专题6.5 相似三角形的性质（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题6.5 相似三角形的性质 教学目标 1．掌握相似三角形的核心性质：对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比等于相似比。 2．熟记相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 3．能运用上述性质进行线段长度、周长、面积的计算及简单证明，找准对应线段。 教学重难点 重点：相似三角形的线段比、周长比、面积比与相似比的关系。 难点：准确找准对应线段（高、中线等）；理解并运用面积比与相似比的平方关系。 知识点01 相似三角形对应的线段比 （1）相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 【即学即练】 1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，那么与的相似比为 ．    知识点02 相似三角形的周长比 相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 【即学即练】 1．两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 知识点03 相似三角形的面积比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练】 1．已知，若，，则与的面积比为 ． 2．如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 题型1：利用相似三角形性质求线段 【例1】如图，线段与相交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1-1】如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是面积的．若，则平移的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】如图，在中，，D为上一点，E为上一点，若，，，则当______时，以D、B、E为顶点的三角形与相似．（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．或5 【变式1-3】如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 【变式1-4】如图，在矩形中，，，点E在上，且，若边上的点F使得以F，A，B为顶点的三角形和以F，D，E为顶点的三角形相似，求的长． 题型2：利用相似三角形性质求角度 【例2】如图，在中，点为边上一点，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，已知，中，，，点D在上，且，点E为外一点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，内接于，且，的延长线交于点E，若与相似，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，，若，，则的大小为 ． 【变式2-4】如图，点，在线段上，是等边三角形，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 题型3：利用相似三角形性质证明比例关系 【例3】如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【变式3-1】如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【变式3-4】如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 题型4：利用相似三角形性质求周长 【例4】如图，在中，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．26 【变式4-1】如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为2，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．32 【变式4-2】如图，在中，，，，点在边上，且平分的周长，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，点是的边AD上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是 ． 题型5：利用相似三角形性质求面积 【例5】如图，，相交于点O，于点C，于点D，如果，的面积是3，那么的面积是 ． 【变式5-1】如图，矩形中，点O为对角线与的交点，点E在射线上，与相交于点F，且，若，则与四边形的面积比为 （用含t的代数式表示）． 【变式5-2】如图，将沿着方向平移得到，与重叠部分的面积是的面积的一半，已知，则平移的距离是 ． 【变式5-3】如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 【变式5-4】中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 题型6：相似三角形性质坐标系问题 【例6】如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为 ． 【变式6-1】如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标 ． 【变式6-3】如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【变式6-4】如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 题型7：网格中画相似三角形 【例7】如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点在格点上，且与相似，且相似比为2．（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点，使（保留作图痕迹）． 【变式7-1】由边长为1的小正方形组成的的网格中，线段的两个端点都在格点上． (1)如图1，C，D也在格点上，连接交于点，则___________． (2)如图2，仅用无刻度直尺在的边上找一点，使得． 【变式7-2】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点．（网格线的交点） (1)在边上找一点，使得； (2)在边上找一点，使得． 【变式7-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 【变式7-4】如图，在7×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中的线段上确定一点D，连结，使． (2)在图②中的线段上确定一点E，连结，使． (3)在图③中的线段上确定一点F，连结，使平分的周长． 题型8：相似三角形性质与判定综合 【例8】如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（   ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-1】如图，菱形的边长为，边在轴上，，对角线相交于点，点在线段上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（   ） A．