1重难专题2 二次函数的综合-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数综合应用，涵盖存在性问题、面积最值、整点问题等核心知识点。以中考真题为课堂导入情境，通过从二次函数基本性质到综合应用的脉络设计，借助分步骤解析、分类讨论及几何直观示意图搭建学习支架。 其特色在于分层同步训练结合真实考题情境，通过等腰三角形存在性问题的三种情况讨论培养推理意识，用二次函数模型求解面积最值发展模型意识。课件支持WPS编辑与超链接跳转，学生能深化知识应用能力，教师可获得结构化教学资源与便捷互动工具。

数 学 九年级下册 XJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第1章 二次函数 重难专题2 二次函数的综合 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 存在性问题 1.【2024山西朔州怀仁期中，较难】如图，抛物线与 轴交于 ，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点 是第一象限内抛物线上的一 个动点. 备用图 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 （1）请直接写出点，， 的坐标. 【解】,,，当时，，当 时，，解得，，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 8 （2）是否存在这样的点，使得？若存在，求出点 的坐标；若不 存在，请说明理由. 【解】存在这样的点，使得 . 设，， ， ,.， ， ，，解得（负值已舍去）, 点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 9 （3）若点是直线上一点，是否存在点，使得以点，， 为顶点的三角形 是等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形.设直线 的表 达式为，则解得 .设 ，， ， ，.当 时,，解得,或，；当 时,，解得（舍去）或，；当 时, ，解得，.综上可得，点坐标为 或，或或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 2.【2025湖南邵阳调研，较难】如图，二次函数 的图象经过 和，交轴于点，作直线.点 为第一象限抛物线上一动点，过 点分别作轴和轴的垂线，交直线于点和点 . 备用图 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 （1）求此二次函数的表达式； 【解】 二次函数的图象经过和 ， 解得 二次函数的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 12 （2）求面积的最大值及此时点 的坐标； 【解】如图，由题意知 轴， ， ，.当时， ， ,， ， .设直线的表达式为. 把 代入得 ， 直线的表达式为. 设点的横坐标为 ， ， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 ， 当 时，的值最大，最大值为2，此时， 当点的坐标为 时， 的面积最大，最大值为4. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 （3）当面积最大时，在抛物线上是否存在一点，使 ？若 存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在，点的坐标为或 .由（2）知， 面积最大时，，，， ， ，.过点作于点，如图， 平 分，，，.设为 轴上一 点，令.又 ， ， ，，或.当点 坐标为 时，易得直线的表达式为，令 ，解 得（舍去）或，；当点坐标为时，点与点, 重合，即.综上，符合题意的点的坐标为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 3.【2024山东济宁中考，较难】已知二次函数 的图象经过 ，两点，其中，，为常数，且 . 备用图 （1）求， 的值. 【解】 函数图象过，，， ， ，，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 （2）若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点，（点在点 的 左侧），与轴交于点 . ①求该二次函数的表达式，并直接写出点， 的坐标. 【解】由（1）知该函数的表达式为 . ， 当时，函数有最小值. 二次函数最小值为 ， ，解得，， 二次函数表达式为 .点坐标为，点坐标为.理由如下：令 ，则 ，解得，， 点坐标为，点坐标为 . 关键点拨 二次函数的图象与轴交点的横坐标等于 的实数根. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 ②如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点，过点作 轴的垂线，垂足为 ，与直线交于点，连接，，.是否存在点，使 ？若存在， 求此时点 的横坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.当点在点右侧时，如图（1），过作于点，过 作 于点，，，， ， ，. ， .和都是以 为底的三角形， ，.过作交轴于点，过作 ，则 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 .， ， ， ，， 点， 易得直线 表达式为 ，联立得 解得 点坐 标为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 图（1） 图（2） 当点在点左侧时，如图（2），过作交轴于点，同 可得 ， 易得直线表达式为，联立得 解得 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 （舍去），点坐标为 .综上，满足条 件的点的横坐标为或或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 类型2 整点问题 4.【2024河北张家口张北期中，难】如图，抛物线 与轴交于，两点（点在点 的左侧）， 与轴交于点，且，为抛物线 上的对称轴右侧的 点（不含顶点）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 （1）求 的值和抛物线的顶点坐标. 【解】 抛物线与轴交于，两点（点在点 的左侧）， 与轴交于点，， . ，， ， ， 抛物线 的表达式为 ， 抛物线的顶点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 （2）设抛物线在点和点之间部分（含点和点 ）的最高点与最低点的纵坐标 之差为，求与的函数关系式，并写出自变量 的取值范围. 【解】由（1）可知，抛物线的表达式为， 抛物线 的对称轴为 直线,当时，，，.当时，点 是最高点，抛物线的顶点是最低点，;当时，点 是最 高点，抛物线的顶点是最低点，,故与 的关系式为 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 （3）当点的坐标满足时，连接.将直线与抛物线 围成的 封闭图形记为 . ①求点 的坐标； 【解】联立得方程组解得或（舍去）， 点 坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 ②直接写出封闭图形 的边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数. 【解】整点的个数为14.设直线的表达式为， ，解得 ， 直线的表达式为， 封闭图形的边界上的整点为 ， ，，，，，，，，， ， ，， ，共有14个. 关键点拨 列整点时可按照一定的逻辑顺序进行，避免遗漏. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 $