5.2～5.3 综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版
2025-11-17
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学苏科版（2012）九年级下册 |
| 年级 | 九年级 |
| 章节 | 5.2 二次函数的图像和性质，5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | 二次函数 |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 4.04 MB |
| 发布时间 | 2025-11-17 |
| 更新时间 | 2026-01-30 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2025-11-17 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/54945279.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数综合训练，涵盖图像变换、性质应用及与几何结合的综合题型。通过“刷综合”模块串联基础知识点与拓展内容，以例题解析、思路分析为学习支架，帮助学生构建从二次函数定义到复杂问题解决的知识脉络。
其亮点在于精选各地期末真题，融入新定义（如“黄金函数”）和动点问题，以数学眼光观察问题本质，通过逻辑推理和几何直观培养数学思维。解析过程注重模型意识的渗透，如二次函数与平行四边形结合题的分步推导。学生能提升综合解题能力，教师可直接利用结构化内容优化课堂效率。
内容正文：
数 学
九年级下册 SK
1
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第5章 二次函数
4
5.2~5.3
综合训练
5
刷综合
目 录
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6
综合
1.【2024江苏南京浦口区期末，中】将二次函数的图像绕点
旋转 得到的图像的表达式为( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 抛物线的顶点坐标为，开口向上， 抛物线
绕点旋转 后得到的抛物线的顶点坐标为 ，开口向
下， 所得到的图像的表达式为 ，故选C.
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（第2题图）
2.【2024江苏扬州邗江区期末，中】如图，一条抛物线与 轴相交
于，两点，其顶点在折线上移动，若点，， 的
坐标分别为，，，点 的横坐标的最大值为2，则
点 的横坐标的最小值为( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】当顶点在处时， 点的横坐标最大，设此时抛物线的表达式为
，将代入，解得 ，则抛物线的表达式为
.当顶点在处时， 点的横坐标最小，此时抛物线的表
达式为.当时，，解得 ，
，， 点 的横坐标的最小值为1.故选A.
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3.［中］定义：若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则称该函数为
“黄金函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”.若点
，是关于的“黄金函数” 图像上的一对
“黄金点”，且该函数图像的对称轴始终位于直线 的右侧，下列结论：
；；； .其中正确的是
( )
C
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
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【解析】 点，是关于的“黄金函数”
图像上的一对“黄金点”，，关于原点对称，，， ，
，代入 得
正确. 该函数图像的对称轴始终位于直线
的右侧，，，，正确. ，
，.当 时，
， ，
， 错误.综上所述，结论正确的是①②④.故选C.
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（第4题图）
4.［中］如图，在中，对角线，相交于点 ，
，， ．若过点且与边，
分别相交于点，，设，，则关于 的函数图像
大致为( )
C
A. B. C. D.
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【解析】如图，过点作于 ，
， ， ，
. 四边形为平行四边形，，
交于点，， ，
，关于的函数图像是一条抛物线，由题意得 ，当
时， ，故符合表达式的函数图像为选项C.故选C.
，， ，
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思路分析
过点作于，根据含 角的直角三角形的性质和勾股定理得出
，，根据平行四边形的性质得出，再求出， 的
长，用含的式子表示的长，由得到关于 的函数表达式，
结合自变量的取值范围求解即可.
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5.［较难］如图，抛物线与直线
经过点，且相交于另一点；抛物线与轴交于点，与
轴交于另一点.点在线段上，过点 的直线交抛物线于点
，且轴，连接，，，.当点在线段 上
移动时（不与， 重合），下列结论中正确的是( )
C
A. B.
C. D.四边形 的面积最大为13
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【解析】将代入抛物线 与直线
，可得，.设点的横坐标为 ，则
，, .联立
可得点的坐标为 .对于
令可得， 易知 ，
则，是等腰三角形选项，当 与抛物线的对称轴重合
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时，点，的坐标分别为，， 易得， ，
，故本选项错误选项，轴 ， 两点纵坐标相同
，，而 是等腰三角形，不是等边三角形，
，不成立，故本选项错误 选项，如图，作
，，是 的平分线.易证
，而
，故本选项正确 选项，
，， ，
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其最大值为，故的最大值为 ，故本选项错误.故选C.
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6. 【2025北京朝阳区调研，中】已知二次函数 的
图像与坐标轴共有两个交点，且这两个交点到原点的距离分别为2和3，对称轴在
轴左侧，则这个二次函数的表达式为__________________________________.
或
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【解析】 二次函数 的图像与坐标轴共有两个交点，且
这两个交点到原点的距离分别为2和3， 二次函数的图像与坐标轴的交点为
，. 对称轴在轴左侧，，， 这两个交点到原
点的距离分别为2和3， 当，时，，解得 ，
，；当，时， ，解得
，，.故答案为 或
.
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7.【2024江苏南京期末，中】已知二次函数的图像经过点 ，则
函数 的图像经过的定点坐标为_________________.
，
【解析】， 当时，， 二次函数
的图像经过定点.将二次函数 的图像向右平移1个单
位，再向下平移2个单位得到抛物线 二次函数
的图像经过点，， 将点， 分别向右平移1个
单位，再向下平移2个单位，得点，.故答案为，
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8.［中］点在以轴为对称轴的二次函数 的图像上，则
的最大值为__.
【解析】 抛物线的对称轴为轴，，即 ，
.将代入得 ，
，时，取最大值，为 .故
答案为 .
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关键点拨
熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
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9.【2024江苏南通通州区调研，较难】如图，二次函数 的图像
经过点，，，点 是函数图像上任意一点，有下列结
论：①二次函数的最小值为；②若，则 ；③若
，则；④一元二次方程的两个根为和 .其中
正确的是______.（填序号）
①④
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【解析】 二次函数的图像经过点，， 设二次函数表达式为
， 抛物线开口向
上， 二次函数的最小值为 ，故①结论正确.
， 当时，；当 时，
；当时，有最小值， 若，则 ，故
②结论错误.若，则点到直线的距离比点到直线 的距离小，
，，解得或 ，故③结论错误.
，， 一元二次方程 可化为
，即，解得或 ，故④结论正确.故
答案为①④.
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10.【2025江苏无锡期末，较难】在平面直角坐标系中，点,, 坐标分别为
,,，则过点,,的抛物线的顶点坐标是_ ________；若 是平面内
一点，且 ，则线段 的最大值是___________.
【解析】设抛物线的表达式为 ，把
,,代入,得解得
抛物线的表达式为
， 抛物
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线的顶点坐标为.是平面内一点，且 ， 点在 或
在上方，为和的弦，且的优弧 上，
如图所示， 当在上时，的值最大.， 为等腰直角三角
形.过点作于点， ，
， 点的坐标为 ，
.根据勾股定理,得
，的最大值为 .故答案
为, .
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另解
本题也可设两点式,代入求的值，进而得到过点 ，
， 的抛物线的表达式.
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11.［较难］定义：在平面直角坐标系中，若点 满足横、纵坐标都为整数，则把
点叫做“整点”．如：, 都是“整点”．当抛物线
与其关于 轴对称的抛物线围成的封闭区域内
（包括边界）共有9个整点时， 的取值范围是__________.
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（第11题图）
【解析】若抛物线与其关于 轴对称的
抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，则 轴上有
3个整点，且 轴上方、下方各有3个整点.
， 抛物线的开口向上,对称轴为直
线,抛物线必过点.如图，若抛物线过点 ，则
，解得 ，此时刚好有9个整点；若抛物线过
点，则，解得，此时有11个整点， ．故
答案为 .
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思路分析
先通过抛物线的表达式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，且过点 ，
再通过封闭区域内（包括边界）有9个整点，找到临界情况，求出 的取值范围．
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12.［较难］如图，“爱心”图案是由函数 的部分图像与其关于直线
的对称图形组成.点是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点 是其
对称点.若，则点 的坐标是______________.
或
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（第12题图）
【解析】如图，过点作轴，交轴于点，交直线
于点，连接，交轴于点，关于直线 对称，设
，, 易知 是等腰直角三角形.
，
，
，，， 或
（舍去），. 又在函数 的图像上，
，即，整理，得，解得 ，
.当时，， 点的坐标为；当
时，， 点的坐标为.故答案为或 .
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关键点拨
作垂线构造等腰直角三角形是解题的关键.
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13.［较难］如图，二次函数的图像与轴交于和 两
点，交轴于点，点， 关于二次函数图像的对称轴对称，
一次函数的图像过点， .
（1）求二次函数表达式.
【解】由抛物线与轴的交点坐标和 ，设抛物线的
表达式为.将代入，得，解得 ，则抛物线
的表达式为 .
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（2）求出顶点坐标和点 的坐标.
【解】， 顶点坐标为 ，抛物线的对
称轴为直线， 点关于对称轴的对称点的坐标为 .
（3）二次函数图像的对称轴上是否存在一点，使 的周长最小？若存在，
求出 点坐标；若不存在，请说明理由.
【解】存在.要使的周长最小，只需的值最小即可. 点和 关
于直线对称， 当的值最小时，直线与直线 的交点就
是点.设直线的表达式为.把和 代入，可解得
直线的表达式为.设点的坐标是 ，则
，即点的坐标为 .
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（4）若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点，则点 坐标为
多少时， 最长？
【解】如图，设点的坐标是， 点 的坐标是
，则
.
， 当时，的长取最大值，为 ，此时
，
即点坐标为时， 最长.
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思路分析
设点的坐标是，则点的坐标是，表示出 的长度，
根据二次函数的性质确定取最大值时的 值即可求解.
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14.【2025江苏苏州期末，较难】已知函数图像上一点，当自变量 的取值范
围为时，函数有最大值和最小值，令 .
（1）已知一次函数，当时，求 的值.
【解】当时， .
， 函数的最大值 ，函数的最小值
， .
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（2）已知反比例函数，当的值等于4时，求 的值.
【解】，，解得 .
，随的增大而减小，，解得或 （舍去），
经检验，是原方程的解， .
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（3）已知二次函数，是否存在实数，使得函数的最大值
为任意实数等于的最小值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解】存在实数，使得函数的最大值等于 的最小值.
， 函数图像的对称轴为直线, 的
最大值为 .
①当，即时,， ，
，此时的最小值为，则，解得 ；
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②当，即时,, ，
，此时的最小值为，则，解得 ；
③当,即时,, ，
，的最小值为，则,解得 ；
④当,即时,, ,
，的最小值为，则,解得 .
综上所述,的值为或 .
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