期末综合测试-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版·新教材)
2025-12-14
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教辅
摘要：
该初中数学九年级下册课件聚焦函数、几何、统计与概率等核心知识点，通过“刷速度”模块及期末综合测试，以基础选择、填空到综合解答题的梯度设计为学习支架，衔接前后知识脉络，帮助学生系统掌握重点难点。
其亮点在于结合现实情境题目如出行方式统计、实心球运动轨迹培养数学眼光，通过相似三角形推理、二次函数性质解析发展数学思维，以苹果销售利润计算等应用题提升数学语言表达能力。学生能巩固知识提升解题能力，教师可丰富教学资源提高教学效率。
内容正文：
数 学
九年级下册 SK
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期末综合测试
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一、选择题（共40分）
1.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是( )
A
A.检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量
B.检测一批 灯的使用寿命
C.检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量
D.检测一批家用汽车的抗撞击能力
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【解析】A选项，检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的
方式，故A选项符合题意；B选项，检测一批 灯的使用寿命，适宜采用抽样调
查的方式，故B选项不符合题意；C选项，检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量，
适宜采用抽样调查的方式，故C选项不符合题意；D选项，检测一批家用汽车的抗
撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D选项不符合题意.故选A.
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2.【2025江苏常州期末】在中， ，如果，那么
的值是( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图，在中， ， ，
， .故选C.
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3.【2024江苏宿迁期末】如果两个相似三角形的面积比为 ，那么它们的对应角
平分线的比为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 两个相似三角形的面积比为， 两个相似三角形的相似比为
， 它们的对应角平分线的比为 .故选D.
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关键点拨
本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平
方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似
比，由此得解.
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4.关于二次函数 ，下列说法正确的是( )
D
A.函数有最大值 B.图像的对称轴为直线
C.当时， D.当时，随 的增大而减小
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【解析】A选项，中，， 函数图像开口向上，有最
小值，故A选项错误；B选项，函数图像的对称轴为直线 ,故B选项错误；C选
项，令，解得,， 当时， ，
故C选项错误；D选项，函数图像开口向上，对称轴为直线 ，在对称轴左侧，
即时，随 的增大而减小，故D选项正确.
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5.【2024江苏泰州期末】从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选
择适合的出行方式，对 时段这三种出行方式不同出发时刻所用时
长（从A地到B地）进行调查、记录与整理，数据如图所示.根据统计图提供的信息，
下列说法正确的是( )
B
A.若8：00出发，驾车是最快的出行方式
B.地铁出行所用时长受出发时刻影响较小
C.若选择公交出行且需要 以内到达，
则7：30之前出发均可
D.同一时刻出发，不同出行方式所用时长的
差最长可达
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【解析】A选项，根据统计图可得，出发，驾车用时 ，公交用时约
，地铁用时约 ，所以最快的出行方式是地铁，A选项说法不正确，故
A不符合题意；B选项，根据统计图可得，地铁出行所用时长受出发时刻影响比较
小，所以B选项说法正确，故B符合题意；C选项，根据统计图可得， 出发，
选择公交所用时间约为 ，所以C选项说法错误，故C不符合题意；D选项，根
据统计图可得，最长时长差出现在，时长差约为 ，所以D
选项说法错误，故D不符合题意.故选B.
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6.【2025江苏淮安一模】如图，菱形 是一块绿化带，
，.其中阴影部分 是正方形的花圃，且点
,,, 在菱形的四条边上.已知自由飞翔的小鸟将随机落在
这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率是( )
D
A. B. C. D.
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【解析】 ，， .设
,相交于点，与相交于点 ，如图所示,易得
，又， ，
. 菱形的对角线互相平分， ，
.设正方形的边长为，易得， ，
，解得，， 小鸟落在花圃上的概率为
.故选D.
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7. 【2025江苏扬州一模】通过画出函数图像探究函数性质是学习新函数的
一种基本方法，运用此法可判断出新函数 的图像与一次函数
的图像的交点个数是( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
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（第7题图）
【解析】， 当
或时，；当时， ，
的图像过, ,
，
的图像开口向上，对称轴为直线 ，
顶点坐标为.将的图像在 轴下方
的部分翻折到轴上方，得到 的图像. 对于一次函数
，当时，;当时，;当时，， 一次
函数的图像过，， ，如图所示，有3个交点.故选C.
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8.【2025江苏南通期末】如图，是的直径，点是 上
一点，，点是上一动点，以， 为边作
，连接，若，则 的最大值为( )
C
A.13 B.12 C.11 D.10
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（第8题图）
【解析】如图，过作于，连接，， 是
的直径，，.在 中，
， .根据勾股定理，得
， .根据勾股定理，
得 四边形 是平行四边形，
，，.又， ，
，， 当,,三点共线时， 取
最大值11.故选C.
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（第9题图）
9.二次函数的图像如图所示， ，
其对称轴为直线，与轴的交点坐标为， ，其
中，有下列结论：； ；
； .其中正确
的结论有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【解析】 抛物线开口向上， 对称轴为直线，， 同号，
，，故①不符合题意. 对称轴为直线，与 轴
的交点坐标为，，其中， 根据对称性得 ，
故②符合题意.由对称性可知，当与时， 的值是相等的，
.又，，故③符合题意.当
时，取得最小值为；当时， ，因此
，即 ，故④不符合题意.综
上所述，正确的结论有2个.故选B.
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（第10题图）
10.如图，将矩形沿着，，翻折，使得点， ，
恰好都落在点处，且点，， 在同一条直线上，同时点
，， 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：
；； ；
； ．其中正确的是( )
B
A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②③④
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【解析】由翻折的性质可得，， ，
，，，， 易得
， ，
，，故①正确；设， ，则
,， ，
,在中， ，即
，解得， ，故②错误；在
中，设，则 ，
，解得， ,在
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中，， ，故③正确；
，， ，故④正确；无法证明
， 无法证明 ，故⑤错误.综上，正确的是①③④.
故选B.
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二、填空题（共20分）
11.【2024江苏南京期末】如果， ，那么
____.
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【解析】, 可设,, ，其中
,,解得,,, ,
，故答案为44.
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（第12题图）
12.【2025辽宁沈阳期末】在中考体育测试中，小刚投
出的实心球在空中的运动轨迹如图所示.实心球离地面
的高度与离投出点的水平距离 之间满足关系
式 ，则实心球投出的水
平距离为___ .
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【解析】令，则，解得或 （舍去），
.故答案为8.
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（第13题图）
13.【2024江苏扬州期末】如图，在中， ，
，与交于点，且点是重心，点在 上且
，则的面积为___ .
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【解析】如图，连接,, ，
点是重心， ，
，
， ，
.故答案为4.
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关键点拨
根据重心的定义得出，是中线，根据，可求出
的面积，根据中线的性质可求出的面积，根据 可得
，即可得答案.
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14. 如图所示，已知，,,,则 _ ___,
__.
（第14题图）
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【解析】如图，过点作于点，过点作于点 .设
，则,则 ,解得
，，则, ,
.
， .又
, .
在中， ,
.故答案为， .
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15.【2024江苏南通期末】如图，在中， ，点是 的内心，
连接,，延长交于点，若，，则 的长为______.
（第15题图）
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【解析】如图，作于点 ，则
，, ，
， 点是 的内
心，平分，.又 ，
,.在 中，
， ，
，，.过点
作于点，于点，于点是 的内心，
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.设 ，
，解得， .又
， 四边形是正方形， ，
, 在 中，
.故答案为 .
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三、解答题（共60分）
16.【2025江苏宿迁一模】计算： .
【解】 .
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17.如图，在 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶
点称为格点， 的顶点均在格点上，按要求完成画图.（要求仅用无刻度的直
尺，且保留必要的画图痕迹）
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（1）在图中，以为边，画出，使， 为格点；
【解】如图所示， 即为所求.
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（2）在图中，以点为位似中心，画出，使与 位似，且相似
比，点， 为格点；
【解】如图所示， 即为所求.
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（3）在边上找一个点，且满足 .
【解】如图所示，取格点，，连接，交于点，则点 即为所求作的点.
易知， .
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18. 开放性试题 【2025江苏盐城质检】如图，在 中，
，分别是边， 上的点.对“中位线定理”逆向思考，可得
以下3个命题：
①若是的中点，，则是 的中点；
②若,，则，分别是， 的中点；
③若是的中点，，则是 的中点.
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（1）其中是真命题的是______（填序号）；
①②
【解析】①若是的中点，，则是 的中点，是真命题，故符合题意；
②若,，则，分别是， 的中点，是真命题，故符合题意；
③若是的中点，，则不一定是 的中点.
如图，是的中点，分别以,为圆心，大于 的长为半径画
弧，分别交于点，，作直线交于点，以为圆心， 长
为半径画弧，交于点，则，但显然不是 的
中点，是假命题，故不符合题意.真命题为①②.故答案为①②.
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（2）请选出一个真命题进行证明.
【解】【证明】（选择一个进行证明即可）① 点是 的中点，
，，，即是 的中点.
②，.，, ，
，，,，即点， 分别是
， 的中点.
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19.为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，
根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，小时（含2小时），
小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图.
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（1）本次调查共随机抽取了_____名中学生，其中课外阅读时长“ 小时”的
有____人；
200
40
【解析】本次调查共随机抽取了 （名）中学生，其中课外阅读时
长“小时”的有 （人）.故答案为200，40.
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“小时”对应的圆心角度数为_____ ；
144
【解析】扇形统计图中，课外阅读时长“ 小时”对应的圆心角度数为
.故答案为144.
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（3）若该地区共有20 000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于
4小时的人数.
【解】 .
答：估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数为13 000.
