精品解析：江苏省奔牛高级中学、武进高级中学2025-2026学年高二上学期期中质量调研数学试卷

2024级高二第一学期期中质量调研 数学试卷 2025年11月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的） 1. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 2. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 3. 直线和，若，则实数的值为（ ） A. 或 B. C D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质列式求解即可，但是要注意检验是否重合的情况. 【详解】若，则，整理得，解得或， 当时，，，即，两直线平行，符合题意； 当时，，即，，即， 两直线平行，符合题意； 综上所述，或. 故选：A 4. 曲线表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程变形得，再列出不等式组即可. 【详解】， 则，解得或. 故选：B. 5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 6. 过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线关于直线对称，则直线与直线垂直，再联立直线与直线即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为, 因为直线关于直线对称， 则直线与直线垂直， 所以直线的方程为，即， 由解得，， 所以点的坐标为. 故选：D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若点在轴上方，可得其不符合题意，舍去，若点在轴下方，则有，再结合正弦定理及离心率定义计算即可得解. 【详解】由椭圆焦距为，故，故直线经过点， 若点在轴上方，有，即， 又，则， 此时，不符，故舍去； 若点在轴下方，有，即， 又，则， 则， 故 . 故选：C. 8. 双曲线（，）的左、右焦点为，，过的直线与C的左支交于P，Q两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的定义分别得到，再由，结合余弦定理代入计算，化为的齐次式，即可得到结果. 【详解】因为，故， 且，故，故， 根据余弦定理， ，且， 代入计算可得， 化简可得，即，解得或（舍去）. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 10. 已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：证明为矩形即可判断； 对于B：利用渐近线的性质结合离心率的公式即可判断； 对于C：计算出，将转化成再结合渐近线的性质即可判断； 对于D：根据双曲线的定义即三角形边的关系即可判断. 【详解】设双曲线的右焦点为，因为直线过原点，所以为平行四边形， 对于A：因为，所以为矩形，所以，故A正确； 对于B：若，由渐近线的性质可知：，所以，故B正确； 对于C：，由渐近线的性质可知，在中，，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 11. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A. 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】确定两圆位置关系判断A；两圆方程相减求出公共弦所在直线方程判断B；求出直线所过定点，进而求出最短弦长判断C；求出弦的中点的轨迹，进而求出最大值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误； 对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得 ，即，B正确； 对于C，直线恒过定点，，点在圆内， 当时，取得最小值，此时直线,但是直线不能表示直线,所以C不正确； 对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时， ，有，当与点之一重合，上式成立，则， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，， 而，因此的最大值为，D正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题D选项，求出弦的中点的轨迹，转化为定点与圆上点间距离最大值问题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的准线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】 先将抛物线方程化为标准形式，求出的值，即可求解. 【详解】由得抛物线方程为，所以， 所以抛物线的准线方程是， 故答案为：. 13. 椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，根据题意可得到，并且当且仅当三点共线时等号成立，，由此可求出的长，进而可求的面积. 【详解】设椭圆的右焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立， 所以的周长， 此时， 所以此时的面积为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左右顶点分别为、，点是圆上不同于、两点的一动点，直线与双曲线交于点，若直线斜率的取值范围是，则的斜率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，由已知求得，再由圆的性质得，所以．由此可求得答案. 【详解】由题可知，，设，则，， 所以．因为，所以，即① 因为点在圆上，所以，所以．②又， 结合①②可知，．因为， 所以． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知两直线，. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，，判断直线与以，为直径的圆的位置关系； 【答案】（1）； （2）相离. 【解析】 【分析】（1）求出交点坐标，根据垂直求斜率，然后由点斜式可得方程； （2）求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断. 【小问1详解】 解方程组，得，即直线的交点坐标为， 因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为， 所以所求直线方程为，即. 【小问2详解】 因为，， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离，， 所以圆与直线相离. 16. 已知圆过点，且与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若为直角三角形，求直线的斜率； 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）借助切线的垂直性质确定圆心轨迹，结合圆上点的距离关系求解圆的方程. （2）利用直角三角形的几何性质确定圆心到直线的距离，再通过点到直线的距离公式求斜率. 【小问1详解】 直线的斜率为， 依题意，圆与直线相切于点， 所以过且与垂直的直线斜率为，方程为，即. 设圆心，由，得，平方后解得， 故圆心，半径，圆的方程为. 【小问2详解】 因为直角三角形且，故圆心到直线的距离. 设直线的斜率为，方程为， 由点到直线的距离公式，解得. 17. 已知动点P到定点距离与到直线的距离之差为1（P不在直线l左侧）. 过点F作直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，点C位于轨迹上异于A、B的一点，且点C到直线AB的距离为. （1）求动点P的轨迹方程； （2）求面积的最小值. 【答案】（1）动点P的轨迹方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）设点，由题意可得，化简可得动点P的轨迹方程； （2）分直线斜率是否存在两种情况求得的范围，进而可求得面积的最小值. 【小问1详解】 设点，由动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1， 所以， 因为P不在直线l左侧，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以动点P的轨迹方程为； 【小问2详解】 当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入方程，得， 所以，整理得， 因为直线与动点P的轨迹交于A、B两点，所以， 设，则， 所以 令，所以 ， 所以， 当斜率不存在时，直线方程为，所以， 此时，所以， 综上所述：，所以面积的最小值为. 18. 椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率计算可得，再将代入椭圆方程中计算可得其交点，结合弦长即可得解； （2）设、直线与椭圆另一交点为，则有，设出并联立椭圆方程，可得与横坐标有关韦达定理，再表示出直线后，令计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，则， 当直线平行于轴时，，联立，则， 故，解得，则， 即椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，若直线与椭圆仅有交点，则直线与椭圆仅有交点， 且平行轴，不符，故可设直线与椭圆另一交点为， 由直线，关于轴对称且直线不平行轴，则， 且两直线斜率存在，设， 联立，消去得， ，即， 有、， 则， 由对称性可得，若直线过定点，则定点必轴上， 令，则 ， 故直线过定点. 19. 如图，双曲线：的虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，，直线与直线及轴的交点分别为，. （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由虚轴及离心率可得，即可得双曲线方程； （2）令，设直线为：，将直线BC方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得，.（i）代入，可得，，结合，可得，最后由可得答案；（ii）由，结合，，，可得关于的表达式，然后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题知，解得，双曲线E的标准方程为； 小问2详解】 令，设直线为：，与联立得，当时， 设，则由韦达定理，及题意可得： 则，，. （i）当时，，， 由，得， 又因为，即， 所以； （ii）由题知，. 因为， 所以，又，， 则， ， 又， 则， 则， 当取得，此时满足题意. 综上，的最小值为. 【点睛】关键点睛：对于双曲线中所涉及的范围问题，常利用双曲线上点的横坐标范围，判别式，点与双曲线位置关系求解；对于最值问题，常先找到所求量关于某变量的表达式，再利用函数知识或基本不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期期中质量调研 数学试卷 2025年11月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的） 1. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 3. 直线和，若，则实数的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 曲线表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线（，）的左、右焦点为，，过的直线与C的左支交于P，Q两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 10. 已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A. 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的准线方程是______. 13. 椭圆左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________. 14. 已知双曲线的左右顶点分别为、，点是圆上不同于、两点的一动点，直线与双曲线交于点，若直线斜率的取值范围是，则的斜率的取值范围是_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知两直线，. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，，判断直线与以，为直径的圆的位置关系； 16. 已知圆过点，且与直线相切于点. （1）求圆方程； （2）过点直线与圆交于，两点，若为直角三角形，求直线的斜率； 17. 已知动点P到定点距离与到直线的距离之差为1（P不在直线l左侧）. 过点F作直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，点C位于轨迹上异于A、B的一点，且点C到直线AB的距离为. （1）求动点P的轨迹方程； （2）求面积的最小值. 18. 椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 19. 如图，双曲线：的虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，，直线与直线及轴的交点分别为，. （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $