重难点专训01 集合中的含参问题及新定义问题（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训01 集合中的含参问题及新定义问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：根据元素与集合的关系求参数 2 题型二：利用集合间的关系求参数 2 题型三：交、并、补运算求参数 2 题型四：定义新概念 3 题型五：定义新运算 4 题型六：定义新性质 5 重难专题分层过关练 6 巩固过关 8 创新提升 10 根据元素与集合关系求参数： 首先依据 “元素属于集合” 的条件，结合集合元素的确定性，列出关于参数的方程或不等式，解出参数的所有可能取值； 接着根据集合元素的互异性，检验这些取值是否会使集合中出现重复元素，若有则排除；过程中若参数对应不同元素归属情况，需用分类讨论思想逐一分析，确保不遗漏每种可能性，最终得到符合条件的参数值。 利用集合间关系求参数： 若集合是连续数集，先将集合表示在数轴上，根据包含关系（如子集、真子集）确定区间端点的不等关系，注意端点处是实点还是虚点，避免漏判； 若集合是不连续数集，依据包含关系的定义，列出元素对应等式，同时运用分类讨论思想，考虑空集、集合相等或部分包含等情况，排除矛盾解，最终得到符合条件的参数值。 交、并、补运算求参数： 通常借助数轴直观呈现集合范围，结合运算性质建立不等关系。 需特别注意空集情况，若涉及集合间包含、相交等关系，要考虑空集是否符合条件，避免遗漏。同时，关注不等式等号的取值：在补集运算中，需判断原集合端点的等号能否传递到补集，且始终牢记补集是全集的子集，确保运算结果在全集中，最后通过验证确定参数的最终范围。 集合新定义问题： 核心是紧扣新定义本质：先逐句分析新定义的规则、限制条件（如元素构成、运算方式、特殊规定），明确其具体含义，避免因理解偏差出错，这是解题的基础。 若定义较抽象，可通过举简单例子（如用具体数字、集合代入定义），将抽象规则转化为直观应用，帮助快速把握定义核心逻辑。 同时要善用集合基本性质（如元素的确定性、互异性、无序性，或集合间的包含、交并补关系），结合新定义规则推导，确保解题过程既符合新定义要求，又不违背集合基本规律，最终验证结果是否满足所有条件。 题型一：根据元素与集合的关系求参数 典例1-1．设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 典例1-2．设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 变式1-1．若集合的真子集个数为15，写出一个满足条件的的取值 ． 变式1-2．已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 题型二：利用集合间的关系求参数 典例2-1．已知，若，则的取值范围为 . 典例2-2．若，，，且，求的值． 变式2-1．若是的必要不充分条件，集合，则实数的取值范围是 ． 变式2-2．若为集合的一个子集，则中最大元素的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 题型三：交、并、补运算求参数 典例3-1．设集合. (1)当时，求和， (2)若.求实数的取值范围. 典例3-2．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 变式3-1．已知集合，. (1)求集合，并写出当时集合的真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围. 变式3-2．已知集合，，． （1）若为含两元素的集合，则实数 ． （2）为含三个元素的集合，则实数 ． 题型四：定义新概念 典例4-1．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 典例4-2．若非空数集满足，都有，则称集合为无和集． (1)判断集合是否为无和集，直接写出结论； (2)给定正整数，集合满足，且，求证：集合不可能都是无和集； (3)给定正整数，集合，且为无和集，求集合中元素个数的最大值（用含的表达式表示）． 变式4-1．已知集合，1，2，，，集合，记的元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”． (1)若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合T必为“理想集”． 变式4-2．已知集合，其中，若存在的非空子集A，满足（表示有限集合A中元素的个数），且A中所有元素之积与中所有元素之和相等，则称为“积和集合”. (1)若，判断是否为“积和集合”；（结论无需证明） (2)若是“积和集合”，写出的所有可能取值： (3)若，判断是否为“积和集合”，并说明理由. 题型五：定义新运算 典例5-1．（多选）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（   ） A．（为虚数单位）关于数的乘法构成群 B．有理数集关于数的加法构成群 C．关于数的除法构成群 D．正实数集关于数的乘法构成群 典例5-2．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 变式5-1．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 . 变式5-2．对于集合，，定义运算“”：{，两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数.    (1)设，，在图1的韦恩图中填入集合，，并求； (2)设，，求； (3)对于有限集合，，，证明，并求当集合，是确定集合时，使该式取等号的集合的数量（用含，的式子表示）. 题型六：定义新性质 典例6-1．已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 典例6-2．已知集合具有性质对任意与至少一个属于A． (1)分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由； (2)具有性质P，当时，求集合A； (3)记，求 变式6-1．已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 变式6-2．已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 巩固过关 1．已知集合，．若，则的所有取值是（    ） A．0，1 B． C． D． 2．（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 3．函数，若，请写出满足条件的一个值 ，若有且只有3个元素，则实数的取值范围是 . 4．（ 2024·25高三上·浙江温州·期末）（多选）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 5．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 6．设A，B是R的两个子集，对于，定义：，， ①若，则对任意 ； ②若对任意，则A，B的关系为 ． 7．设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有 对． 8．已知集合，设，令表示集合所含元素的个数，则 . 9．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 10．已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 11．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 12．对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 创新提升 1．集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 2．设集合，其中元素均为有理数，集合，求 . 3．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 4．已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 5．已知集合 其中 由S 中的元素构成两个相应的集合： ，其中是有序实数对，集合M和N中的元素个数分别为m和n.若对于任意的，总有，则称集合S具有性质 P. (1)检验集合与是否具有性质 P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合M和N； (2)对任意具有性质 P 的集合S，证明： (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论. 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. (1)若，求的值； (2)若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专训01 集合中的含参问题及新定义问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：根据元素与集合的关系求参数 2 题型二：利用集合间的关系求参数 2 题型三：交、并、补运算求参数 4 题型四：定义新概念 6 题型五：定义新运算 8 题型六：定义新性质 13 重难专题分层过关练 16 巩固过关 20 创新提升 27 根据元素与集合关系求参数： 首先依据 “元素属于集合” 的条件，结合集合元素的确定性，列出关于参数的方程或不等式，解出参数的所有可能取值； 接着根据集合元素的互异性，检验这些取值是否会使集合中出现重复元素，若有则排除；过程中若参数对应不同元素归属情况，需用分类讨论思想逐一分析，确保不遗漏每种可能性，最终得到符合条件的参数值。 利用集合间关系求参数： 若集合是连续数集，先将集合表示在数轴上，根据包含关系（如子集、真子集）确定区间端点的不等关系，注意端点处是实点还是虚点，避免漏判； 若集合是不连续数集，依据包含关系的定义，列出元素对应等式，同时运用分类讨论思想，考虑空集、集合相等或部分包含等情况，排除矛盾解，最终得到符合条件的参数值。 交、并、补运算求参数： 通常借助数轴直观呈现集合范围，结合运算性质建立不等关系。 需特别注意空集情况，若涉及集合间包含、相交等关系，要考虑空集是否符合条件，避免遗漏。同时，关注不等式等号的取值：在补集运算中，需判断原集合端点的等号能否传递到补集，且始终牢记补集是全集的子集，确保运算结果在全集中，最后通过验证确定参数的最终范围。 集合新定义问题： 核心是紧扣新定义本质：先逐句分析新定义的规则、限制条件（如元素构成、运算方式、特殊规定），明确其具体含义，避免因理解偏差出错，这是解题的基础。 若定义较抽象，可通过举简单例子（如用具体数字、集合代入定义），将抽象规则转化为直观应用，帮助快速把握定义核心逻辑。 同时要善用集合基本性质（如元素的确定性、互异性、无序性，或集合间的包含、交并补关系），结合新定义规则推导，确保解题过程既符合新定义要求，又不违背集合基本规律，最终验证结果是否满足所有条件。 题型一：根据元素与集合的关系求参数 典例1-1．设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 典例1-2．设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【答案】C 【详解】对A，若，则， 将代入不全部满足，此时可知，故A错误； 对B，当时，则， 将代入全部满足，此时可知，故B错误； 对C，若，，解之可得，所以C正确； 对D，当，则，将代入不全满足， 所以，故D错误. 故选：C 变式1-1．若集合的真子集个数为15，写出一个满足条件的的取值 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】设集合中元素个数为，由集合的真子集个数为15可得， ，解得，由可得，，， 即，所以，即， 故可取（答案不唯一，满足均可）． 故答案为：（答案不唯一） 变式1-2．已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 题型二：利用集合间的关系求参数 典例2-1．已知，若，则的取值范围为 . 【答案】或 【详解】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 典例2-2．若，，，且，求的值． 【答案】或． 【详解】由于，所以， 当时，， 若，则，解得， 当时，， 若，则，此时不存在， 当时，， 若，则，解得 综上可得或． 变式2-1．若是的必要不充分条件，集合，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【详解】不等式的解集为或，所以或， 因为是的必要不充分条件，所以是的一个真子集， 所以或或， 所以或或，所以或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式2-2．若为集合的一个子集，则中最大元素的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为集合的一个子集， 所以中有一个等于0，有一个等于1， 若，则，此时， 若，则，此时， 若，则，此时， 若，则，得，所以， 若，则，由得，方程无解，所以此种情况不存在， 若，则，得不合题意， 综上，中最大元素的最大值为. 故选：B 题型三：交、并、补运算求参数 典例3-1．设集合. (1)当时，求和， (2)若.求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 当时，， 所以； （2）或， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或， 解得或无解， 综上所述，. 典例3-2．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意， 知或，, 因为，故，解得； （2）中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 变式3-1．已知集合，. (1)求集合，并写出当时集合的真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，真子集有个 (2) 【详解】（1），解得，所以. 当时，，共个元素，真子集有个. （2）由（1）得，所以或. ， 当时，，满足. 当时，， 要使，则需，所以. 当时，，满足. 综上所述，的取值范围是. 变式3-2．已知集合，，． （1）若为含两元素的集合，则实数 ． （2）为含三个元素的集合，则实数 ． 【答案】 0或1 【详解】解：（1）中，由中含有两个元素的集合， ①如图（1）所示，当直线和与圆各有一个交点， 且不重合时，则满足条件，此时，解得； ②如图（2）所示，直线和重合，且与圆有两个交点时， 则满足条件，此时，此时与圆有两个交点，满足题意， 综上可得，实数的值为或.    （2）由中含有三个元素，显然且， 此时直线和与圆必须交于三个点， 即两直线有一个交点在圆上，且两直线与圆还各有一个交点， 因为直线和关于直线对称， 所以三个交点分别为或， 如图（3）（4）所示，此时.    题型四：定义新概念 典例4-1．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 典例4-2．若非空数集满足，都有，则称集合为无和集． (1)判断集合是否为无和集，直接写出结论； (2)给定正整数，集合满足，且，求证：集合不可能都是无和集； (3)给定正整数，集合，且为无和集，求集合中元素个数的最大值（用含的表达式表示）． 【答案】(1)是，不是 (2)证明见解析 (3)当是偶数时，中元素个数的最大值为； 当是奇数时，中元素个数的最大值为 【详解】（1）集合是无和集， 集合不是无和集． （2）假设都是无和集，且． 因为，所以1和2不能属于同一集合， 不妨设，又因为，所以， 则，所以，则， 此时如果，则，则不是无和集， 如果，则， 则不是无和集，与假设矛盾， 所以集合不可能都是无和集． （3）当集合是由中所有偶数组成的集合时，不符合无和集的定义， 则可设集合是由中所有奇数组成的集合， 易知集合是无和集． 下面说明是集合元素个数最多的情况． 假设加任意一个偶数到集合中，由于， 因此1和中有一个不属于集合，即集合中的奇数至少减去一个， 则元素个数不会比中元素个数多． 故当是偶数时，中元素个数的最大值为；当是奇数时，中元素个数的最大值为. 变式4-1．已知集合，1，2，，，集合，记的元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”． (1)若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合T必为“理想集”． 【答案】(1)T1不是“理想集”， T2是“理想集”，理由见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）不是“理想集”， 是“理想集”． 由题意，令，，，则； 令，，，则； 令，，，则； 令，，，则；所以不是“理想集”． 令，，，则，所以是“理想集”． （2）共16个“理想集”． 若，有，1，2，3，4，． 当时，若，则，由可知， 故，，或； 若，则，由可知，则，故，，． 故含有三个元素的“理想集” ，1，，，1，或，2，，共3个． 当时，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，或，2，4，，共7个． 当时，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，共5个． 当时，，1，2，3，4，，共1个． 综上所述，所有“理想集” 的个数为16个分别为：，1，，，1，，，2，，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，，，2，4，，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，，1，2，3，4，． （3）证明：若，记，，，且． 利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有， 则，，2，，． 记，于是，则， 因此，矛盾． 故集合必为“理想集”． 变式4-2．已知集合，其中，若存在的非空子集A，满足（表示有限集合A中元素的个数），且A中所有元素之积与中所有元素之和相等，则称为“积和集合”. (1)若，判断是否为“积和集合”；（结论无需证明） (2)若是“积和集合”，写出的所有可能取值： (3)若，判断是否为“积和集合”，并说明理由. 【答案】(1)是； (2) (3)不是，理由见解析. 【详解】（1）注意到，则取，满足题意. 则是 “积和集合”； （2）由题可得，若，则，符合； 若，则，不满足集合互异性，排除； 若，则，符合； 若，则，符合； 若，则，不为整数，不满足题意，排除； 若，则，不为整数，不满足题意，排除； 综上，的所有可能取值为； （3）设，集合A中全体元素乘积为，全体元素和为. 假设为“积和集合”，则，. 因，则. 注意到，则. 若，则，这与题意不符，则， 故，. 若，设，则. 注意到均为奇数，则为偶数，则为偶数，这与矛盾，则不存在满足的集合A； 若，设. 若，设，则， 注意到，则可为. 则为，均不满足题意； 若，则，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 类似以上分析，可得当时，均不合题意. 综上可得，不是“积和集合 题型五：定义新运算 典例5-1．（多选）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（   ） A．（为虚数单位）关于数的乘法构成群 B．有理数集关于数的加法构成群 C．关于数的除法构成群 D．正实数集关于数的乘法构成群 【答案】ABD 【详解】对于A选项： 因为，可以计算里面任意两个元素的乘积结果都属于集合. 因为数的乘法满足结合律，对于复数也不例外. 存在，对于，当时，. 当时，;当时，. 集合也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，所以A选项正确. 对于B选项： 对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律. 存在，对于，有. 对于任意的，存在，使得. 所以有理数集关于数的加法构成群，B选项正确. 对于C选项： 取，无意义，不满足对任意的， 有，所以不满足封闭性，C选项错误. 对于D选项： 任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律. 对于任意的，存在使得. 满足.所以D选项正确. 故选：ABD. 典例5-2．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1） （2）必要性： 若，设， 则，即为， 即则， 若，则； 若，则，． 充分性： 若，则满足的只能是，不符合任意性； 若，此时，即为恒成立． 综上，． 变式5-1．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 . 【答案】或 【详解】因为， 所以，，， ， 故或. 故答案为：或. 变式5-2．对于集合，，定义运算“”：{，两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数.    (1)设，，在图1的韦恩图中填入集合，，并求； (2)设，，求； (3)对于有限集合，，，证明，并求当集合，是确定集合时，使该式取等号的集合的数量（用含，的式子表示）. 【答案】(1)韦恩图见解析， (2). (3)证明见解析，集合的数量为个. 【详解】（1）如图1.   . （2），， . （3）画出韦恩图，如图2，将划分成7个集合，，，    则 故不等式成立 当且仅当时，上式取等号. 等价于，等价于， 故当且仅当取等号. 故此时，如图3，集合，其中是确定的集合 是的子集，所以满足要求的集合的数量为个.    【点睛】关键点点睛：解题的关键在于理解新定义，只有理解了定义，方可顺利得解. 题型六：定义新性质 典例6-1．已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）集合具有性质，则对任意的，都有，即， ，解得且，可得的最小值是. （2）①由题意，，又， ，可得， ②由①可得. （3）由（2）知，，又，可得，因此，同理，， 又，，则也均成立. 当时，取，则，可知. 又当时，，则，即. 因此集合中元素个数的最大值为7. 【点睛】关键点睛：第二问，根据定义得为关键；第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键. 典例6-2．已知集合具有性质对任意与至少一个属于A． (1)分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由； (2)具有性质P，当时，求集合A； (3)记，求 【答案】(1)具有性质，不具有性质; (2) (3) 【详解】（1）集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. （2）因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而,所以，.故. （3）因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以，则. 【点睛】方法点睛：与集合新定义有关的问题的求解策略 1、通过给出一个新的集合定义或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决； 3、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 变式6-1．已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）对于数集，若具有性质，则，， 因为，即， ，即， ，即， 所以具有性质； 对于数集，若具有性质，则，， 因为，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， 所以不具有性质. （2）因为集合具有性质： 即对任意的，使得成立， 又因为，，所以，， 所以， 即， 将上述不等式相加得：， 所以， 因为，所以， 故． 变式6-2．已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)4950 (3)充分不必要条件，理由见解析 【详解】（1）由于，不符合定义，故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以，共有k个， 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 巩固过关 1．已知集合，．若，则的所有取值是（    ） A．0，1 B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 当时，，满足， 当时，， 或点在直线上，即， 整理得，解得或， 综上，的取值为， 故选：D 2．（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 3．函数，若，请写出满足条件的一个值 ，若有且只有3个元素，则实数的取值范围是 . 【答案】 (答案不唯一） 【详解】因为，所以， 解得，故符合条件的一个值为（答案不唯一）； 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 若有且只有3个元素，则集合中的元素只能是， 则应满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：(答案不唯一）；. 4．（ 2024·25高三上·浙江温州·期末）（多选）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【答案】BCD 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 5．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由在上是增函数，得， 即． 作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示： ①当时，，即， 要使，必须且只需，得，与矛盾． ②当时，，即， 要使，由图可知：必须且只需解得． ③当时，，即， 要使，必须且只需解得． ④当时，，此时，则成立． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 6．设A，B是R的两个子集，对于，定义：，， ①若，则对任意 ； ②若对任意，则A，B的关系为 ． 【答案】 0 【详解】①因为，则当时，，所以， 当时，必有，所以，所以， 综上可得， ②对任意，则，的值一个为0，另一个为1， 即时，必有，或时，必有， 所以A，B的关系为． 故答案为：0； 7．设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有 对． 