2.3 垂径定理-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“垂径定理”，通过“刷基础”“刷易错”分层设计，从定理应用（如弦心距、半径构造直角三角形）到实际问题（如纸杯直径测量），构建由浅入深的学习支架，帮助学生衔接圆的基本性质与综合应用。 其亮点在于结合数学思维与应用意识，通过归纳总结（如辅助线构造方法）和实际情境题（如广场小路设计），培养学生推理能力与问题解决能力。分层练习与易错点警示（如弦位置漏解）助力学生巩固知识，教师可借助系统例题与总结提升教学效率。

数 学 九年级下册 XJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第2章 圆 2.3 垂径定理 5 刷基础 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 垂径定理 （第1题图） 1.如图，弦垂直于的直径，垂足为，且 ， ，则 的长是( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】如图，连接，则是 的直径， ，.在 中， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 归纳总结 在圆中，过圆心作弦的垂线与连半径构造直角三角形是常用的作辅助线的方法.对 于由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，可以利用三角函数、勾股定理、 垂径定理求解；对于已知“边长”求“边长”，有两种类型：一是“知二求一” 利用勾股定理直接求解，二是利用勾股定理列方程求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 （第2题图） 2.如图，是的弦，于点，连接，点是半径 上任意一点，连接.若，，则 的长不可能是 ( ) D A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】如图，连接于点，， ， ， ， ， 的长度不可能是9.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 3.【2025湖南怀化期末】如图，在中，直径 弦于点 ， ，，则弦 的长为______. 【解析】设的半径为，则 直径 弦 于点，.在 中, ，，，，解得， . 在中,， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 4.如图，在平行四边形中，，， 边上 的高，点是边上的动点，以为半径的 与边 交于点，（点在点 的左侧）． （1）当经过点时，求 的长； 【解】连接 ，如图（1）所示. ， ， ， ， .当经过点时， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （2）连接，,当时，求的半径及弦 的长． 【解】 四边形 是平行四边形， .当时，四边形 是平 行四边形.， 四边形 是菱 形，.设 ，则 .在中，由勾股定理得 ，即 ，解得，即的半径为.过点作于 ，如图 （2）所示，则，.在 中，由勾股定理得 ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 知识点2 垂径定理的实际应用 5.【2025湖南长沙模拟】某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺来测量一 次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底， 纸条的上下边沿分别与杯底相交于，，， 四点，然后利用刻度尺量得该纸条 的宽为，， .请你帮忙计算纸杯杯底的直径为( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 【解析】如图，设圆心是点，过点作，交于点 ， 交于点，连接,,. ， ， ， .设， . ，， , ， ， ，，， ， ， 纸杯杯底的直径为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 6.如图，市政府新建市民广场，欲在广场内建造一个圆形大花坛，并 在大花坛内点 处建一个亭子，再经过亭子修一条小路． （1）如何设计小路才能使亭子 位于小路的中点处？在图中画出表 示小路的线段. 【解】如图所示，连接，过点作，交圆于， 两点， 则线段 即为要修的小路. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 （2）在（1）的条件下，若大花坛的直径为，花坛中心到亭子 的距离为 ，则小路有多长？（结果保留根号） 【解】如图，连接.在直角三角形中，, ,则 , . 答：小路长 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 归纳总结 圆中已知半（直）径求弦长，常连接半径，通过垂径定理构造直角三角形，再利 用勾股定理解决. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 刷易错 易错点 弦的位置考虑不全面导致漏解 7.已知的直径为，，是的两条弦，， ， ，则与之间的距离为______ . 1或7 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 【解析】作于点，直线交于点，连接， ， ，，， .在 中，.在 中， .当点在与 之间时，如图（1）， ；当点不在与 之间时，如图（2）， .综上所述，与之间的距离为或 .故 答案为1或7. 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 易错警示 在几何题中，题中没有给出图形时要考虑是否需要分类讨论，不要漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 $