精品解析：浙江省杭州地区（含周边）2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 1或 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数，则（ ） A. 16 B. 8 C. 2 D. -2 5. 函数的图象大致为（ ） A B. C D. 6. 使得不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各选项给出的数学命题中，正确的有（ ） A. 集合，表示相等集合 B. 若一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 计算_____. 13. 已知函数，若当时，，则的最大值是_____. 14. 已知函数，，对任意，不等式恒成立，则的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数（且）过点（0，1）. （1）求的值，并写出的解析式； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）若，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式（无需证明）. 17. 为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿. （1）当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 18 已知函数，若，且当时. （1）求，的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点； （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】，， 则， 故选：A 2. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与单调性求解实数的值. 【详解】知函数是幂函数， 则，解得或， 当时，，其在上单调递减，不符合题意， 当时，，其在上单调递增，符合题意， 故. 故选：B. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题否定可得出结论. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. 16 B. 8 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数解析式即可求解. 【详解】由解析式可得：， 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑时，由的单调性排除ABC，再根据函数图象的对称轴得到D正确. 【详解】当，即时，单调递增，排除ABC选项， 又，即的图象关于对称，D正确. 故选：D 6. 使得不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定已知不等式充要条件，分别求解四个选项得不等式，结合充分不必要条件判断即可得结论. 【详解】使得不等式成立充要条件为且， 若，则可得或或； 若，则； 若，则； 若，则且； 综上可得，得不等式成立一个充分不必要条件是. 故选：B. 7. 已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性进行求解即可． 【详解】若在上增函数， 则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 8. 已知函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式求解可得，结合对称性可得函数关于对称，从而由零点的唯一性可得的值. 【详解】因为， 则， 则函数关于对称， 要使得函数的图象与轴有且只有一个交点，根据对称性可得， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各选项给出的数学命题中，正确的有（ ） A. 集合，表示相等集合 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据集合描述法结合函数定义域与值域化简集合，即可判断集合是否相等，从而判断A；利用待定系数法求解一次函数解析式即可判断B；根据函数结构分离函数结合函数单调性求值域即可判断C；根据一元二次不等式的解集确定参数关系，从而解新的一元二次不等式即可判断D. 【详解】对于A，集合，，故两个集合不相等，故A不正确； 对于B，若是一次函数，则， 所以， 则，解得，所以，故B正确； 对于C，函数，则函数在上单调递增， 当时，，又，故函数的值域为，故C正确； 对于D，若关于的不等式的解集为， 则，所以， 则不等式转化为， 即，解得， 故不等式的解集为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：分析可知，运算求解即可；对于B：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可；对于CD：利用基本不等式直接运算求解即可. 【详解】因为，，且， 对于选项A：因为，则，解得，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 即，可得，所以，故C错误； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，令，得或，令，得，结合，求得；对B，令，结合，利用偶函数定义判断；对C，令，得，即可判断；对D，由B、C的解析可得函数的一个周期为4，从而计算可判断D. 【详解】对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A错误； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数的图象关于成中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，所以， 即，所以，故函数的一个周期为4， 因为，，，， 所以， 所以，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 13. 已知函数，若当时，，则的最大值是_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，分别确定函数的单调性以及确定和时的值，从而可得当时，时，得的取值范围，从而得的最大值. 【详解】当时，为增函数，则，且， 当时，，则在上递减，上递增， 且，， 当时，，则，， 故的最大值是. 故答案为：5. 14. 已知函数，，对任意，不等式恒成立，则的最大值为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】将不等式转化为，结合可得，换元令，则不等式转化为，设，结合函数单调性求最值即可得的取值范围结合，从而得的最大值. 【详解】不等式即为， 整理得， 因为，两边同除以得， 令，不等式可转化为， 设，对恒成立， 因为，所以，则在上单调递减， 所以，解得，又， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得，进而利用交集的意义求得，利用补集的意义求得，利用并集的意义求得； （2）令，由题意可得，求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得，所以， 又，所以， 或，或. 【小问2详解】 由可得， 令，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数（且）过点（0，1）. （1）求的值，并写出的解析式； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）若，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式（无需证明）. 【答案】（1）， （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数过点(0,1)求解即可； （2）由题意可得，根据函数奇偶性的定义判断并证明即可； （3）由题意可得，且，求解即可. 【小问1详解】 依题意，， 解得或， 而，， 故， 所以； 【小问2详解】 为奇函数，证明如下： 由（1）知，，定义域为， ， 所以函数是奇函数； 【小问3详解】 因为， 即，① 所以， 又因为为奇函数，为偶函数， 所以，② 由①②可得，， 所以 17. 为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿. （1）当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】（1）不盈利，5000元到20000元 （2）400吨 【解析】 【分析】（1）当时，该项目获利，说明不获利；当，时，取得最大值，要使该单位不亏损，从而得国家需要补偿资金的范围； （2）分段讨论，①当时，求出的最小值；②当时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低． 【小问1详解】 当时，设该项目获利为， 则， 所以当时，，因此该单位不会获利， 当时，取得最大值-5000， 当时，取得最小值-20000， 所以国家每月补贴的范围是5000元到20000元. 【小问2详解】 由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 ①当时，， 所以当时，取得最小值240； ②当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 18. 已知函数，若，且当时. （1）求，的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式与已知条件建立等式关系求解，的值，即可得的解析式； （2）根据函数单调性的定义取值、作差、变形、定号证明单调性即可； （3）根据函数的奇偶性与，结合单调性将不等式转化为，根据不等式恒成立，从而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题知：，得，即， ， 则，， 所以； 【小问2详解】 在中任取， 则， 由，， 所以，， 则，故在上单调递减； 【小问3详解】 由（2）同理可知，在单调递增， 易知为奇函数，又由， 要使，即， 所以，则， 又，所以，当且仅当，即时，， 所以. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. （1）函数，，，求，的偏差以及偏差点； （2）函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； （3）证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 【答案】（1）， （2），偏差最小值为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“偏差”的概念，一元二次函数的性质，即可求解； （2）根据“偏差”的概念，利用函数的单调性，分类讨论，即可求解； （3）根据“偏差”的概念，建立函数模型，通过函数思想，即可求解． 【小问1详解】 记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； 【小问2详解】 设， 当时，， 所以， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. 【小问3详解】 法1：要证是在上在切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证，即证， 设，则，，， 所以，即， 当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有， 即（1），（2），（3）， 由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3：记直线，设， 因为，所以，要使取到最小值，则， 解得，，所以直线是函数在上的最佳逼近. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $