吉林省长春外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题
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长春外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试高二年级
数学试卷
出题人 ：马竞 审题人：王先师
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（ ）
A．(-1，-2，3) B．(-1，-2，-3) C．(-1，2，-3) D．(1，2，3)
2．过两点
的直线的倾斜角是
，则
的值为（ ）
A．2 B．
C．
D．5
3．在菱形ABCD中,若
是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）
为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）
距地面
千米，远地点（离地面最远的点）
距离地面
千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为
千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A．
B．
C．2
D．
5．过点（2，1）的直线中，被圆
截得的弦长最大的直线方程是（ ）
A．3x-y-5=0 B．3x+y-7=0 C．x+3y-5=0 D．x+3y+5=0
6．在下列等式中，使点
与点
一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
为椭圆
的焦点，P为椭圆上一动点，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1 C．
D．
8．已知椭圆
的左右焦点分别是
，
，过的直线与
相交于A，B两点，若
，
，则的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）
9．已知平面
，其中点
，
，则下列各点在平面内的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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10．
的三个顶点坐标为
，
，
，下列说法中正确的是（ ）
A．边BC与直线
平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为
C．过点A且平分面积的直线与边BC相交于点
D．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程一定是
11．已知直线
分别与
轴，轴交于A,B两点，点
在圆
上，则
的面积可以是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．
第 Ⅱ 卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．经过
，
两点的直线的方向向量为
，则
的值是 ．
13．已知直线l的方向向量
＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为 ．
14．空间四边形
中，
，且异面直线
与
成
，求异面直线
与
所成角的余弦值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- （13分）已知
且
(1)求实数的值；
(2)若
，求实数
的值．
(1)当
时，求圆
和圆
的公共弦长﹔
(2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．
17．（15分）如图，在四棱锥
中，底面为正方形，
平面，
，E为
中点.
(1) 求证：
平面
；
(2) 求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3) 求平面与平面
夹角的余弦值.
18．（17分）在平面直角坐标系
中，已知圆
与轴交于
，
两点，圆过
，
两点且与直线
相切．
（1）求圆的方程；
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（2）若直线
与圆，圆的交点分别为点，
．求证：以线段
为直径的圆恒过点
．
19．（17分）已知定圆
，动圆N过点
且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)已知两定点
和
，过B的动直线
交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为
，直线AQ的斜率为
，求证：
为定值.
长春外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试高二年级
数学试卷答案
一、 选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
D | B | C | A | A | C | D | B |
9 | 10 | 11 |
|
|
|
|
|
ABC | BC | BCD |
|
|
|
|
|
二.填空
12.
13. 
14. 
/
三、解答题
15.【答案】(1)2；(2)
.
【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可；
（2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解.
【详解】（1）
，……………………...1分
，
设
，……………………………………2分
，
的值为2．………5分
（2）由（1）
，则
，…………7分
，…………………………9分
，………….11分 
．………13分
16.【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解；
（2）假设存在实数a，根据两圆内含关系列不等式并求解，可判断a的存在性．
【详解】（1）圆：
即
，……………1分
当时，圆：
，…………………………2分
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为
，……………3分
圆：的圆心
，半径
，……………….5分
圆心到公共弦所在直线的距离
，……6分
则两圆的公共弦长为
………………7分
第4页，共2页
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