【答案】44 【详解】由条件可知，，， 当，时，不成立； 当，时，则，， 所以，，符合条件的有1对； 当，时，则，， 集合中另一个元素从剩下的6个数中再选1个，所以有6对； 当，时，则5，， 集合中另外的元素从剩下的6个数中再选2个，所以有15对； 当，时，，，矛盾； 剩下几种情况，由对称性和前面类似， 所以共有对， 故答案为：44. 8．已知集合，设，令表示集合所含元素的个数，则 . 【答案】3712 【详解】表示集合所含元素的个数， 其中整除的有，共5个. 整除的： ①1整除的有2024个；②2整除的有个；③3整除的有个.重复的有，共3个. 所以. 故答案为：3712 9．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，可得或， 即集合或： 由，得或， 解得或. （2）易知集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位，故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形： ①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，， 则，可知 ②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9， 则，可知 综上可知 10．已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，， 所以或， 因为， 所以或； （2）因为，， 所以或， 当时，成立，此时，解得， 当时，因为， 所以或 解得， 综上，a的取值范围为. 11．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，，，， (3)能， 【详解】（1）当时，， ， 所以，． （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 12．对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【答案】(1)，. (2) (3)，，理由见解析 【详解】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 创新提升 1．集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】记，由，解得，又， 所以，则； 当时，，又，所以，此时的最大值为； 当时，，此时或， 于是，此时的最大值为； 综上可得的最大值为. 故答案为： 2．设集合，其中元素均为有理数，集合，求 . 【答案】或 【详解】观察中的六个数，其中没有互为相反数， 由此知的绝对值互不相等， 不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别是及， 最大的与次大的两个数分别是及， 从而有，于是， 故， 则或，解得或， 结合，只可能是， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 故或. 故答案为：或. 3．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 【答案】或 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于时的处理，利用二次函数的性质，结合及条件，得到或，即可求解. 4．已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知， 由，解得． 当时，，又，则． （2）由题意知，则，解得，即． 5．已知集合 其中 由S 中的元素构成两个相应的集合： ，其中是有序实数对，集合M和N中的元素个数分别为m和n.若对于任意的，总有，则称集合S具有性质 P. (1)检验集合与是否具有性质 P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合M和N； (2)对任意具有性质 P 的集合S，证明： (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论. 【答案】(1)集合不具有性质 P， 具有性质 P，，. (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【详解】（1）因为时，且，所以集合不具有性质. 因为时，，总有， 所以集合具有性质，其相应的集合和是 ，. （2）首先，由中元素构成的有序数对共有个. 因为，所以； 又因为当时，， 所以当时，. 从而，集合中元素的个数最多为， 即. （3），证明如下： 当时，根据定义， ，，且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立. 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 当时，根据定义，，， 且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立， 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 综上可知，. 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. (1)若，求的值； (2)若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）5；（ii）4050 【详解】（1）若，则，此时，， ，所以. （2）（i）解法一：设，则有， ， 所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多， 而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小， ，此时. 解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有 又中最小元素为，则，则有，所以， 另一方面，当时，，此时， 综上，时，的最小值为5. （ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则 引理的证明：对任意 当时，，当时，， 因此有； 另一方面，再证明可以取到满足的所有整数， ①取，当依次取时，可取到满足的所有整数； ②取，当依次取时，可取到满足的所有偶数； ③取，当依次取时，可取到满足或的所有奇数； ④取，此时， 由上述讨论可知，可以取到满足的所有整数，此时有 综上，引理得证． 故当时，，， 又，即，则有， 所以； 另一方面，当时，，，， 此时， 综上，当时，的最小值为2n，所以，当时，的最小值为4050. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$