精品解析：河北省沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

河北省沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，函数取得最小值4. 故选：C. 2. 若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，利用幂函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系. 【详解】因为在上为减函数，故，即， 又在上为增函数，故，即，故. 故选：C. 3. 若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直、数量积的运算可得答案. 【详解】因为 ，所以， 即， 可得，因为，所以. 故选：C. 4. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算，即可求得答案. 【详解】由， 得， 故选：A 5. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与所成的角相等，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误， 对于B，与所成的角相等，则可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误， 对于C，，则可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误， 对于D，，则，D正确， 故选：D 6. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 7. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 8. 已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在椭圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程. 【详解】设,则的直线方程为，， 整理得, 由解得，，定点 ，则为中点， ，即． 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下满足的集合A有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案. 【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集， 则所有符合条件的集合A为,,. 选项BD均不符合要求，排除. 故选：AC 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可． 【详解】对A，当时，由得， 又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，故A错误； 对B，设，则，则，故B正确； 对C，当时，由，得； 当时，由，得无解；故C正确； 对D，，都有 ，故D正确； 故选：BCD． 11. 已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（ ） A. 曲线C与直线恰有四个公共点 B. 曲线C与直线相切 C. 是关于的函数 D. 是关于的函数 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，构造，利用导数讨论其在上的零点个数为3后可判断其正误，对于B，利用导数可判断可判断其正误，对于C，结合零点存在定理可判断其正误，对于D，利用导数判断函数的单调性后可得其正误. 【详解】对于A，由消元法可得，所以， 当或时，或，故此时无解， 下面考虑上方程的解的个数， 设，其中， 设且，则的解为，， 而， 故当或时，，当时，， 故在，上为减函数，在上为增函数， 而，且， ，而，故， 故，， 故在有3个不同的实数根，故A错误； 对于B，由可得，故， 对两边求关于的导数， 则， 故当时，有， 当， ，而直线的斜率为2， 故曲线与直线相切，故B正确. 对于C，取，考虑即方程的解的个数， 设，则， ， ，， 故至少有两个零点，故有两个不同的解， 故不是关于的函数，故C错误； 对于D，，则， 故为的减函数，且当时，，当时，， 故对任意，方程即有唯一解， 故是关于的函数，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得. 【详解】依题意，函数，由，得， 则或， 由，得，由在上恰有5个零点， 得，解得， 由，得，即函数在上单调递增， 因此，即，且，解得， 所以正实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体，由求得函数的单调递减区间，由求得函数的单调递增区间． 13. 由于甲流暴发，防疫站对学生进行身体健康调查，对男女学生采用分层抽样法抽取. 学校共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是_______人. 【答案】720 【解析】 【分析】根据所给的总体与样本容量，计算出抽样比，求出女生被抽取的人数，根据女生被抽取的人数以及抽样比，可求得女生总人数. 【详解】设抽取的女生人数为人 因为对全校男女学生共1600名进行健康调查，用分层抽样法抽取一个容量为200的样本, 所以每个个体被抽到的概率是， 根据抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为女生比男生少抽了20人，且共抽200人， 所以，即女生要抽取90人， 因此女生共有， 故答案为：720 . 14. 已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使最大，结合圆的性质即可求解 【详解】解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点，且， 所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为， 要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一点，使最大， 根据题意可知两圆的圆心距为， 所以的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知某扇形的周长是8． （1）当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； （2）在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设该扇形的半径为，弧长为，可得，利用基本不等式可求扇形的面积的最大值；进而可求圆心角的大小； （2）由（1）知，．求得三角形的面积，进而可求弓形的面积. 【小问1详解】 设该扇形的半径为，弧长为， 则， 当且仅当时，等号成立， 此时该扇形的面积，， 其圆心角， 故所求圆心角． 【小问2详解】 由（1）知，． 又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积， 所以所求弓形的面积， 故所求弓形的面积是． 16. 如图，棱长为2的正方体中，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 连接交于，连接， 在正方体中，为的中点，且为中点， 所以是的中位线，即， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，根据线面平行判断定理从而得证； （2）根据正方体的性质及计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体中，平面， 所以； 17. 在中，，，． （1）求角A的大小； （2）求； （3）若线段AB上点D满足，求CD的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件切化弦，结合正弦和角公式整理化简计算即可； （2）先利用余弦定理结合第一问计算，再利用余弦定理计算即可； （3）先由内角和及正弦和角公式计算，再利用正弦定理求边即可. 【小问1详解】 由， 即， 又， 所以， 在中，，所以，则； 【小问2详解】 由，，， 结合余弦定理可得， 所以，则； 【小问3详解】 易知， 所以 ， 由正弦定理得. 18. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程相同，设双曲线的方程为且，将所过点代入求参数即可； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理表示出线段AB的中点坐标，结合点在圆上求参数即可. 【小问1详解】 设双曲线的方程为且， 将代入，得，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由，得， 设，则中点坐标为， 由韦达定理可得，所以， 所以中点坐标为，且在圆上， 所以，解得． 19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【答案】（1） 函数和＂2次缠绕＂， 理由如下：，当和时，， 则对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂． （2）； （3） 方法一：取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且和在上＂次缠绕＂． 方法二：记，取， 设，其中，则， 且当时，， 因为， 所以与同号，（＊） 为奇数时，设， 显然，且， 当时，与同号， 由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号； 所以． 为偶数时，设， 同理可知，，且和“次缠绕”． 综上，存在，使得， 且和在上“次缠绕” 【解析】 【分析】（1）找到和时，，则得到其为“2次缠绕”； （2）转化为存在互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可； （3）方法一：取，令，则，且，即可证明存在，则证明了结论；方法二： 记，取，设，再对分奇数和偶数讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 因为和在上＂3次缠绕＂， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． 注意到，所以1是的一个零点． ， ①当时，在上单调递增， 1是的唯一零点，不合题意． ②当时，在上单调递减， 1是的唯一零点，不合题意． ③当时，令，存在两根， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上单调递减，所以，即， 所以存在． 又， 所以存在． 所以恒成立， 即时，和在上＂3次缠绕＂， 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与所成的角相等，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 7. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在椭圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 以下满足的集合A有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 11. 已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（ ） A. 曲线C与直线恰有四个公共点 B. 曲线C与直线相切 C. 是关于的函数 D. 是关于的函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为__________. 13. 由于甲流暴发，防疫站对学生进行身体健康调查，对男女学生采用分层抽样法抽取. 学校共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是_______人. 14. 已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知某扇形的周长是8． （1）当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； （2）在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 16. 如图，棱长为2的正方体中，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 在中，，，． （1）求角A的大小； （2）求； （3）若线段AB上点D满足，求CD的长． 18. 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $