 不妨记,则,且, 得, 则,又, 故是以1为首项,为公比的等比数列, 所以, 变形得,（15分） 则当时,, 将上式累加得, 经检验也符合上式,所以, 所以,得证．（17分） 1 / 3学 学科网（北京）股份有限公司 $