2.4 过不共线三点作圆-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“圆”的核心内容，围绕确定圆的条件及三角形外接圆展开，通过“碎玻璃配圆”等实际问题导入，衔接圆的基本性质与几何作图，搭建从具体情境到抽象定理的学习支架。 其亮点在于分层设计“刷基础”“刷提升”练习，融入中考真题，以几何直观（如网格中找圆心）、推理能力（如外接圆性质证明）、应用意识（如零件覆盖最小圆问题）培养核心素养。方法归纳与“刷有所得”助力学生总结规律，教师可利用同步分层素材提升教学效率，学生能夯实基础并衔接中考。

数 学 九年级下册 XJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第2章 圆 2.4 过不共线三点作圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 确定圆的条件及个数 1.如图，点，，在同一条直线上，点在直线 外，过这四点中的任意三个 点，能画圆的组合有( ) C A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【解析】根据题意得出过点，，；点，，；点，， 分别可以确定一 个圆，故过这四点中的任意三个点，能画圆的组合有3组.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 （第2题图） 2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为 配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片 应该是( ) B A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 【解析】在第②块玻璃碎片的圆弧上可以找到不共线的三点，过 这三点作出两条弦，分别作两条弦的垂直平分线，垂直平分线的 交点就是圆心，再连接圆心与不共线三点中的一个点得到半径， 已知圆心和半径，就可以作圆，即可配到与原来大小一样的圆形 玻璃.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第3题图） 3.如图,在的正方形网格中,一条圆弧经过,, 三点,那么这 条圆弧所在圆的圆心是( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 【解析】连接，，分别作， 的垂直平分线，垂直平分线 的交点就是这条圆弧所在圆的圆心，作图后可知点 是这条圆弧所 在圆的圆心.故选B. 方法归纳 确定圆心的方法：作两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.如图，圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点 ，交弦 于点.已知， . （1）作此残片所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）. 【解】如图，点 即为所求． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （2）求该圆的半径. 【解】如图，连接垂直平分,,,三点共线.设 . ,,垂直平分，, .在 中,根据勾股定理,得，解得 ．故圆的半径为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 知识点2 三角形的外接圆 5.【2025湖南长沙期末】已知中， ，, ,则 的外接圆的半径是( ) D A. B. C. D. 【解析】 在中， ，,, 由勾股定理得 ，则的外接圆的半径是 ,故 选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 6.【2025湖南常德期末】如图，在平面直角坐标系 中，的三个顶点的坐标分别为， ， ，则 的外心的坐标是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 【解析】 的外心是三角形三边垂直平分线的交点， 与的垂直平分线的交点即为 的外心.如图，作 ,的垂直平分线交于点， 的外心的坐标是 .故选D. 思路分析 的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作 与 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为 的外心. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 7.【2025天津河北区质检】已知正三角形外接圆的半径为2，则这个正三角形的边 长是_____. 【解析】如图，是正三角形，是的外接圆， 的 半径为2，连接，，作于点，则 ， ， ， ， ， 刷有所得 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部. ，， 这个正三角形的 边长是.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.【2025江苏南通期末】如图，是 的外接圆，直径 ，垂足为点，连接， . （1）求证： ； 【证明】如图，连接 直径， ， ， .由圆周角定理的推论得 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）若，的半径为5，求 的长. 【解】如图，连接，， ，即 .设,则,.在中， ， 即，解得（舍去），， 直径 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 提升 1.【2025湖南娄底质检，中】已知，， 三点可以确定一个 圆，则以下 点坐标不满足要求的是( ) C A. B. C. D. 【解析】设直线的表达式为，将, 代入得 解得.当时，；当 时，；当时，；当时，， 点 在 直线 上，不满足要求.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （第2题图） 2.［中］如图，某零件是由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长 为6的正方形工件组成的一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆 形纸片的最小半径为( ) A A.5 B. C. D. 【解析】如图，作的垂直平分线交于，交于，连接 ， 作的垂直平分线交于，连接，，则， .设 ，则.在中， ，即 .在中， ，即 ,，解得 ，则 ， 能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为5，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 3.【2025广东广州期末，中】已知的边，且 内接于半径为2 的，则 的度数为( ) C A. B. C. 或 D. 或 【解析】连接， 的半径为2， ， ， ，是直角三角形，且 .如图（1），顶点 与圆心在的同侧，则 ；如图（2），顶点与圆心 在 的异侧，在上取一点，使点与圆心在的同侧，连接 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 ，且 ， .综上所述，的度数为 或 ， 故选C. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 4.［中］如图，在中， ，将绕点 按逆时针方向旋 转 得到，点在直线上.若，则点和 的外心之间 的距离是_______. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 思路分析 【解析】由题意可知， .在中， ， ，，，.设 的外心为点 ， 外心是斜边的中点， ， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 5.【2025广东广州一模，中】如图，在中，，， 为 锐角，且，点是边上的动点，连接，作， 与边交于点，则 外接圆半径的最小值为___. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 【解析】如图，作的外接圆，连接，， ，过 作于点，设 ， , , .过作于点，过 作 于点,则易得， ， ，.设 的半径为 ，，， ，即 ，，即，解得， 的半 径的最小值为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 思路分析 作的外接圆，连接,,,过作于点 ，由圆周角定理 可得 ，则，再过作于点 ，过 作于点，易证，进而可得 ，再利用垂线段最 短即可得解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 6.【2024湖南永州祁阳期末，中】如图，小明家房前的空地上有三棵树，， ， 量得，， ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树 都在花坛的边上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 （1）请你帮小明把花坛的位置画出来（不写作法，保留作图痕迹）； 【解】如图， 即为所求. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 （2）求花坛的面积. 【解】如图，连接.由题意得，， ， ， ，.， 是等边三角 形， ， ，， 花坛的面积是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 7.【2024安徽合肥校级一模，中】如图，是 的外接圆， ，于点，的延长线交于点 . （1）求证： ； 【证明】如图，延长交于点，连接.由题意得是 的直径， ， ， ， ， ， ， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 （2）若，，求 的长. 【解】 ， ， ， ， ，.设.在中， ， ，，，解得 ， ，，， 的长 为1. 思路分析 根据相等的角的余角相等和等量代换可得，从而可得 ，设 ,则 ,再根据勾股定理即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 刷素养 走向重高 8.核心素养推理能力［较难］如图，点在的边 上，且 ，过点的直线与的外接圆交于点， ，且点 是 的中点. （1）求证： . 【证明】 点是的中点，, ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （2）求 的值. 【解】， ， ，.， ， ，， ， ，.又, ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 $