精品解析：吉林省长春市第十七中学2025-2026学年高三上学期第二学程考试数学试题

长春市第十七中学2025—2026学年度上学期第二学程考试 高三数学试题 出题人：李士民 审题人：宋亚东 一、单选题：本题共8.小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 4 5. 设函数是奇函数.若函数，，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 8. 定义已知函数．若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.漏选3分，错选0分. 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 若为偶函数，则________． 14. 如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________. 15. 在 中，角 、 、的对边分别为、 、 ，角 、 、成等差数列． （1）求的值； （2）边、 、 成等比数列，求的值． 四、解答题：本题共5小题，共77.分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数 （1）若在区间上的最大值是，求实数a的值； （2）若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 17. 已知等差数列的前项的和为. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和.并证明. 18. 如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点 在线段上. （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 19. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十七中学2025—2026学年度上学期第二学程考试 高三数学试题 出题人：李士民 审题人：宋亚东 一、单选题：本题共8.小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集运算求解，可判断的元素个数. 【详解】因为集合， 集合， 所以， 所以的元素个数为5. 故选：C 2. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出． 【详解】， 所以，选D． 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 5. 设函数是奇函数.若函数，，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得，再利用赋值法由代入计算可得结果. 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：B 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为 或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 7. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 8. 定义已知函数．若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义确定函数的解析式，作出其图象，结合条件，观察图象列不等式求出 的取值范围. 【详解】因为， 所以， 由，可得， 又，所以，即， 所以，， 作出函数的图象如下图所示： 因为方程有四个不同的实根， 则或或，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.漏选3分，错选0分. 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对数运算计算判断A；利用诱导公式计算判断B；利用二次根式化简判断C；利用辅助角公式计算判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用向量垂直计算判断A，应用向量平行得出正切进而得出角判断B，根据投影向量公式计算得出夹角判断C，应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D. 【详解】对于A，由，得，因此，故A正确； 对于B，若，则，所以，所以，故B错误； 对于C，因，， 由在上的投影向量为，解得， 又，，故C正确； 对于D，因， 故， 当，即时， 也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出和值，求出函数表达式，再结合正弦函数的图象和性质对选项进行逐一判断. 【详解】由图象可知，相邻最小值点和最大值点之间的水平距离为半个周期， 即， 由周期公式， 所以，选项A正确； 因为图象经过点，代入函数得：， 由正弦函数性质可知时，， 所以， 因为，所以， ， 因为，故B错误； 因为是中心对称函数，对称中心为，， 若函数图象关于点对称，则. 代入计算：， 所以图象关于点对称，故C正确； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则， 由正弦函数性质可知在上单调递增， 令，解得， 区间位于增区间内，故在区间内是增函数，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由，即可求值. 【详解】因为，所以， 所以 . 故答案为： 13. 若为偶函数，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 14. 如图，在矩形 中，，分别为线段 ，的中点，若，，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为，分别为线段 ，的中点， 所以, , , 所以 , 所以，解得， 所以， 所以的值为. 故答案为：. 15. 在中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，角 、 、 成等差数列． （1）求的值； （2）边 、 、 成等比数列，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合三角形的内角和定理求出 的值，进而可求得的值； （2）（解法一）：由，，结合正弦定理可求得的值； （解法二），由，，根据余弦定理可求得，从而可得为等边三角形，从而可求得的值． 【详解】（1）在中，由角 、 、 成等差数列可得， ，，所以，； （2）（解法一）由已知，根据正弦定理得； （解法二）由已知及，根据余弦定理， 可得，整理可得，解得， ，所以，为等边三角形，所以，． 四、解答题：本题共5小题，共77.分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数 （1）若在区间上的最大值是 ，求实数a的值； （2）若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求 的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【小问1详解】 ）① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. 【小问2详解】 设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 17. 已知等差数列的前项的和为. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和.并证明. 【答案】（1）. （2），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用基本量法以及等差数列的性质求解. （2） 利用裂项相消法以及不等式的性质求解证明. 【小问1详解】 设的公差为d，由题意得： ，解得， 所以. 【小问2详解】 令，由（1）有： ， 所以 ， ，，， . 18. 如图，正方形所在平面和等腰梯形 所在平面互相垂直，已知，，点 在线段上. （1）求证：平面平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 【答案】（1） 证明：由正方形有，又平面平面 ，平面平面， 所以平面 ，又平面 ，所以， 过点 作，则，，，所以， 所以，即，又， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，设即可求得点 的坐标，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直，分别以为 轴， 轴，轴，建立空间直角坐标系如图： 则有，设，则，设， 则有，解得，得， 所以， 设平面的法向量为，则有， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得或， 所以或. 19. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $