吉林省长春外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷 出题人 ：马竞 审题人：王先师 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（    ） A．(-1，-2，3) B．(-1，-2，-3) C．(-1，2，-3) D．(1，2，3) 2．过两点的直线的倾斜角是，则的值为（    ） A．2 B． C． D．5 3．在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 5．过点（2，1）的直线中，被圆截得的弦长最大的直线方程是（    ） A．3x-y-5=0 B．3x+y-7=0 C．x+3y-5=0 D．x+3y+5=0 6．在下列等式中，使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 7．已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 8．已知椭圆的左右焦点分别是，，过的直线与相交于A，B两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。） 9．已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 10．的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（    ） A．边BC与直线平行 B．边BC上的高所在的直线的方程为 C．过点A且平分面积的直线与边BC相交于点 D．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程一定是 11． 已知直线分别与轴，轴交于A,B两点，点在圆 上，则的面积可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D． 第 Ⅱ 卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．经过，两点的直线的方向向量为，则的值是 ． 13．已知直线l的方向向量＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为 ． 14．空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （13分）已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．（15分）已知圆：，圆：． (1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔ (2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点.    (1) 求证：平面； (2) 求直线与平面所成角的正弦值； (3) 求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知圆与轴交于，两点，圆过，两点且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆，圆的交点分别为点，．求证：以线段为直径的圆恒过点． 19．（17分）已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 长春外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷答案 1、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C A A C D B 9 10 11 ABC BC BCD 二.填空 12. 13. 14. / 三、解答题 15.【答案】(1)2；(2). 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【详解】（1），……………………...1分 ，设，……………………………………2分 ，的值为2．………5分 （2）由（1），则，…………7分 ，…………………………9分 ，………….11分 ．………13分 16.【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解； （2）假设存在实数a，根据两圆内含关系列不等式并求解，可判断a的存在性． 【详解】（1）圆：即，……………1分 当时，圆：，…………………………2分 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为，……………3分 圆：的圆心，半径，……………….5分 圆心到公共弦所在直线的距离，……6分 则两圆的公共弦长为………………7分 （2）不存在，理由如下： 圆：可化为， 则圆心，半径，………………………………………9分 又圆：的圆心，半径，……………11分 假设存在实数a，使得圆和圆内含， 则圆心距，………………………13分 即，此不等式无解，故不存在实数a，使得圆和圆内含…….15分 17.【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面PAD，由线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面； （2） 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、向量PC，由线面角公式可得答案． （3） 求出平面的法向量、平面PAC的法向量，由向量的夹角公式可得答案． 【详解】（1）∵平面，平面，∴，………1分 又∵，，平面PAD，∴平面PAD，………2分 又平面PAD，∴，…………………………………………………3分 ∵，且E为中点，∴，………………………4分 又，平面， ∴平面．……………………5分 （2）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，    则，，，，， ∴，…………………6分 设平面的法向量为， 则，即，…………………………7分 令，则，，∴，……………8分 ………………………9分 设平面与直线所成的角为，则， 所以平面与直线所成角的正弦值为．…………………10分 （3）∵平面，平面，∴…………11分 …………13分 设平面与平面的夹角为α，则 所以平面与平面的夹角余弦值为……………………15分 18.【答案】（1）x2+y2﹣2x﹣4y=0；（2）证明见解析. 【分析】（1）由圆的方程求出轴上的点，的坐标，设圆的一般方程求出圆心坐标，由题意过，点代入圆的方程求出参数的值，又有与直线相切，即可得参数的值，进而求出圆的方程； （2）由题意将直线分别于两个圆联立求出，的坐标，注意不能相切，即的值满足且，进而求出直线，的斜率，可得两条直线的斜率为定值，可得直线垂直，即可证明线段为直径的圆恒过点． 【详解】解：（1）由题意令，代入圆中可得，，可得：，，………………………………..2分 设圆的方程为：，圆心坐标，，将，点代入可得：，解得：，，………………………4分 由题意可得，所以，可得，………………6分 所以圆的方程为：；………………………8分 （2）由题意可得且，…………………9分 联立与圆的方程：，整理得：，可得，，…………………………………11分 联立与圆的方程：，整理得：，可得，，………………………………13分 因为，，…………………15分 ，即， 所以以线段为直径的圆恒过点．……………………………17分 19.【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合椭圆定义，用定义法求轨迹E的方程即可； （2）易判断直线PQ斜率非零，令直线方程，利用斜率公式将与韦达定理关联，代入化简求值即可得解. 【详解】（1）由点在定圆M：内，知圆N与圆M内切，………………………………………………1分 于是有，…………………………………………3分 由椭圆的定义可知， 动圆的圆心N的轨迹为一个以，为焦点，以4为长轴长的椭圆，…4分 即，所以，……………………7分 故点N的轨迹P的方程为…………………8分 （2）当直线PQ斜率为零时，或两点重合，不满足题意， 设直线PQ方程为，…………………………9分 由，得，……………11分 易知， 设点，所以，……………14分 于是 . 故为定值（与直线的斜率无关）…………………17分 第4页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $