专题6.6 图形的位似（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题6.6 图形的位似 教学目标 1．理解位似图形的概念，知晓位似中心的含义，明确位似与相似的关系。 2．掌握位似图形的核心性质（对应点共线、距离比等于相似比等）及坐标变化规律。 3．会按步骤作位似图形，能区分位似与平移、轴对称、旋转变换的异同。 教学重难点 重点：位似图形的概念和性质；作位似图形的基本步骤。 难点：区分位似与相似的关系；运用位似图形性质及坐标规律解题。 知识点01 位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【即学即练】 下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于位似比．其中正确表述的序号是（　　） A．② B．①② C．③ D．②③ 知识点02 位似图形的性质 （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 【即学即练】 1．如图，与是位似图形，点是位似中心，相似比为．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 知识点03 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 【即学即练】 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（    ） A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似 知识点04 作位似图形的步骤 第一步，在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步，作位似中心与各关键点连线； 第三步，在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步，顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【即学即练】 1．已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴的左侧以为位似中心画出的位似图形（的对应点分别为点），使得与的相似比为，并写出点的坐标． 题型01 位似图形的识别 【例1】下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（    ） A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换 【变式1-2】2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，如图为春晚主标识，它采用的基本数学变换是（   ） A．平移 B．轴对称 C．位似 D．旋转 【变式1-3】方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 题型02 判段位似中心及画位似中心 【例3】如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【变式2-2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ． 题型03 画位似图形 【例5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为； (2)点的坐标是 ，的面积是 ． 【例6】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．请以原点为位似中心，在x轴上方画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别为点、、），使得与的相似比为． 【变式3-1】如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，已知和是位似图形，位似中心是点，且，． (1)在网格中补全平面直角坐标系； (2)画出位似中心点的位置，并直接写出点的坐标； (3)在网格中将补充完整． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求的面积； (2)以点为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，使得与的位似比为； (3)请直接写出点的坐标． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴左侧以O为位似中心作的位似图形，且与的相似比为； (2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标； (3)如果内部一点M的坐标为，写出点M在内的对应点N的坐标． 题型04 求两个位似图形的相似比 【例7】以点O为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．点C、O、F三点共线 【例8】如图，与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式4-2】如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 【变式4-3】如图，两个相似图形和，若，则 ． 先确定位似中心（连接两组对应点并延长，交点即为位似中心），再选一组对应点，分别计算这两个点到位似中心的线段长度，两者的比值就是相似比（注意对应顺序，如“图形1与图形2的相似比”，需用图形1对应点距离比图形 2 对应点距离）。 题型05 求两个位似图形的周长比、面积比 【例9】如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【例10】如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【变式5-2】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的周长之比为 ． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下， ． 题型06 求位似图形的对应坐标 【例11】在同一象限内，与关于原点位似，位似比为，已知点，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例12】如图，在的网格中，三个顶点坐标分别为、、． (1)以为位似中心，将放大为，使得与的位似比为2∶1，请在网格图中画出； (2)直接写出（1）中点、的坐标． 【变式6-1】如图，顶点的坐标为，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小得到，使与对应边的比为，则点的对出点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中．的顶点坐标分别为，． (1)以为位似中心，在轴下方画出，使得与位似．位似比为2． (2)的坐标是_______，的坐标是______． 首先通过连接两组对应点并延长，找到交点确定位似中心，再根据位似中心是否为原点分类求解 —— 若位似中心是原点，直接用 “对应点坐标比等于相似比或”（如已知点，相似比为，则对应点为或，正对应点与原点同侧，负则异侧）；若位似中心非原点，需先记位似中心坐标。 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（   ） A．点A B．点N C．点O D．点P 2．如图，五边形和五边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 4．已知点，的坐标分别为，，那么过点，的直线与坐标轴的位置关系是（   ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．与轴垂直 D．与轴平行或重合 5．如图，以点为位似中心，把放大到原来的2倍得到．以下说法中错误的是（   ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 6．如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 9．如图，把放大后得到，则与的相似比是 ．面积比是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 11．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 13．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”通过度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线交点O为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆中劣弧的长为 ． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 15．如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点__________． (2)若与的位似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上） (1)在第三象限中画出，使得以点为位似中心，与位似比为； (2)在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为（______，______）； (3)在第二象限中画，使且面积是的倍． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.6 图形的位似 教学目标 1．理解位似图形的概念，知晓位似中心的含义，明确位似与相似的关系。 2．掌握位似图形的核心性质（对应点共线、距离比等于相似比等）及坐标变化规律。 3．会按步骤作位似图形，能区分位似与平移、轴对称、旋转变换的异同。 教学重难点 重点：位似图形的概念和性质；作位似图形的基本步骤。 难点：区分位似与相似的关系；运用位似图形性质及坐标规律解题。 知识点01 位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【即学即练】 下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于位似比．其中正确表述的序号是（　　） A．② B．①② C．③ D．②③ 【答案】A 【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，则原命题错误； ②位似图形一定有位似中心，则原命题正确； ③位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，而非任意两点，则原命题错误； 综上，正确命题的序号是②， 故选：A． 知识点02 位似图形的性质 （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 【即学即练】 1．如图，与是位似图形，点是位似中心，相似比为．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2． 故选：B． 2．如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 知识点03 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 【即学即练】 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（    ） A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】D 【分析】 【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的， 所以这两张图片之间的关系是位似， 故选：D．nn 知识点04 作位似图形的步骤 第一步，在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步，作位似中心与各关键点连线； 第三步，在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步，顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【即学即练】 1．已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴的左侧以为位似中心画出的位似图形（的对应点分别为点），使得与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】图见解析； 【分析】 【详解】解：如图，即为所求： 根据题意可知，点的坐标为，即． 题型01 位似图形的识别 【例1】下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 【例2】下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（    ） A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换 【答案】C 【详解】解：平移变换：图形沿某一方向移动，对应点连线平行，不改变形状、大小，不符合皮影中实物与影子的关系； 轴对称变换：图形关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等，皮影中无“对称轴”类关系，不符合； 旋转变换：图形绕某点旋转，对应点到旋转中心距离相等，皮影中并非绕点旋转的关系，不符合； 位似变换：是相似变换且对应点连线都经过同一位似中心．皮影戏中，灯光为位似中心，实物与影子相似，且实物各点与影子对应点的连线都经过灯光，符合位似变换的定义． 综上，实物与其影子之间的变换是位似变换， 故选C． 【变式1-2】2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，如图为春晚主标识，它采用的基本数学变换是（   ） A．平移 B．轴对称 C．位似 D．旋转 【答案】D 【详解】解：由图可知：该图采用的基本数学变换是旋转； 故选D． 【变式1-3】方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 题型02 判段位似中心及画位似中心 【例3】如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 【例4】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． 【变式2-1】如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 【变式2-2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，位似中心的坐标为， 故答案为：． 题型03 画位似图形 【例5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为； (2)点的坐标是 ，的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)；4 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：点的坐标是； 的面积． 故答案为：；4． 【例6】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．请以原点为位似中心，在x轴上方画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别为点、、），使得与的相似比为． 【答案】见解析 【详解】解：如图，即为所求： 【变式3-1】如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，已知和是位似图形，位似中心是点，且，． (1)在网格中补全平面直角坐标系； (2)画出位似中心点的位置，并直接写出点的坐标； (3)在网格中将补充完整． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，点P的坐标为 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：补全的平面直角坐标系如图所示． （2）解：位似中心点的位置如图所示，点P的坐标为． （3）解：如图，为所求． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求的面积； (2)以点为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，使得与的位似比为； (3)请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：的面积； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由（）图可知，点的坐标为． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴左侧以O为位似中心作的位似图形，且与的相似比为； (2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标； (3)如果内部一点M的坐标为，写出点M在内的对应点N的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点C，D的坐标分别为 (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵点A，B的坐标分别为，，与的相似比为， ∴点C，D的坐标分别为； （3）解：∵内部一点M的坐标为， ∴对应点N的坐标为． 题型04 求两个位似图形的相似比 【例7】以点O为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．点C、O、F三点共线 【答案】C 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原来的2倍得到， ∴，点C、O、F三点共线，故A，D正确 ∴ ∴ ∴ ∴，故B正确， ∵ ∴，故C不正确， 故选：C． 【例8】如图，与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与位似，位似中心为点O， 与的面积比等于位似比的平方， 的面积等于面积的， 与的位似比是， 即． 故选：A． 【变式4-1】如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图，连接，， ∵正方形∽正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D ． 【变式4-2】如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，两个相似图形和，若，则 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵和是位似图形， ∴， ∴， 故答案为： 先确定位似中心（连接两组对应点并延长，交点即为位似中心），再选一组对应点，分别计算这两个点到位似中心的线段长度，两者的比值就是相似比（注意对应顺序，如“图形1与图形2的相似比”，需用图形1对应点距离比图形 2 对应点距离）。 题型05 求两个位似图形的周长比、面积比 【例9】如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】A 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【例10】如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，，若四边形的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】50 【详解】解：∵，，以点为位似中心，作四边形的位似图形， ∴， ∵四边形的面积为， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【详解】点的坐标为，点的坐标为， 与关于原点的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长之比为， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下， ． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：∵与关于原点位似，且位似比为， ∴． 题型06 求位似图形的对应坐标 【例11】在同一象限内，与关于原点位似，位似比为，已知点，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在同一象限内，与关于原点位似，位似比为， 点的对应点的坐标为， 即点的坐标为． 故选：A． 【例12】如图，在的网格中，三个顶点坐标分别为、、． (1)以为位似中心，将放大为，使得与的位似比为2∶1，请在网格图中画出； (2)直接写出（1）中点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为 【分析】 【详解】（1）解：（1）如图所示，即为所求； （2）点的坐标为，点的坐标为． 【变式6-1】如图，顶点的坐标为，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小得到，使与对应边的比为，则点的对出点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与对应边的比为，顶点的坐标为，在第一象限内， ∴， 故选：B． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与位似，且原点O为位似中心，其位似比，点， ∴其对应点D的坐标为，即． 故选：A 【变式6-3】在平面直角坐标系中．的顶点坐标分别为，． (1)以为位似中心，在轴下方画出，使得与位似．位似比为2． (2)的坐标是_______，的坐标是______． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵在轴下方画出，使得与位似，位似比为2，且，， ， 即． 首先通过连接两组对应点并延长，找到交点确定位似中心，再根据位似中心是否为原点分类求解 —— 若位似中心是原点，直接用 “对应点坐标比等于相似比或”（如已知点，相似比为，则对应点为或，正对应点与原点同侧，负则异侧）；若位似中心非原点，需先记位似中心坐标。 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（   ） A．点A B．点N C．点O D．点P 【答案】D 【分析】 【详解】解：连接，交于点P， 则点P为位似中心． 故选：D． 2．如图，五边形和五边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：五边形和五边形是以点O为位似中心的位似图形， 五边形五边形，， ， ， ， ； 故选：A． 3．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9， 故选：C． 4．已知点，的坐标分别为，，那么过点，的直线与坐标轴的位置关系是（   ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．与轴垂直 D．与轴平行或重合 【答案】D 【分析】 【详解】∵点和点的纵坐标都是， ∴当时，直线与轴平行； 当时，直线与轴重合； 故直线与轴的关系为：平行或重合； 当直线与轴平行或重合时，直线轴． 故选D． 5．如图，以点为位似中心，把放大到原来的2倍得到．以下说法中错误的是（   ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：A、位似图形一定是相似图形，故，结论正确，此选项不符合题意； B、位似图形中对应点与位似中心共线，故点，，三点在同一直线上，结论正确，此选项不符合题意； C、以为位似中心，放大到原来的2倍，位似比为，则，故，结论错误，此选项符合题意； D、位似图形的对应边互相平行，故，结论正确，此选项不符合题意； 故选：C． 6．如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） 如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点， A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵和是位似图形，位似中心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形， ， ， 相似比为， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标是． 故选：B． 二、填空题 8．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 9．如图，把放大后得到，则与的相似比是 ．面积比是 ． 【答案】 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 面积比是 故答案为：，． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 【答案】或 【详解】解：由题意可知，， 矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， 矩形与矩形相似，且相似比为， 点的坐标是或， 即点的坐标是或， 故答案为：或． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，, ∴，， ∵， ∴， 过点A作轴于点D，过点作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”通过度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线交点O为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆中劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接、， ∵正方形的面积为18， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是位似图形， ∴正方形和正方形相似， ∴， ∴， 则的长为：， 故答案为：π． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且位似比是． (1)请画出； (2)与的周长之比为______； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵，与位似，且位似比是． ∴与的周长之比为 （3）解：∵，与位似，且位似比是． 又∵点M的坐标为 ∴点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 15．如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点__________． (2)若与的位似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)O (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：与的位似中心为点O； （2）解：与的位似比为，， ， ； （3）解：∵与位似，， ， ， ． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上） (1)在第三象限中画出，使得以点为位似中心，与位似比为； (2)在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为（______，______）； (3)在第二象限中画，使且面积是的倍． 【答案】(1)画图见解析 (2)， (3)画图见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $