5.2课时3 y=a(x_h)^2_k与y=ax^2_bx_c的图像和性质-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数核心内容，系统梳理y=a(x+h)²+k与y=ax²+bx+c的图像性质，通过“刷基础-刷提升-刷素养”的学习支架，衔接二次函数基本形式，引导学生从基础认知逐步过渡到综合应用。 其亮点在于融入中考真题情境，通过分类讨论（如m取值范围分析）培养推理能力，微专题总结函数值比较、取值范围等方法构建模型意识。易错点警示帮助学生规避错误，课件可编辑且超链接跳转便捷，助力教师高效教学，提升学生数学思维与应用能力。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.2 二次函数的图像和性质 课时3 与 的图像 和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图像和性质 1.【2025江苏苏州期末】关于二次函数 ，下列说法正确的是 ( ) D A.其图像的开口向上 B.其图像的对称轴为直线 C.其最小值为5 D.当时，随 的增大而增大 【解析】选项A，该函数的图像开口向下，故选项A不符合题意；选项B，该函数图 像的对称轴是直线，故选项B不符合题意；选项C，当时 取得最大值5， 故选项C不符合题意；选项D，当时，随 的增大而增大，故选项D符合题意. 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.二次函数的图像上有三点，， ，则 ，， 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 【解析】， 二次函数图像开口向上，对称轴是直线， 在对称轴的右侧,随的增大而增大.关于直线的对称点是 ， 且， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3.【2024河北石家庄期末】已知二次函数，当时，函数 的最小值是____，最大值是___. 5 【解析】， 二次函数为， 图像的对称 轴为直线，图像开口向上，当时，函数 取得最小值 ， 当时，函数取得最大值，最大值为5， 当时，函数的最小值和最大值分别是和5，故答案为 ，5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识点2 二次函数与 之间的 关系 4.将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后， 得到的抛物线的表达式为( ) B A. B. C. D. 【解析】， 将抛物线 向上平移2 个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.将二次函数（, 为常数）的图像先向左平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度后，得到的图像顶点坐标为，则 的值为___. 3 【解析】根据题意知，原抛物线的顶点坐标是，即 ，则原抛物 线的表达式为．故， ，所以 ．故答案为3． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点3 二次函数 的图像和性质 6.已知点，是二次函数 图像上的两个点，若当 时，随的增大而减小，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】 点，是二次函数 图像上的两个点， 该二次函数图像的对称轴为直线，且开口向上. 当时，随 的 增大而减小，，解得 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 思路分析 先根据点， 是该二次函数图像上的两点且纵坐标相等，得对称轴为直线 ，再根据图像开口向上，且时，随的增大而减小，得 ， 解之即可得到答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 7.关于的二次函数的图像过原点，则 的值为____， 图像开口向____，顶点坐标为______. 下 【解析】把代入，得，解得 ， ，,的值为 ， ， 函数图像开口向下，顶点坐标为 .故 答案为，下， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 8.【2024浙江杭州西湖区期中】已知二次函数 . （1）求这个函数图像的顶点坐标. 【解】 二次函数表达式为， ， ， 该函数图像的顶点坐标为 . （2）若点在该二次函数图像上，且到轴的距离小于2，求 的取值范围. 【解】 点在该二次函数图像上，且到轴的距离小于2， 二次函数表达式为，, 二次函数的图像开口向下.把 代入表达式，得;把 代入表达式，得 .又 二次函数图像的顶点坐标为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 知识点4 二次函数 的图像与系数的关系 9.【2025贵州铜仁质检】已知二次函数 的图像如图，下列4个结论： ;;; . 其中正确的结论有______.（填序号） ①② 【解析】由二次函数的图像开口向下得 对称轴 ， 二次函数的图像交轴于正半轴，，，故①正确. 对 称轴，，，故②正确.由图像知当 时， ，故③错误.当 时， ，故④错误. 正确的结论有①②. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 刷易错 易错点 忽视隐含条件致错 10.若二次函数的最小值为2，则 的值是___. 4 【解析】 抛物线的对称轴为直线， 当 时，有最小值，，整理可得 ， 解得或.又 函数有最小值，, . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 易错警示 解题时易忽视根据函数有最小值，可得 这一隐含条件致错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 提升 1.