4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念应用与性质探究，通过钢管堆放问题导入，引导学生观察规律引出性质，再以设备折旧建模、插入项构成新数列、角标和性质证明三个情境问题递进，搭建从实际到抽象的学习支架。 其亮点在于结合数学建模与逻辑推理核心素养，情境问题一通过设备价值折旧建立等差数列模型，培养用数学语言表达现实世界的能力，性质证明融合代数推导与几何解释（点在直线上的中点性质），深化数学思维。题型专练与真题感知巩固知识，课堂小结系统梳理性质，学生能提升应用与推理能力，教师可高效开展教学。

·选择性必修第二册· 第四章 数列 4.2.1 等差数列的概念 (第2课时) 1 2 学习目标 通过从实际问题中识别等差关系，并建立等差数列模型解决问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，提升数学建模核心素养. 通过体验等差数列性质的探索过程，体会知识形成过程的重要性，培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力，提升逻辑推理核心素养.掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养. 情景导入 01 4.2.1 等差数列的概念(第2课时) 引入新知 思考：假设我们把这堆钢管倒过来放置，如图2，你能从中发现什么规律吗? 引入新知 那么这种规律性是否具有一般性呢？本节课，我们将学习等差数列的概念和通项公式的实际应用，进而探究等差数列的性质。 应用新知 02 4.2.1 等差数列的概念(第2课时) 应用新知 情境问题一： 例1：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少 d（d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定 d 的取值范围． 思考： 如何根据实际意义建立数列模型? 题目条件中包含哪些不等关系? 利用什么公式列不等式? 等差数列 等差数列通项公式 应用新知 分析 解 析 应用新知 方法总结 建模 列约束 求解 牛刀小试 解 析 应用新知 情境问题二： 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差? 判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 等差数列通项公式 建立关于n的方程 应用新知 分析 解 析 应用新知 思考： 如果插入数，那么的公差是多少？ 应用新知 分析 解 析 应用新知 思考： 对于(2),你还有其他解法么？ 应用新知 方法总结 确定新数列的首项 计算新数列的公差 写出新数列的通项公式 等差数列插入项构成新等差数列 应用新知 思考： 对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 证明：∵是等差数列，公差为，∴ ，， 即，，，…()是公差为的等差数列． ∴， 即. 牛刀小试 解 析 应用新知 情境问题三： 分析 应用新知 证 明 思考： 当公差 d = 0 时, 不一定成立; 当 d ≠ 0 时, 一定成立. 应用新知 思考： 应用新知 思考：例3是等差数列的一条性质（角标和性质），图4.2-2是它的一种情形． 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 应用新知 等差数列的性质 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 重要题型 03 4.2.1 等差数列的概念(第2课时) 重要题型专练 题型一 等差数列性质的应用 例题 解 析 重要题型专练 题型二 等差数列中对称设项法的应用 例题 解 析 重要题型专练 方法总结 等差数列设项方法与技巧 重要题型专练 题型三 等差数列的实际应用问题 例题 解 析 重要题型专练 题型三 等差数列的实际应用问题 例题 解 析 真题感知 04 4.2.1 等差数列的概念(第2课时) 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 真题感知 解 析 课堂笔记 05 4.2.1 等差数列的概念(第2课时) 课堂笔记 小结及课后作业 06 4.2.1 等差数列的概念(第2课时) 课堂小结 等差数列的 灵活设元问题 等差数列 的性质 性质2： 性质3： 性质1： 作业布置 巩固作业：教科书第25页习题4.2第5、6、8题 课后练习答案 07 4.2.1 等差数列的概念(第2课时) 课后作业答案 教科书第25页习题4.2第5题 课后作业答案 教科书第25页习题4.2第6题 课后作业答案 教科书第25页习题4.2第8题 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林.同样， 数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子：如图1，某仓库有一堆 钢管，最上面有四根，下面每一层比它的上一层多一根，记最上层钢管数为 ，往下每一层的钢管数依次记为，则，，， ，，. 数列是等差数列. 每一层的钢管数量一样多，用数学符号表示为：. 这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内 （含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后， 这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得:， 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是 根据题意，得：，即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组） 将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 练1．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 例2：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． (1) 是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以 利用等差数列的定义得出的通项公式； （1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以． 所以，数列的通项公式是 由题意可知，，，于是， 因为，所以，即， 所以数列的通项公式是： (2) 设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与 的关系式，由此即可判断是否为的项. （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． （2）由第（1）知，所以， 因为，所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 新数列首项与原数列首项相同，即 设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 练2．已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为 ． 设等差数列的公差为，则， 在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为， 故新数列的首项为，故通项公式为， 故. 故答案为：31 例3：已知数列是等差数列，，且． 求证：． 只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件 即可得证． 设数列的公差为，则 所以， 因为， 所以 已知数列是等差数列，，且， 则成立么？ （1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 由，易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列 的某一项和公差d表达第n项，即， 变形可得. (1)等差数列的图象是点组成的集合， 这些点均匀分布在同一条直线上，所以，点 在同一条直线上； (2)设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点M与点N重合，所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 练3．已知数列为等差数列，若，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 数列为等差数列，所以. 故选：C 练4．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D．3 因为数列为等差数列，则， 即，所以. 故选：D. 已知数列为等差数列，且公差为. 若，，求公差. 由 ，得 ，∴ . 由 ，解得 或 ， ∴ 或 . ∴公差 为3或 . 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. （1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． （2）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 1．（24-25高二下·海南海口·期末）在等差数列中，已知，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习） 设等差数列满足，，则的首项为 . . 故答案为：18 3．（24-25高二上·江苏南京·期末） 若为等差数列，则“”是“”的（　　 ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 设数列的公差为，若等差数列为常数列，则任意的，都有，所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 4．（23-24高二上·安徽·期末） 已知等差数列满足，则的值为 ． 由题意可得：，则， 所以. 故答案为：3. 5．（23-24高二上·河北·阶段练习） 已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 根据等差数列性质可得，则， ， 当且仅当，即，时，取“”号． 故选：C． 6．（22-23高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……，故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 等差数列的性质： 在等差数列中，若，则 ． 特别地，若，则有 ． 5.已知一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大的 边长为44cm，公差为3cm、求这个多边形的边数． 解：由题意可知：，， 则， 即， 得 解得或（舍去），故这个多边形的边数为4. 6. 已知数列，都是等差数列，且，，， 求数列的前100项和． 解：因为数列，都是等差数列，所以也是等差数列， 又，，， 则数列的前100项和为：． 8. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两 个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的 各项之和． 解：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为，这个新数列的各项之和为1472 $