4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 导学案 (1) 经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. (2) 能用递推公式描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径. (3) 能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 情境引入 传统文化：生肖纪年是中国传统纪年方式，以 12 种动物对应十二地支，每 12 年为一个循环. 常用于记生日、传统民俗(如本命年)等，是中华文化重要符号. 2025年是蛇年，从2025年开始，蛇年的年份依次为: 2025，2037，2049，2061，2073，… 思考：从2025年开始的第10个蛇年是哪一年？2241年是不是蛇年？今年到2241年之间有多少个蛇年？ 请看下面几个问题中的数列． 情境1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 情境2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48． ② 情境3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③ 思考：把以上情境中数列汇总如下，观察数列，找出规律并填空 引入中数列：2025，2037，2049，2061，2073，（ ） 情景①数列： 9，18，27，36，45，54，63，72，81，（ ） 情景②数列： 34，36，38，40，42，44，46，48，（ ） 情景③数列： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6，（ ） 总结：共同的规律：从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示． 思考：你能用符号语言表示数列为等差数列吗? 数列第n项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ ① 数列第n+1项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ ② ①②都是等差数列的递推公式 牛刀小试： 练1：数列: 3，4，7，9. 甲说：因为4-3=1，7-4=3，9-7=2，后一项减前一项都是常数，所以该数列是等差数列，你认为甲说的对吗？ 预设：不对，差必须是同一个常数 练2：求以下等差数列的公差 2，4，6，8，10，12 预设：2,1 练3：是等差数列吗？ 预设：不是，从第二项起才是等差数列 练4：（多选）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 预设：由等差数列定义，对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 定义：特别地，由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmeticmean）．根据等差数列的定义可以知道，． 牛刀小试： 练5：与4的等差中项为 . 预设：若与4的等差中项为，则. 故答案为：1 练6：与的等差中项为 . 预设：与的等差中项为:. 故答案为：2. 练7：若，a，1依次成等差数列，则（    ） A．1 B．0或1 C．－2或1 D．或1 预设：因为，a，1依次成等差数列，所以，解得． 故选：A. 问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得 ， 就是等差数列的递推公式． 所以，，，…． 于是 …… 归纳可得． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 以上方法为不完全归纳法 思路二：（累加法） 由定义得,将这些等式的两边分别相加得. 也就是. 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公差为的等差数列的通项公式为： 思考：何时想到用累加法？ 预设：已知条件中含相邻两项之差，比如 等差数列的通项公式为： 追问：等差数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等差数列的基本条件吗? 首项、公差、项数、第项.其中，首项、公差是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等差数列.因此，在解决等差数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 牛刀小试: 练8：已知等差数列中，，公差，则 . 预设：. 答案为： 练9：已知等差数列中，，，则其公差（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 预设：因为在等差数列中，，， 所以公差． 故选：B. 练10：若数列满足，，则 ． 预设：由题意得，故数列为首项为，公差为2的等差数列， 则，故． 故答案为：19. 思考：我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 由于， 所以， 当时，数列为常数列；的图象为均匀分布在平行于轴的一条直线上的散点； 当时，等差数列的第项是一次函数，当时的函数值，即． 如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线．在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象． 事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上． 反之，任给一次函数（为常数)，则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为． 牛刀小试： 练11：已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差；(2)画出数列的图象；(3)判断数列的增减性 预设：（1）等差数列的通项公式为，所以首项， 公差. （2）图 （3）由，，得，因此， 所以数列是单调递减数列. 例1：（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项． （2）求等差数列8，5，2，…的第20项． 预设：（1）当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为，首项为3 （2）由已知条件，得：，把，代入， 得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是． 例2：是不是等差数列的项？如果是，是第几项? 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于的方程，再看是否能使这个方程有正整数解． 预设：由，，得这个数列的通项公式为 令解这个关于 的方程，得． 所以，是这个数列的项，是第100项 判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程.若方程有正整数解，则它就是，否则不是. 方法小结：等差数列通项公式中的四个参数及其关系 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 牛刀小试： 练12 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 预设：设这个等差数列为，其公差为， ∴插入的3个数依次为，14，． 题型一：等差数列通项公式的基本量计算 例题：在等差数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求． 解析：（1）在等差数列中，由，得：， 解得，所以. （2）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以. （3）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以. 题型二：等差中项的应用 例题 已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项； 解析：∵a和2b的等差中项是5，∴a + 2b = 10.① 又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a + 4b = 14.② 由①②解得 ∴2a和3b的等差中项为. 方法总结：等差数列等差中项的应用 由等差数列的定义知，即 ，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项，此表达式可以用来判定等差数列.在设等差数列的项时，可利用上述性质. 题型三：等差数列的判定与证明 例题：（1）数列满足，．证明数列是等差数列 解析：由，可得， 又，所以 数列是以为首项，2为公差的等差数列 (2) （2）已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列 解析： ∴，为常数（）. 又，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 方法规律：判定等差数列常用的2种方法 (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习） 已知数列满足，，则 ． 预设：由题意有：，所以数列是以2为公差，首项为1的等差数列， 所以， 故答案为：. 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习） 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（    ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 预设：由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 3．（25-26高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，，.则公差d＝（    ） A．－10 B．－5 C．10 D．5 预设：公差．故选：D 4．（24-25高二上·全国·课后作业） 已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 预设：因为，则， 因为构成等差数列，则，即，即， 因为构成等差数列，则，即，解得． 5．（24-25高二下·北京·期中）在等差数列中，，，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．9 预设：由设等差数列的公差为，则， 故， 故选：C. 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的公差为，则（    ） A． B． C． D． 预设：因为等差数列的公差为，所以.故选：C. 7．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，则__________. 预设：由，得， 所以故数列是一个公差为，首项为的等差数列. . 故答案为： 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知数列满足：，.若， 求证：（1）为等差数列. （2）求数列的通项公式. 预设：（1）因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由(1)知， 又，所以，即数列的通项公式为. 1． 条件 从第 项起 每一项与它的 的差都等于 . 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的 .，通常用字母 表示 【答案】 2 前一项 同一个常数 公差 d 2．如果是等差数列，那么称为与的 ，且 ． 【答案】等差中项 3．如果等差数列的首项是，公差是，那么等差数列的通项公式为 .通项公式的推广： ． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 导学案 (1) 经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. (2) 能用递推公式描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径. (3) 能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 情境引入 传统文化：生肖纪年是中国传统纪年方式，以 12 种动物对应十二地支，每 12 年为一个循环. 常用于记生日、传统民俗(如本命年)等，是中华文化重要符号. 2025年是蛇年，从2025年开始，蛇年的年份依次为: 2025，2037，2049，2061，2073，… 思考：从2025年开始的第10个蛇年是哪一年？2241年是不是蛇年？今年到2241年之间有多少个蛇年？ 请看下面几个问题中的数列． 情境1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 情境2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48． ② 情境3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③ 思考：把以上情境中数列汇总如下，观察数列，找出规律并填空 引入中数列：2025，2037，2049，2061，2073，（ ） 情景①数列： 9，18，27，36，45，54，63，72，81，（ ） 情景②数列： 34，36，38，40，42，44，46，48，（ ） 情景③数列： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6，（ ） 总结：共同的规律：从第 项起，每一项与它前一项的差都等于 . 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 （arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的 （common difference），公差通常用字母 表示． 思考：你能用符号语言表示数列为等差数列吗? 数列第n项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ _______________________________ ① 数列第n+1项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ _______________________________ ② ①②都是等差数列的递推公式 牛刀小试： 练1：数列: 3，4，7，9. 甲说：因为4-3=1，7-4=3，9-7=2，后一项减前一项都是常数，所以该数列是等差数列，你认为甲说的对吗？ 练2：求以下等差数列的公差 2，4，6，8，10，12 练3：是等差数列吗？ 练4：（多选）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 定义：特别地，由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列． 这时，叫做与的 （arithmeticmean）．根据等差数列的定义可以知道，____________． 牛刀小试： 练5：与4的等差中项为 . 练6：与的等差中项为 . 练7：若，a，1依次成等差数列，则（    ） A．1 B．0或1 C．－2或1 D．或1 问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得 ， 就是等差数列的递推公式． 以上方法为 思路二：（累加法） 思考：何时想到用累加法？ 等差数列的通项公式为：_______________ 追问：等差数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等差数列的基本条件吗? 牛刀小试: 练8：已知等差数列中，，公差，则 . 练9：已知等差数列中，，，则其公差（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 练10：若数列满足，，则 ． 思考：我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 反之，任给一次函数（为常数)，则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为． 牛刀小试： 练11：已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差；(2)画出数列的图象；(3)判断数列的增减性 （3）由，，得，因此， 所以数列是单调递减数列. 例1：（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项． （2）求等差数列8，5，2，…的第20项． 例2：是不是等差数列的项？如果是，是第几项? 判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程.若方程有正整数解，则它就是，否则不是. 方法小结：等差数列通项公式中的四个参数及其关系 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 牛刀小试： 练12 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 题型一：等差数列通项公式的基本量计算 例题：在等差数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求． 题型二：等差中项的应用 例题 已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项； 方法总结：等差数列等差中项的应用 由等差数列的定义知，即 ，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项，此表达式可以用来判定等差数列.在设等差数列的项时，可利用上述性质. 题型三：等差数列的判定与证明 例题：（1）数列满足，．证明数列是等差数列 (2) （2）已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列 方法规律：判定等差数列常用的2种方法 (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习） 已知数列满足，，则 ． 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习） 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（    ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 3．（25-26高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，，.则公差d＝（    ） A．－10 B．－5 C．10 D．5 4．（24-25高二上·全国·课后作业） 已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 5．（24-25高二下·北京·期中）在等差数列中，，，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．9 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的公差为，则（    ） A． B． C． D． 预设：因为等差数列的公差为，所以.故选：C. 7．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，则__________. 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知数列满足：，.若， 求证：（1）为等差数列. （2）求数列的通项公式. 1． 条件 从第 项起 每一项与它的 的差都等于 . 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的 .，通常用字母 表示 2．如果是等差数列，那么称为与的 ，且 ． 3．如果等差数列的首项是，公差是，那么等差数列的通项公式为 .通项公式的推广： ． kljj 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $