1.2课时1 二次函数y=ax^2的图象与性质-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数y=ax²的图象与性质，通过陕西西安质检、广西梧州期中真题导入，衔接一次函数基础，以“刷基础-刷提升”为支架，帮助学生从具体图象特征逐步掌握性质。 其亮点在于分层设计与素养融合，刷基础巩固抽象能力（如判断点是否在图象上），刷易错通过纠错培养推理意识（佳佳解题过程分析），刷提升结合菱形、正方形与抛物线综合题发展几何直观。学生可分层提升，教师能直接用丰富例题与解析优化教学。

数 学 九年级下册 XJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第1章 二次函数 4 1.2 二次函数的图象与性质 课时1 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.【2024陕西西安质检】二次函数 的图象大致是( ) A A. B. C. D. 【解析】 的图象是一条过原点，且开口向上的抛物线，只有A选项符合题 意.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2025广西梧州期中】二次函数 的图象一定经过( ) A A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 【解析】由表达式可知二次函数图象开口向上，对称轴为 轴，顶点坐标为原点， 二次函数的图象一定经过第一、二象限.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3.【2025湖南常德期末】若点，，都在二次函数 图象上， 则( ) A A. B. C. D. 【解析】 二次函数的表达式为， 抛物线的开口向上，对称轴为轴， 当时，随的增大而增大.又 点，， 都在二次函数 图象上，且， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 4.【2025上海闵行区期末】抛物线 在对称轴左侧的部分是______的. （填“上升”或“下降”） 下降 【解析】因为，所以抛物线 在对称轴左侧的部分是下降的，故 答案为下降. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点2 二次函数 的图象与性质 5.【2025湖南张家界期中】函数与 的图象的关系是( ) A A.开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B.开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C.开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D.开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【解析】函数中二次项系数为正，故图象开口向上， 中二次项系 数为负，故图象开口向下，二者图象的顶点均为点,对称轴均为 轴.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 6.【2024湖南株洲质检】下列关于二次函数 的说法，正确的是( ) B A.函数图象的顶点坐标为 B.函数图象的对称轴是 轴 C.当时， D.函数有最小值 【解析】二次函数的图象的对称轴是轴，顶点坐标为 ，故选项A错 误，选项B正确；当时，，故选项C错误；， 此二次函数 有最大值，故选项D错误.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 7.如图，边长为2的正方形 的中心为平面直角坐标系的原 点，轴，以为顶点且过,两点的抛物线与以 为顶点 且过, 两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分 的面积是___. 2 【解析】根据题图及抛物线、正方形的性质，可知 ．故答案为2． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 思路分析 判断点是否在函数图象上的方法 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 8.【2024广东惠州调研】已知抛物线经过点 . （1）求此抛物线的表达式； 【解】将代入中，得，解得 ，所以抛物线的表达式 为 . （2）判断点 是否在此函数图象上； 【解】当时，，所以 不在此函数图象上. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （3）写出这个二次函数的最大值或最小值； 【解】因为 ，所以函数图象开口向下，所以这个二次函数有最大值， 为0. （4）当时，随 的增大而怎样变化？ 【解】因为，所以函数图象开口向下，所以当时，随 的增大而 增大. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷易错 易错点 对二次函数 的增减性把握不准而出错 9.已知二次函数 的图象在对称轴的某一侧函数值随自变量取值 的增大而减小，求 的值. 佳佳的解题过程如下：由题意可知 解得 .请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由,并给出正确 的解题过程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解】佳佳的解题过程不正确.理由：少考虑了一种情况导致错误.正确的解题过 程如下：由题意可知且，解得或.当 时, 二次函数 的图象在对称轴的左侧部分，函数值随自变量取值的 增大而减小；当时,二次函数 的图象在对称轴的右侧部 分，函数值随自变量取值的增大而减小. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 易错警示 二次函数的图象是一条抛物线，当 时，抛物线的开口向下，对称轴是 轴，顶点是原点,抛物线左升右降，即图象在对称轴左侧的部分，函数值随自变量 取值的增大而增大，图象在对称轴右侧的部分，函数值随自变量取值的增大而减小； 当时，抛物线的开口向上，对称轴是 轴，顶点是原点，抛物线左降右升，即 图象在对称轴左侧的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，图象在对称轴右侧 的部分，函数值随自变量取值的增大而增大.