7.5 解直角三角形-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“解直角三角形”核心内容，涵盖锐角三角函数应用、非直角三角形转化及实际问题解决。通过“刷基础-刷提升-刷易错”分层学习支架，衔接锐角三角函数到实际应用的知识脉络，帮助学生逐步构建从概念到应用的完整认知体系。 其亮点在于融入新课标核心素养，以梯子靠墙、硬币半径测量等实际情境题培养数学眼光，通过详细推理过程（如利用同角余角证角相等推导AD长）发展数学思维，“刷素养”模块渗透模型观念（如证明边长与正弦比关系）。采用分层练习与易错提醒，学生能分层提升解题能力，教师可直接借助例题解析优化教学流程。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第7章 锐角三角函数 4 7.5 解直角三角形 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 解直角三角形 1.【2024江苏常州调研】在中， ，，，则 的长是( ) D A.3 B.4 C.6 D.8 【解析】如图，在中，， ， ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2025江苏南通期末】如图，在中， ， ，过点作于点，.若， 分别 为，的中点，则 的长为( ) A A.2 B. C. D.4 【解析】 ，， 是等腰直角三角形， .，， 分别为 ，的中点，是的中位线， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 3.【2025江苏泰兴期末】在中，，交延长线于点 ， 直线，垂足为.若为常数，且，，则 的长为 ___. （第3题图） 【解析】如图.， ， ， ， ， ， ，.在 中， ， 令，.又， ， .在中，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2 解简单的非直角三角形 4.【2025江苏镇江调研】如图，在 中， ， ，若，则 的长是 ( ) B A. B. C. D. （第4题图） 【解析】如图，过点作，交于 ， 是等腰直角三角形， ， ， . ， ， ， ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 5.如图，在中，是边上的中线，是锐角，且, , ,求边的长和 的值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解】如图，过点作于点.在中， ， , ， .在中， ， ，是边 上的中线， ，.在 中， ,.故边 的长为 6，的值为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点3 解直角三角形的应用 （第6题图） 6.如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，若梯子与地面的夹 角为 ，梯子底端到墙的距离为1米，则梯子 的长度是( ) D A. 米 B. 米 C.米 D. 米 【解析】 梯子与地面的夹角为 ，梯子底端到墙的距离 为1 米，， 梯子的长度是 米.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 7.【2024河南漯河期末】如图，为了测量一元硬币的半径，小明把一元硬币与直 尺相切于点，水平移动一个含 角的三角尺与硬币相切时停止，三角尺的一个 顶点为点.小明测量出，则这枚一元硬币的半径约是____. 结果保留整数， 12 （第7题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解析】示意图如图所示，设硬币的圆心为点 ，三角尺与硬币 相切于点，连接，， ， ，是 刷有所得 实际问题中解直角三角形的一般步骤：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面 图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题）；②根据题目已知条件选 用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转 化为实际问题的答案. 的切线，，易得 ， 在 中， . 故 答案为12. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 刷易错 易错点 考虑问题不全面导致漏解 8.在中， ，有一个锐角为 ，．若点在直线 上 （不与点，重合），且 ，则 的长为______________. 6或或 【解析】①如图（1），当 ，点 在线段上时， ，此时点 与点重合, 此种情况不成立.②如图 （2），当 ，点在线段 的延 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 长线上时， . ， ， 是等边三 角形，. ③如图（3），当 ，点在线段 上时， . ， ， ， ， ， 如图（4）,当 ，点在线段的延长线上时， . ， ，．故答案为6或或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 易错警示 本题没有明确三角形的哪个角是 ，故根据题意画出图形，分4种情况进行讨论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 提升 （第1题图） 1.【2024江苏无锡期末，中】如图，四边形是 的内接四 边形， ， ，，，则 的长 为( ) C A. B. C. D.6 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 【解析】如图，延长，交于点 四边形是 的内接四边形， ， ， ， ， ， . 在中，，,.在 中，，,， .故选C. （第1题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （第2题图） 2.【2024山东青岛期中，中】如图， 是边长为6的等边三角 形，点，在边上，若 ，，则 的 长度是( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （第2题图） 【解析】过点作于，如图. 是边长为6的等边三 角形，， ， ， ， ，， ，即 . ，， . ， .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 3.【2025江苏扬州江都区期中，中】已知中，，，当 最大时， 的长为_____. （第3题图） 【解析】如图，过作，交的延长线于 ， ，，， 是锐 角，当最大时，最大. ， ，， 当，即时， 最大，此时最大，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 4.【2025浙江绍兴期末，较难】如图，若 ， ， ，且，则 _____. 5 （第4题图） 【解析】如图，延长交于点,过点作于点 ，过 点作于点 , , , ,， , 在中， , .设, , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 ,, .在 中， , ,解得 ,.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5.［较难］如图，中， ,,分别在,边上， , ,相交于点,且.若,,则 的长为_____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解析】如图，分别过点,作，的平行线交于点 ,连 接，作于点，则四边形 为平行四边形， ， .设 ,则,则, ， 解得，, , , . ， ， .，， , 为等腰直角三角形， ， , ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 关键点拨 解题关键是通过作辅助线构造平行四边形及直角三角形． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 6.［较难］如图，在矩形中，，，是上一点， 是上的动点，连接，是上一点，且为常数， .分别过点 ，作，的垂线相交于点.设的长为，的长为 . （1）若,，则 的值是___； 5 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】， . 四边形是矩形，，， . ，， . ， . ，，，，即 的值是5.故答案 为5. 思路分析 根据题意得出，则 ，代入计算即可； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （2）求与 之间的函数表达式； 【解】由（1）可知， ， ， ，， . 在中，，， . ，，，即 ， . 思路分析 根据题目条件证明，得，再由，得 ，进而 可得答案； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （3）在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则 的值应满 足什么条件？直接写出 的取值范围. 【解】 线段上存在点，，即，则 . ，， . ，点在上，， . 思路分析 根据点在上，可得，由得,再由点在 上，可 得 ，进而解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 刷素养 走向重高 7.核心素养 模型观念 【2024江苏南通期末，较难】如图，已知锐角 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （1）如图（1），求证: ； 【证明】如图（1），过点作于.在 中， ，在中， ， . 同理可得 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （2）如图（2），若，，直接写出 的值. 【解】 . 如图（2），过点作平分，交于 . ， 设，则 . 平分， . ，，.又 ， ，，，, , ，，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 $