【2024江苏南京玄武区期末，中】在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像可能是( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 【解析】A选项，由函数的图像可知， 函数 的图像应开口向上，故A选项错误；B选项，由函数 的图像可知， 函数 的图像应开口向上，对 称轴为直线，即对称轴应在 轴左侧，故B选项错误；C选项， 由函数的图像可知， 函数 的图像应开口向 下，故C选项错误；D选项，由函数的图像可知， 函数 的图像应开口向上，对称轴为直线 ，即 对称轴应在 轴左侧，故D选项正确.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 2.［中］如图，在正方形中，点，的坐标分别是 ， ，点在函数的图像上，则 的值是( ) B A. B. C. D.1 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 【解析】 . 如图所示，作轴于，,交的延长线于 四边形 是正 方形， ，， ， ， ， ，.设 点，的坐标分别是， ， 解得 点在函数 的图像上， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 ，解得 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （第3题图） 3. 【2025江苏苏州期中，中】如图，将抛物线 绕原点顺时针旋转 得到新曲线，新曲线与 直线交于点，则点 的坐标为_ _________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】 直线绕原点逆时针旋转 得到直线 ，设抛物线 与轴的交点为，则.将 代入 ，得，.设点 ， ，（负值已舍去）， 点的坐标为 .故答案 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 关键点拨 本题的关键是能识别出原抛物线与直线组成的图形绕点顺时针旋转 和 新曲线与直线组成的图形完全重合，由此得到 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 4.【2024河北保定期末，中】如图，抛物线 与 交于点，过点作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ,，则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；；③当 时， ； .其中正确的结论是______（填序号）. ①④ （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解析】 抛物线开口向上，顶点坐标在轴的上方， 无 论取何值，的值总是正数，故本结论正确.②把代入 ， 得，解得，故本结论错误, 抛物线 .当时， ， ，故，故本结论错误 抛 物线与交于点， 抛物线 的对称轴 为直线，抛物线的对称轴为直线，， ， ，， ，故本结论正确.故答案为①④. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 5.【2025江苏淮安调研，中】已知二次函数为常数 . （1）不论 为何值，该函数图像恒过定点 _________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _____________________________ ； 【解】 ，当，即 时， ， 不论 为何值，该函数图像恒过定点， 定点为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）已知点，在该二次函数图像上，若，求 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解】， 二次函数图像的对称轴为直线 . 当时，点，在函数图像对称轴的右侧，此时随 的增大 而增大，则 ，不符合题意，舍去； 当时，点，在函数图像对称轴的左侧，此时随 的增大而 减小，则 ，符合题意； 当时，由得出点到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离， ，解得, . 综上所述，的取值范围为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 刷素养 走向重高 6.思想方法 分类讨论 【2025江苏南通调研，较难】在平面直角坐标系 中， 已知抛物线 . （1）当 时，求抛物线的顶点坐标. 【解】当时，， 当 时，抛物 线的顶点坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）已知和 是抛物线上的两点. ①若对于，，有，求 的值； 【解】由抛物线得其对称轴为直线 . 和是抛物线上的两点，且对于，，有 ， 点,关于直线对称， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 ②若对于，，都有，求 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 【解】当时，，则.当 时，抛物线的开口向上，且 . 点关于直线的对称点为，时，随的增大而增大， 时，随的增大而减小， 若当时，都有，则 ，解得 ， . 当时，抛物线的开口向下，且 点关于直线 的对称 点为，时，随的增大而减小， 当时，都有 ， 不符合题意. 综上，满足条件的的取值范围为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 关键点拨 分和 两种情况讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 微专题1 二次函数中函数值大小比较的方法 1.代数法 【2025浙江杭州期中，中】已知三点，， 在抛物线 上，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D.无法比较 【解析】 点，，都在抛物线 上， ，，， . 故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 37 2.对称法 【2025吉林长春校级期中，中】已知点，， 均在二次函数的图像上，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 【解析】二次函数图像的对称轴为直线，则点 关 于直线的对称点为， 抛物线 开口向下， 当时，随的增大而增大.， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 38 3.距离法 【2025福建漳州期末，较难】已知点，， 都在二 次函数的图像上，若， ， ，则下列关于，， 三者的大小关系判断一定正确的是( ) B A.可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C.可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 【解析】在 中，其图像的对称轴为直线 ，， ， , 点离对称轴最远，点 离对称轴最 近.当时，抛物线开口向上，；当 时，抛物线开口向 下，.综上，和可能最大，也可能最小, 不可能最大，也不可 能最小.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 39 思路分析 分和 两种情况讨论，根据已知三点与对称轴的距离，结合抛物线开口 方向分析即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 40 4.中点法 【2025北京东城区调研，中】在平面直角坐标系中， ， 是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 . （1）若对于,，有，求 的值； 【解】 对于,有， 抛物线的对称轴为直线 . 抛物线的对称轴为直线， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 41 （2）若对于,，都有，求 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 42 【解】,，，.又， ， 点离对称轴更近，则点与 连线的中点在对称轴的右侧， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 43 微专题2 二次函数取值范围问题 1.定轴定范围 【2025陕西西安质检，中】在下列区间内求二次函数 的最值. 【解】，抛物线对称轴为直线.当 时，随的增大而增大；当时，随 的增大而减小. （1）全体实数. 【解】在全体实数范围内，当时，函数有最小值 ,没有最大值. （2） . 【解】在的区间内，当时，函数有最小值;当 时， 函数有最大值5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 44 （3） . 【解】在的区间内，当时，函数有最小值;当 时，函 数有最大值0. （4） . 【解】在的区间内，当时，函数有最小值0;当 时，函数有最 大值12. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 45 2.定轴动范围 （1）【2025浙江台州期末，中】当 时，二次函数 的最小值是，则 _ ________. 1或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 46 【解析】抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时,随的增大而增大；当时，随的增大而减小.①当 ，即 时，则当时，，，解得 ，不 符合题意，舍去.②当，即时，则当时， ， ，解得.③当，即时，则当 时，，, ，解得 ,（舍去）.综上所述，或.故答案为1或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 47 关键点拨 依据题意，可得抛物线对称轴为直线，进而结合二次函数的性质分 ， 和 三种情形进行讨论即可得解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 48 （2）【2025河南郑州期中，中】已知二次函数 ，当 时，有最小值和最大值1，则 的取值范围是______________. 【解析】二次函数, 该函数图像 开口向上，对称轴是直线，当时，该函数取得最小值 当 时，有最小值和最大值1，且当时， ，根据抛物线的 对称性，当时，，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 49 3.动轴定范围 【2025江苏苏州期末，中】当时，二次函数 的最大值是，最小值是，若，则 的值是_________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 50 【解析】， 抛物线对称轴为直线 ，抛物线 开口向上.①若，即，则当时，，当 时， ，，解得 （舍去）.②若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.③ 若，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.④若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得（舍去）.综上可知， 的 值是或，故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 51 4.动轴动范围 【2025安徽芜湖期中，中】已知抛物线 为常数，当时，与其对应的函数值 的最小值为9，求此时的 二次函数表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 52 【解】， 抛物线对称轴是直线 ， 抛物线开口向上. ①当，即时，当时，， ，解 得（负值已舍去），此时的二次函数表达式为 . ②当，即时，当时，， ， 解得 （都不符合题意，舍去）. ③当，即时，当时， ， ，解得（舍去）或 ，此时的二次 函数表达式为 . 综上，二次函数表达式为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 53 $