本题需要考虑这两种情况. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 1.【2025河南新乡质检，中】已知关于的二次函数 ，若在其图象的对 称轴左侧，随 的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是( ) A A. B. C. D. 【解析】是二次函数，，解得. 在函数图象的 对称轴左侧，随的增大而增大， 抛物线开口向下，， ，即 .当时，，故不在其图象上， 在其图 象上；当时，，故在其图象上；当时， ，故 在其图象上.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 2.【2024湖南岳阳平江期中，中】当时，二次函数 与一次函数 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】 A 抛物线开口向上，则，直线经过第一、三、四象限，则, ， 的符号一致，但与已知条件 矛盾，故A选项不符合题意 B 抛物线开口向上，则，直线经过第一、二、四象限，则, ， 的符号不一致，故B选项不符合题意 C 抛物线开口向下，则，直线经过第一、三、四象限，则, ， 的符号不一致，故C选项不符合题意 D 抛物线开口向下，则，直线经过第二、三、四象限，则, ， 的符号一致且满足已知条件 ，故D选项符合题意 故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 （第3题图） 3.［中］如图，在平面直角坐标系中，平行于 轴的直线 与二次函数，的图象分别交于点， 和点,，若，则 ( ) B A.4 B. C.2 D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】如图，设直线交轴于点. 直线与二次函数 的图象交于 点，， 当时，，解得，, ， ， ，由二次函数图象的对称性可得 ，.将点的坐标代入，得，解得 . 故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第4题图） 4.【2025湖南娄底期中，中】如图，在平面直角坐标系中，线段 的端点坐标分别为，，若抛物线与线段 有 交点，则 的取值范围是__________. 【解析】当抛物线经过点时，，解得 ;当抛物线经 过点时，，解得， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 5.［较难］已知的三个顶点为，，，将 向右平移个单位后，某一边的中点恰好落在二次函数 的 图象上，则 的值为_________. 或2或3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解析】的三个顶点为，，， 边的中点 的坐标为，边的中点的坐标为，边的中点的坐标为 将向右平移个单位，边的中点平移后的坐标为 ， 边的中点平移后的坐标为， 边的中点平移后的坐标为 二次函数的图象除顶点外都在 轴的下方，点 在轴的上方，边的中点不可能在二次函数 的图象上.把 代入，得，解得 .把 代入，得，解得，， 的值为1或2或3，故答案为1或2或3． 关键点拨 求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后各边中点的坐标，分 类讨论,计算出 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 6.【2025湖南株洲质检，中】在平面直角坐标系中，已知点在 轴正半轴上. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （1）如图（1），已知菱形的顶点，，在二次函数 的图象上，且 轴，求菱形 的边长. 【解】设交轴于点，菱形的边长为，则 . 由题意可知,关于轴对称，,, , ，， . 把代入，得，解得或 （舍去）， 菱形的边长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （2）如图（2），已知正方形的顶点，在二次函数 的图象上，点 ，在轴的同侧，且点在点的左侧，设点，的横坐标分别为， ，探究 是否为定值.如果是，求出这个值;如果不是，请说明理由. 【解】为定值.过点作轴于点，过点作 轴 于点，如图所示. 点，的横坐标分别为，，正方形 的顶点，在二次函数的图象上，, ， ,,, 四边形 是正方形， , ， ， ，,, , ， , 点，在 轴的同侧， , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 刷素养 走向重高 7.思想方法分类讨论［难］在平面直角坐标系 中，直线 与轴交于点，与抛物线交于，两点 在的左边 . 图（1） 图（2） （1）求 点的坐标； 【解】对于，令，得，点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （2）如图（1），若点关于轴的对称点为点，当以点，， 为顶点的三角 形是直角三角形时，求实数 的值； 【解】联立得解得或2，，点关于 轴 的对称点为点，， ， ， .若 ，则 ， 即，（负值已舍去）；若 ， 则，即， （负值已舍 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 去）；若 ，则 ，即 ，此方程无实数根. 综上，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如 ，等均为格点.如图（2），直线与抛物线 所围成的封闭图形即阴影 部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求 的取值范围. 【解】由（2）知点，， 直线与抛物线 所 围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在 轴和直线 上，如图.设直线与轴交于点，令 ，则 ，.设直线分别与抛物线 和 直线交于点，，则，， 格点数恰好是26 个， 落在轴和直线上的格点数各为13个， 点 的纵坐标应满足 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 ，即.①当，即时，线段 上的格 点为，， ，，， ， 当，即，时，线段 上的格点数正好为13 个.综上，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 $