1.2 课时4 二次函数y=ax^2_bx_c的图象与性质-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数图象与性质，涵盖配方法转化顶点式、图象开口方向等性质、平移规律及最值问题，通过刷基础、刷提升分层练习衔接前后知识，构建递进学习支架。 其亮点在于分层设计与微专题结合，通过易错警示（如忽略自变量范围求最值）和中考真题实例，培养运算能力与推理意识，微专题分类讨论取值范围强化模型意识。学生可分层巩固，教师可编辑课件且超链接便捷，提升教学效率。

数 学 九年级下册 XJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第1章 二次函数 4 1.2 二次函数的图象与性质 课时4 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用配方法化二次函数一般式为顶点式 1.【2024湖南株洲校级期中】用配方法将二次函数 化为 的形式为( ) D A. B. C. D. 【解析】 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2025江苏南通质检】把二次函数化为 的形 式，则 ___. 2 【解析】 ， ，故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 知识点2 二次函数 的图象与性质 3.【2024湖南邵阳期末】关于二次函数 ，下列说法正确的是 ( ) C A.图象的顶点坐标为 B.图象的对称轴为直线 C.当时，随 的增大而减小 D.函数最大值为1 【解析】 二次函数， 其图象的开口向下， 顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，随 的增大而减小，当 时，有最大值，为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.【2025浙江宁波模拟】已知二次函数,当时，随 的增 大而增大，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】的图象开口向下，对称轴为直线， 当 时，随增大而增大， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.【2025湖南益阳调研】已知二次函数（ 是自变量） 的图象经过第一、二、四象限，则实数 的取值范围为_ _________. 【解析】由条件可知，，， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.将抛物线在轴上方的部分记为，在 轴上及其下方的部分记 为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为 ．若直线 与恰有2个交点，则 的取值范围为________________. 或 【解析】， 抛物线的顶 点坐标为.将抛物线在轴上方的部分记为，在 轴上及其下方的部分记为，将沿 轴向下翻折得到 ，和两部分组成的图象记为，如图所示即为 . 若直线与恰有2个交点，由图象可知， 的取值范 围为或 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 7.二次函数 的图象如图所示，有如下结论： ；； ； （ 为实数），其中正确的是__________ （填序号）. ①②③④ 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴为直线 ，，,，故②正确. 抛物线与 轴交点 在轴下方，，,故①正确. ， ，由图象可得 时，，,故③正确.由 时， 函数取最小值，得（为实数）， , 故④正确.故答案为①②③④. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 知识点3 二次函数 的图象的平移 8.【2025湖南怀化质检】将抛物线 向右平移4个单位，再向上平移 4个单位，所得抛物线的函数表达式是( ) B A. B. C. D. 【解析】， 抛物线向右平移4个单位，再向上 平移4个单位，所得抛物线的函数表达式是 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 9.把二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位， 得到二次函数 的图象． （1）试确定,, 的值. 【解】二次函数的图象的顶点坐标为 ， 把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到的点的坐标为 ， 所以原二次函数的表达式为,所以 ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 方法总结 二次函数的图象平移求表达式的方法有两种：①先把平移后的抛物线的函数表达 式化为顶点式，再根据“左加右减自变量、上加下减常数项”的原则逆推得到平 移前的抛物线表达式；②先求出平移后抛物线的顶点坐标，再由“ ”不变，结合 平移前的顶点坐标来确定平移前抛物线的表达式. （2）指出二次函数 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解】二次函数，即 图象的开口 向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 刷易错 易错点 求二次函数最值时忽略自变量的取值范围 10.已知抛物线，则当 时，函数的最大值为( ) D A. B. C.0 D.2 【解析】， 该抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线的开口向上， 当时，随 的增大而减小，当 时，随的增大而增大. 当时，，当 时， ， 当 时，函数的最大值为2，故选D. 易错警示 在讨论函数的最值时，一定要注意函数自变量的取值范围以及函数在这个取值范 围内的增减性. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 提升 1.【2025河南郑州一模，中】若一次函数 的图象不经过第四象 限，则二次函数 的大致图象可能是( ) C A. B. C. D. 【解析】 一次函数的图象不经过第四象限，，， ， 抛物线对称轴在轴左侧；由可得，抛物线 开口 向上.又 抛物线过原点， 二次函数 的图象只能是C选项.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 思路分析 先由一次函数图象不经过第四象限判断出, ,再通过判断抛物线对称轴 位置、开口方向以及过原点等特征来解答. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 2.【2025湖南株洲期中，中】若抛物线（ 是常数）的 顶点到轴的距离为2，则 的值为( ) D A. B. C.或 D.或 【解析】， 抛物线 （是常数）的顶点坐标为 顶点到 轴的 距离为2，，即或，解得或 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （第3题图） 3.［中］如图，抛物线过点, ，顶点 在第四象限，记，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D.不能确定 【解析】 抛物线过点， ， ，，.将抛物线 配成顶点式为， 抛物线的顶点坐标为 . 抛物线的顶点在第四象限， ，，， ， ，， ，故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 4.［较难］已知二次函数的图象与一次函数 的图象的交点 关于原点对称，当时，二次函数的最小值是2，则 的 值是( ) D A.1 B.1或3 C. D.3或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】设二次函数与一次函数 的图象的交点坐标为 ，，则解得 或， 二次函数 当 时，二次函数的最小值是2， 当 时， ，解得或（舍去）.当 时， ，解得（舍去）或.综上可得，的值是3或 ， 故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （第5题图） 5.【2025河北衡水质检，中】如图，将抛物线 平移得 到抛物线.抛物线经过点和原点，它的顶点为 ，它 的对称轴与抛物线交于点 ，则图中阴影部分的面积 为___. 【解析】连接,，如图.由题意得平移后的抛物线 的函数表达 式为，，抛物线 的对 称轴为直线.当时，，则点 ， ， 易得.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 6.［较难］将二次函数 配成顶点式后，发现其图象的 顶点的纵坐标比横坐标大1.如图，在矩形中，点，点 ，则二 次函数的图象与矩形有交点时， 的取值范围 是_ _____________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】将配成顶点式得 ，此 二次函数图象的顶点坐标是， 图象开口向上，开口大小一 定， 此二次函数图象的顶点在直线 上运动.如图（1），当二次函数图 象经过点时，取最小值.将代入 ,得 ，解得，（舍去），则 的最小 值是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 图（1） 图（2） 如图（2），当二次函数图象的顶点在矩形与轴的交点处时， 取最大值.将 代入得，解得， （舍去），，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 关键点拨 将二次函数表达式配成顶点式，得出顶点在直线 上，然后找出抛物线的 临界状态即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 刷素养 走向重高 7.核心素养 运算能力 ［较难］已知抛物线 （， 为常数）. （1）若抛物线的顶点坐标为，求， 的值. 【解】抛物线（， 为常数）的顶点坐标为 ， 抛物线表达式是 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 的取值范围. 【解】设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是， ， 代入表达式可得 两式相加可得 ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （3）在（1）的条件下，存在正实数，，当 时，恰好有 ，求， 的值. 【解】由（1）可知抛物线表达式为 ， ，当时，恰有 ， ,,，即, 抛物线的对称 轴是直线，且开口向下， 当时，随的增大而减小, 当 时，;当时，.又 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 将①整理得 ，变形得 , ， ,解得（舍去）， .同理，由②得 ，或 ,解 得，（舍去），（舍去）.综上所述， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 微专题1 二次函数中函数值大小比较的方法 1.代数法 【2025浙江杭州期中，中】已知三点，， 在抛物线 上，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D.无法比较 【解析】 点，，都在抛物线 上， ，，， . 故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 33 2.对称法 【2025吉林长春校级期中，中】已知点，， 均在二次函数的图象上，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 【解析】二次函数的图象的对称轴为直线，则点 关于直线的对称点为， 抛物线 开口向 下， 当时，随的增大而增大.， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 34 3.距离法 【2025福建漳州期末，较难】已知点，， 都在二 次函数的图象上，若， ， ，则下列关于，， 三者的大小关系判断一定正确的是( ) B A.可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C.可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 【解析】在 中，对称轴为直线 ，， ， , 点离对称轴最远，点 离对称轴最 近.当时，抛物线开口向上，；当 时，抛物线开口向 下，.综上，和可能最大，也可能最小, 不可能最大，也不可 能最小.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 35 思路分析 分和 两种情况讨论，根据已知三点与对称轴的距离，结合抛物线开口 方向分析即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 36 4.中点法 【2025北京东城区调研，中】在平面直角坐标系中， ， 是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 . （1）若对于,，有，求 的值； 【解】 对于,有， 抛物线的对称轴为直线. 抛物线的对称轴为直线， . （2）若对于,，都有，求 的取值范围. 【解】,，，.又， ， 点离对称轴更近，则点与 连线的中点在对称轴的右侧， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 37 微专题2 二次函数取值范围问题 1.定轴定范围 【2025陕西西安质检，中】在下列范围内求二次函数 的最值. 【解】，抛物线对称轴为直线.当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. （1）全体实数. 【解】在全体实数范围内，当时，函数有最小值 ,没有最大值. （2） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值;当 时， 函数有最大值5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 38 （3） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值;当 时，函 数有最大值0. （4） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值0;当 时，函数有最 大值12. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 39 （1）【2025浙江台州期末，中】当 时，二次函数 的最小值是，则 _ ________. 【解析】抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时,随的增大而增大；当时，随的增大而减小.①当 ，即 时，则当时，，，解得 ，不 符合题意，舍去.②当，即时，则当时， ， ，解得.③当，即时，则当 时，，, ，解得 ,（舍去）.综上所述，或.故答案为1或 . 1或 2.定轴动范围 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 关键点拨 依据题意，可得抛物线对称轴为直线，进而结合二次函数的性质分 ， 和 三种情形进行讨论即可得解. （2）【2025河南郑州期中，中】已知二次函数 ，当 时，有最小值和最大值1，则 的取值范围是______________. 【解析】二次函数, 该函数图象 开口向上，对称轴是直线，当时，该函数取得最小值 当 时，有最小值和最大值1，且当时， ，根据抛物线的 对称性可知，当时，，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 41 3.动轴定范围 【2025江苏苏州期末，中】当时，二次函数 的最大值是，最小值是，若，则 的值是_________. 或 【解析】， 抛物线对称轴为直线 ，抛物线 开口向上.①若，即，则当时，，当 时， ，，解得 （舍去）.②若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.③ 若，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.④若 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 42 ，即，则当时，，当 时， ，，解得（舍去）.综上可知， 的 值是或，故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 4.动轴动范围 【2025安徽芜湖期中，中】已知抛物线 （为常数），当时，与其对应的函数值 的最小值为9，求此时 的二次函数表达式. 【解】， 抛物线对称轴是直线 ， 抛物线开口向上. ①当，即时，当时，， ，解 得（负值已舍去），此时的二次函数表达式为 . ②当，即时，当时，， ， 解得 （都不符合题意，舍去）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 44 ③当，即时，当时， ， ，解得（舍去）或 ，此时的二次 函数表达式为.综上，二次函数表达式为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 关键点拨 分三种情况：①当，即时；②当 ，即 时；③当，即时，分别列方程求出 的值，从而 得结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 46 $