30 B．25 C．20 D．18 【变式8-3】如图，、、都是正三角形，且、、、在同一直线上，、、也在同一直线上，设、、的面积分别为、、．当，时，的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式8-4】如图，在中，，，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 一、单选题 1．如图，在中，，，，则（   ） A．15 B．20 C．25 D．45 2．如图，在平行四边形中，E为上一点，与相交于点F，且，若，则为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 3．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B．25 C．20 D．10 4．如图，在▱中，点E在上，，与相交于点F，则的值是（　　） A．1 B． C． D． 5．在梯形中，，与相交于点O，如果，那么下列结论中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．已知和中，有，且和的周长之差为，则的周长为 7．如图，点、在的边上，，，如果，，那么的值是 ． 8．如图，、相交于点，如果，，，，那么___________． 9．如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使．若小吴测得的长为400米，则 米． 10．如图，四边形的对角线交于点O，，如果，那么的值是 ． 11．如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用秒表示时间． （1）当 时，的面积是； （2）当 时，以、、为顶点的三角形与相似． 三、解答题 12．如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 14．如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 15．如图，在中，动点M从点A出发，在边上以每秒的速度向点B运动，同时动点N从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A运动，点M，N的运动时间为t秒（），连接． (1)______，______，______；（用含t的代数式表示） (2)若与相似，求t的值． 16．在矩形中，是的中点，过点作交于点，连接．求证： (1)； (2) 17．如图，在平行四边形中，点在边上． (1)过点作的平行线交于点、交的延长线于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题6.5相似三角形的性质 内容概览 教学目标、教学重难点 相似三角形对应的线段比 相似三角形的周长比 知识清单 相似三角形的面积比 利用相似三角形性质求线段 相似三角形的性质 利用相似三角形性质求角度 利用相似三角形性质证明比例关系 利用相似三角形性质求周长 题型精讲 利用相似三角形性质求面积 相似三角形性质坐标系问题 网格中画相似三角形 相似三角形性质与判定综合 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握相似三角形的核心性质：对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分 线的比等于相似比。 教学月标 2.熟记相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 3.能运用上述性质进行线段长度、周长、面积的计算及简单证明，找准对应线段。 重点：相似三角形的线段比、周长比、面积比与相似比的关系。 教学重难点 难点：准确找准对应线段（高、中线等）；理解并运用面积比与相似比的平方关系。 知识清单 知识点01相似三角形对应的线段比 1151 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例 (2)相似三角形中的重要线段的比等于相似比 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段 【即学即练】 1.若两个相似三角形的对应中线之比为2：3，则它们的对应高之比为（) A.23 B.4:9 C.9:4 D.3:2 【答案】A 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为2：3， 所以它们的对应高之比为23， 故选：A 2.如图，∠ADE=∠B,AD:DB=2:I,那么ADE与ABC的相似比为 D B 【答案灯23号 【详解】解：：∠ADE=∠B,∠A=∠A, △ADEn△ABC, AD:AB为相似比， :AD:DB=2:1, AD:AB=2:3,即相似比为2：3， 故答案为：2：3. 知识点02相似三角形的周长比 相似三角形周长的比等于相似比 如图-：△1BC∽△4'BC,则1B BC_CA=k A'B BC CA 由比例性质可得： AB+BC+CA_k4'B'+kB'C'+KC'A=k A'B'+B'C'+C'A'A'B'+B'C'+C'A' 2/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【即学即练】 1.两个相似三角形的对应角平分线的比为1：4，则它们的周长比为() A.1:4 B.1:2 C.1:16 D.以上答案都不对 【答案】A 【详解】：两个相似三角形的对应角平分线的比为1：4， ·两个相似三角形的相似比为1：4， 周长的比为1：4， 故选A 【点晴】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用. 知识点03相似三角形的面积比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，AABC∽AAB'C,则4B=BC-CA A'B'B'C CA =k分别作出△ABC与△A'B'C'的高AD和A'D',则 SAABC= IBC.AD Ik.BC.kAD WC.RD C.D 1 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的 【即学即练】 1.已知△ABC∽△A'B'C',若AB=4,A'B'=3,则ABC与△A'B'C'的面积比为 【答案】16：9 【详解】解：：△4BCAA'B'C', :AABC与△A'B'C'的面积比= AB A'B 3/51 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=4,A'B′=3， △ABC与△A'B'C'的面积比为16：9， 故答案为：16：9. 2.如果两个相似三角形面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长之比为 【答案】3：2 【分析】 【详解】解：：两个相似三角形面积之比为9：4， .两个相似三角形相似之比为3：2， 这两个三角形的周长之比为3：2. 故答案为：3：2 题型精讲 题型1：利用相似三角形性质求线段 【例1】如图，线段AB与CD相交于点P,连接AC,BD,AP=3,BP=6,CP=2,DP=4. 刀 B (I)求证：△APCn△BPD: (2)若BD=5,求AC的长. 【答案】(1)见解析 ®月 【分析】 【详解】(1)证明：AP=3,BP=6,CP=2,DP=4, :=3-1,CP21 BP=62'DP=421 AP CP 1 BP DP2' 又：∠APC=∠BPD, △APC∽△BPD; (2)解：△APC∽△BPD, AC AP 1 8DBP-2' :BD=5, 4/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4C=5 【变式1-1】如图，将ABC沿BC方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积 是ABC面积的 若BC=12,则平移的距离为() 9 G B E A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】 【详解】解：将ABC沿BC方向平移得到△DEF, :AB∥DE .△EGC∽△BAC S= EC24 S△MBC EC 2 BC 3 EC=2BC=12x2=8 3 3 .BE=12-8=4 故选C 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，E为BC上一点，若DB=4,AB=I0, BC=8,则当BE=时，以D、B、E为顶点的三角形与ABC相似.() A.3 B.5 C.3或5 D. 16或5 【答案】D 【详解】解：：∠B=∠B, .△BDE∽△BAC或△BDE∽△BCA, 当△BDE∽△BAC时， BD BE AB BC 5/51 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :DB=4,AB=10,BC=8, 08 4 BE 此时BE=16 9 当△BDE∽△BCA时， BD BE BC AB :DB=4,AB=10,BC=8, 4 BE 810 此时BE=5; 上所述，BE=。或5时，以D、B、E为顶点的三角形与ABC相@ 故选：D 【变式1-3】如图，AB∥CD,且AB=2CD,E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M (I)求证：△EDM∽△FBM: (2)若F是BC的中点，BD=12,求BM的长： 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】 【详解】(1)证明：：AB=2CD,点E是AB的中点， .DC=EB. 又：AB∥CD, :四边形BCDE为平行四边形. .ED∥BC. ∴.∠EDB=∠FBM· 又：∠DME=∠BMF, .△EDMn△FBM. (2)解：：△EDM∽△FBM, DM DE 6/51 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :F是BC的中点， .DE=BC =2BF, ∴DM=2BM, .DB=DM BM =3BM :DB=12, :BM=BD=x12=4. 3 3 【变式1-4】如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E在CD上，且CE=1,若边AD上的点F使得 以F,A,B为顶点的三角形和以F,D,E为顶点的三角形相似，求AF的长. D B 【答案】AF的长为2或6或32 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .AB=DC=4. :CE=1, DE=3. :AD=8, 设AF=x,则DF=8-x. D E B C 当△ABF∽△DEF时， AB AF DE DE 38-x 32 ..x= 7 当△ABF∽△DFE时， ABAF DF DE 4= “8-x3 x=2或x=6. 7151 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4F的长为2或6或32 题型2：利用相似三角形性质求角度 【例2】如图，在ABC中，点P为边AB上一点，若△ACP∽△ABC,∠A=50°，∠APC=85°，则∠B的 度数为() A.35° B.40° C.45° D.50° 【答案】C 【详解】解：：△ACP∽△ABC, .LACB=∠CPA=85°， ∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-85°=45°. 故选：C 【变式2-1】如图，已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在AB上，且AD=AC,点E为 ABC外一点，连接DE、AE,若△ADE∽△CDB,则∠CDE的度数是() D A.45 B.36° C.30 D.22.5° 【答案】A 【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, ∠CAB=∠ABC=45°， AD=AC, :∠ADC=x180°-∠CAB=67.5°， ∠BDC=180°-∠ADC=112.5°， :aADE∽△CDB, ∴.∠ADE=∠BDC=112.5°， :.∠CDE=∠ADE-∠ADC=45°， 故选：A. 8/51 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-2】如图，ABC内接于⊙O,且AC=BC,A0的延长线交BC于点E,若△ABE与ABC相似， 则∠ABC=() E A.55 B.65° C.67.5° D.72° 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图，连接B0O,设LC=x°. :△ABE与ABC相似， .∠BAE=∠C=x°， :0A=0B, ∠OBA=∠BAE=x°， 又：∠A0B=2LC=2x°，∠0BA+∠BAE+LA0B=180°， x°+x°+2x°=180°，解得：x°=45°，即∠C=45°. :∠4BC=180°-∠C-180°-45 =67.5°. 2 2 故选：C 【变式2-3】如图，△ABC∽△ACP,若∠A=60°，∠APC=75°，则∠B的大小为 B 【答案】45°145度 【详解】解：：∠A=60°，∠APC=75°， ∠ACP=180°-∠A-∠APC=45°， 9/51 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△ABC∽△ACP, .∠B=LACP=45°， 故答案为：45°. 【变式2-4】如图，点C,D在线段AB上，△PCD是等边三角形，AC=2,PC=2V2,BD=4. D B (1I)求证：ACP∽PDB; (2)求∠APB的度数， 【答案】()见解析 (2)120° 【分析】 【详解】(1)证明：如图：：△PCD是等边三角形，PC=2V2, LPCD=∠PDC=60°，PD=PC=22, .∠PCA=LPDB=120°， .AC=2,BD=4, :4C-2-2,PC25V5 PD22=2'BD=4=2 PC AC BD PD' .ACP PDB. (2)解：：ACP PDB, .∠APC=LPBD, :△PCD是等边三角形， .∠CPD=∠CDP=60°， ∴∠PBD+∠DPB=60°， ∴.∠APC+∠DPB=60°， .∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=60°+60°=120°. 题型3：利用相似三角形性质证明比例关系 【例3】如图，ABC中，AB<AC,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点F,证 明：AB·DF=AC·EF. 10/51