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20.如图，已知是的直径，为上异于， 一
点，过点的直线与的延长线交于点，为 上一
点，的延长线交于点，连接，，， ，
.
（1）求证： ；
【证明】是的直径， ， .
， .
，， .
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（2），，记的面积为，记的面积为 ，记
的面积为，若，求 的半径.
【解】设的面积为，的面积为，，， .
的面积为，的面积为，的面积为， ，
.
，，， ，
， ，
，整理得，解得或
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（舍去），.，，， .
是的直径， ，
， 的半径为3.
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21.【2024江苏扬州期末】某水果批发公司以9元/千克的成本从果园购进10 000千克
苹果，在运输过程中，有部分苹果损坏，该公司对刚运到的苹果进行随机抽查，并
得到如图的“苹果损坏率”统计图.由于市场调节，苹果（只售好的苹果）的售价与
日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录.
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苹果的售价（元/千克） 14 15 16 17 18
苹果的日销售量（千克） 1 000 950 900 850 800
（1）估计购进的10 000千克苹果中完好的苹果
的总质量为______千克，此时公司应将这批完
好的苹果的成本调整为____元/千克；
9000
10
【解析】由“苹果损坏率”统计图可知，苹果
损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定， 估计10 000千克苹果中完好的苹果的总质
量为 （千克），此时公司应将这批完好的苹果的成本
调整为（元/千克）.故答案为 .
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（2）按此市场调节的规律来看，若苹果的售价定为16.5元/千克，试估计日销售
量为多少千克，并说明理由；
【解】苹果的售价定为16.5元/千克，日销售量是875千克.理由如下：设苹果的售
价为元/千克，日销售量是 千克.由表格可知，日销售量与售价满足一次函数关
系，设.把,代入，得 解得
.当 时，
， 苹果的售价定为16.5元/千克，日销售量是875
千克.
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（3）考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批苹果（只售完好
的苹果），且售价保持不变，求该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润.
【解】天内售完这批苹果， 由可得 ，解得
.
设该公司每日销售该苹果的利润为 元.
根据题意得 .
，抛物线的对称轴为直线，时，随着 的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为 ，故
该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润是6 750元.
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22.在中，点是中点，点是射线 上的一点.
（1）如图（1），连接并延长交于点 ，
①若，，则 ___.
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【解析】是的中点，， ，
.故答案为1.
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②试探究 是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
图（1）
【解】是定值.如图（1），过点作交 于点
，是的中点， .又
， ，
，, ,
, ，
.
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（2）如图（2）， ，交于点，且 ，
，求 的值.
图（1）
图（2）
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图（2）
【解】如图（2），过点作交的延长线于点 ，设
， , ，
，
，， ，
，. ，
，， ，
，， ，
，，，, .
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又，， ，
， ，整理得
，， 或
，或，的值为或 .
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23.【2025江苏南通模拟】在平面直角坐标系中，抛物线
,为常数顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点 的横坐标
为，点的横坐标为，将此抛物线上,两点之间的部分（包括, 两点）
记为图像 .
（1）求和 的值；
【解】 抛物线,为常数顶点的坐标为， 抛物线的
表达式为，， .
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（2）当顶点在图像上时，设图像最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为 ，
求与 之间的函数关系式；
【解】 点的横坐标为，点的横坐标为， ，
，则
.
顶点在图像上时，当点在顶点右侧包括点时，， ，
，则点在顶点左侧，，此时 ，即此
时图像上最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为 ，
.
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当点在顶点右侧包括点时，，，，则点 在顶
点左侧，，此时，即此时图像 上最高点的纵
坐标为，最低点的纵坐标为 ，
.
综上，当时，；当时， .
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（3）矩形的顶点分别为,,，当图像
在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，求 的取值范围.
【解】对于抛物线，当时， ，解得
， ，
抛物线经过点， 矩形的顶点分别为 ,
,， .
当时，，此时点, 重合，不能构成矩形，不符合题意.
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图（1）
当时，如图（1），点在上，此时图像 在矩形
内部的部分所对应的函数值随 的增大而减小，符合题意.
当时，点在上方，此时图像在矩形 内部的部
分所对应的函数值存在随 的增大而增大，不符合题意.
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图（2）
当时，如图（2），点在下方，点在 上方，此时
图像在矩形内部的部分所对应的函数值随 的增大而减小，
符合题意.
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图（3）
当，即时，如图（3），点与点
重合，此时图像在矩形内部的部分所对应的函数值
随 的增大而减小，符合题意.
当，即时，点在上方，此时图像 在
矩形内部的部分所对应的函数值存在随 的增大而增
大，不符合题意.
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图（4）
当时，如图（4），点在上方，点在 下方，
此时图像在矩形内部的部分所对应的函数值随 的增大
而减小，符合题意.
综上，当图像在矩形内部的部分所对应的函数值随 的
增大而减小时，的取值范围为或 .
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