4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 题型一：等差数列通项公式的基本量计算 1．已知等差数列中，，则公差（    ） A．4 B．3 C． D． 2．若公差为的等差数列满足，，则n等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知数列为等差数列，，则的公差为（    ） A．2 B．6 C．1 D．14 4．已知等差数列，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．5 5．等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 6．在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 7．在等差数列中，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．28 8．已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 题型二：求等差中项 1．若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 2．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 3．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C． D．3 4．方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 题型三：等差中项的应用 1．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为 3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知为椭圆C上一点，，为椭圆的焦点，且，若与的等差中项为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是 . 6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 题型一：定义法求等差通项公式 1．在数列中，，，则（    ） A．121 B．100 C．81 D．64 2．已知在数列中，，，则等于 ． 3．已知数列满足：，若，则（    ） A．48 B．24 C．16 D．12 4．已知数列，若，则（    ） A． B． C． D． 5．在数列中，，则 ． 题型二：等差数列的判定与证明 1．已知数列满足：，，若，求证：为等差数列. 2．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 3．已知数列满足，．证明数列是等差数列，并求的通项公式； 4．已知数列满足，. 证明：是等差数列； 5．数列满足. (1)求的值； (2)设，证明是等差数列. 6．已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 1．在等差数列中，，，则 2．（多选）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 3．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 4．在数列中，，点在直线上，求数列的通项公式； 5．已知数列，若，点、在斜率是的直线上.求数列的通项公式； 6．已知数列中，，且，则 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 题型一：等差数列通项公式的基本量计算 1．已知等差数列中，，则公差（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】在等差数列中，， 所以有． 故选：B 2．若公差为的等差数列满足，，则n等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得. 故选：B. 3．已知数列为等差数列，，则的公差为（    ） A．2 B．6 C．1 D．14 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式的变形即可得解. 【详解】根据题意，因为等差数列中，， 所以公差. 故选：B． 4．已知等差数列，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】B 【分析】设出等差数列的公差为，建立等量关系求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 解得：，. 故选：B. 5．等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为， ，则， ，则，解得，， ． 故选：B． 6．在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质可得公差为，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以. 故选：D 7．在等差数列中，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．28 【答案】B 【分析】利用等差数列等差中项求解即可. 【详解】因为等差数列中，， ， 故选：. 8．已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的定义可求得结果. 【详解】、的等差中项为. 故选：B. 题型二：求等差中项 1．若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】因为、、成等差数列，则. 故选：A. 2．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据等差中项的概念求值. 【详解】由题意：. 故选：D 3．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】利用等差中项的定义即求. 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴和的等差中项是． 故选：D. 4．方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理求出方程的两根，再根据等差中项的定义即可得解. 【详解】设方程的两根为，则， 所以方程的两根的等差中项为. 故选：D. 5．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 题型三：等差中项的应用 1．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案. 【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列， 故选：B. 2．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为 【答案】2 【分析】利用等差中项的性质和通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值. 【详解】设等差数列的公差为d， 由已知条件，得 ， 即，解得. 故答案为：2. 3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得、，利用余弦定理化简计算即可求解. 【详解】由，得， 由成等差数列，得， 由余弦定理，得， 即， 整理，得，由得， 由得. 故选：C. 4．已知为椭圆C上一点，，为椭圆的焦点，且，若与的等差中项为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，求出椭圆长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程即得. 【详解】依题意，椭圆的半焦距，长半轴长，则， 因此，短半轴长， 焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为， 焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为. 故选：AB 5．若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是 . 【答案】/0.8 【分析】依题意得到关于的齐次方程，求解即得离心率. 【详解】依题意，成等差数列，则有，， 化简并两边平方可得，， 因，代入整理得，，解得. 故答案为：. 6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，春分当日日影长为，所以立夏当日日影长为. 故选：D 题型一：定义法求等差通项公式 1．在数列中，，，则（    ） A．121 B．100 C．81 D．64 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得数列是公差为的等差数列，即可得到结果. 【详解】因为，所以，故数列是公差为的等差数列， 因为，所以，则. 故选：C 2．已知在数列中，，，则等于 ． 【答案】 【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解． 【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故，所以． 故答案为：． 3．已知数列满足：，若，则（    ） A．48 B．24 C．16 D．12 【答案】A 【分析】先根据条件得到数列为公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式及对数的运算性质计算即可. 【详解】由得， 所以数列为公差为1的等差数列， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 4．已知数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定数列为等差数列，根据等差数列的通项公式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：C． 5．在数列中，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据数列递推式，判断为等差数列，即可求出的表达式，从而可求得答案. 【详解】因为，，所以为等差数列，公差为1，首项为， 故，所以，而，故， 故， 故答案为： 题型二：等差数列的判定与证明 1．已知数列满足：，，若，求证：为等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而得证； 【详解】因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； 2．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】对递推数列两边同时去倒数，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，即可求出数列的通项公式. 【详解】因为，，所以， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以． 故答案为：. 3．已知数列满足，．证明数列是等差数列，并求的通项公式； 【答案】 【分析】根据数列递推公式进行合理变形得出，利用等差数列的定义可判断并求得数列的通项公式； 【详解】由，可得， 即，即， 故数列是等差数列，其首项为，公差为1， 则，解得； 4．已知数列满足，. 证明：是等差数列； 【答案】证明见解析 【分析】将已知表达式变形为，通过配凑的方法可以得到是等差数列； 【详解】由题可知， 所以，所以. 所以. 又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. 5．数列满足. (1)求的值； (2)设，证明是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可； （2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）数列满足 所以， （2）∵ ∴为等差数列. 6．已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）采用迭代法，可求，; （2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式. 【详解】（1）因为，且， 当时，， 当时，. （2）因为， 所以， 两边同时取倒数有：， 令，有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 1．在等差数列中，，，则 【答案】 【分析】由题意建立等式，求得等差数列的首项和公差后计算即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 故答案为：. 2．（多选）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【详解】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 3．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解. 【详解】由，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 4．在数列中，，点在直线上，求数列的通项公式； 【答案】 【分析】由题意得到即可求解； 【详解】点在直线上，∴， ∴，又， ∴数列为首项为，公差为的等差数列， 所以. 5．已知数列，若，点、在斜率是的直线上.求数列的通项公式； 【答案】 【分析】斜率公式结合等差数列的定义推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求出数列的通项公式； 【详解】由点、在斜率是的直线上得：， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. 6．已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $