5.2课时2 y=ax^2_k与y=a(x_h)^2的图像和性质-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数图像与性质，核心知识点为y=ax²+k与y=a(x-h)²的平移规律、顶点坐标及对称轴应用。课堂从复习y=ax²图像入手，通过江苏等地质检题实例，逐步引导学生掌握“上加下减常数项”“左加右减自变量”规律，构建从平移到性质分析的学习支架。 其特色在于融合数学眼光中的几何直观与数学思维中的推理能力，通过分层设计“刷基础”“刷提升”“刷易错”模块，结合2024无锡质检平移题等实例，用“平移规律口诀”总结知识。易错警示帮助学生规避思维漏洞，既提升学生解题与抽象能力，又为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.2 二次函数的图像和性质 课时2 与 的图像和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数的图像与二次函数 的图像 间的关系 1.【2024江苏无锡锡山区质检】要得到抛物线，可以将抛物线 ( ) B A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 【解析】抛物线的顶点坐标是，抛物线 的顶点坐标是 ，则可以将抛物线向下平移1个单位长度得到抛物线 .故 选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2.将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，则 ____， ___. 2 【解析】由于抛物线平移后的形状不变，故不变，则 ；由抛物线 向下平移3个单位长度后得到抛物线，得 ，则 .故答案为 ,2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 归纳总结 函数图像的平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”这一规律. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 知识点2 二次函数 的图像和性质 3.【2025江苏南通质检】已知二次函数 ，下列说法正确的是( ) B A.图像的对称轴为 B.图像的顶点坐标为 C.函数的最大值是 D.函数的最小值是3 【解析】 A 图像的对称轴为 轴，此选项说法错误，不符合题意 B 图像的顶点坐标为 ，此选项说法正确，符合题意 C 中 ，图像开口向下，则函数有最大值3，此选项说法错 误，不符合题意 D 中 ，图像开口向下，则函数有最大值3，此选项说法错 误，不符合题意 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 4.【2024江苏南通调研】已知二次函数，当时， 的最小 值为____. 【解析】二次函数的图像的对称轴为轴，且, 在 范围内，当时，有最小值，最小值为，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 5.抛物线上有两点，，且， ，则当 时， ___. 3 【解析】由题意，得点，关于抛物线 的对称轴对称. 对称轴为直线，.将代入 ，得 .故答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 知识点3 二次函数的图像与二次函数 的图 像间的关系 6.【2024江苏连云港期末】把二次函数 的图像向左平移2个单位，所得函 数图像的表达式是( ) D A. B. C. D. 【解析】把二次函数 的图像向左平移2个单位，所得函数图像的表达式是 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 7.在平面直角坐标系中，抛物线保持不动，将 轴向左平移1个单位 （ 轴不动），则在新平面直角坐标系中抛物线的表达式是( ) C A. B. C. D. 【解析】抛物线的顶点坐标为 将 轴向左平移1个单位 （轴不动）， 新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为， 在新平面直 角坐标系中抛物线的表达式是 ．故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识点4 二次函数 的图像和性质 8.【2025江苏盐城期中】已知二次函数 的图像如 图所示，则 可能是( ) D A.7 B.6 C.5 D.4 【解析】 抛物线的开口向下，，解得 ，观察四个 选项，选项D符合题意.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 9.抛物线上有三个点,,,则,, 的大 小关系是_____________.（用“ ”连接） 【解析】,, 函数图像开口向下，对称轴为直线, 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 关于 对称轴的对称点为,,,故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 10.【2024河南信阳质检】下面是三位同学对某个二次函数图像的描述.甲：形状、 开口方向与抛物线相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是直线 . 请你写出这个二次函数的表达式：_______________. 【解析】根据题意设二次函数表达式为.根据题意得, ， 二次函数的表达式是，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 11.已知二次函数，时的函数值与 时的函数值相等，则当 时的函数值为____. 18 【解析】时的函数值与时的函数值相等， 抛物线的对称轴为直线 ，则， 抛物线的表达式为， 当 时的函数值为 .故答案为18. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 12.【2025江苏苏州高新区质检】抛物线与轴的交点为，与 轴的 交点为，则 的面积为___. 6 【解析】令，得，， 点的坐标为.令 ，得 ， 点的坐标为 点的坐标为，点 的坐标为 ，，, . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 刷易错 易错点 对平移的规律理解不透彻而致错 13.已知抛物线与抛物线的形状完全相同，且抛物线 沿对称轴平移2个单位后就能与抛物线 完全重合，求这两个抛物线的 表达式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 【解】 抛物线与抛物线 的形状完全相同，且经过平移两抛 物线能够完全重合，， . 又 抛物线的对称轴为轴，且抛物线 沿对称轴平移2个单位 后就能与抛物线完全重合， 平移后的抛物线的表达式为 , 这两个抛物线的表达式为和 易错警示 本题在求常数项 时,在只知道平移的单位长度而没有确定平移的方向时，易因没 有全面考虑各种情况而出错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 提升 1.【2025浙江杭州质检，中】已知点和点 均在函数 的图像上，若且满足 ，则下列关系一定不 正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】， 函数 的 图像开口向上.且满足， 点在点的左侧或点在点 的右侧且 .当点在点的左侧时，， ， ；当点在点的右侧且 时， ，， .综上所述，选项D中的关 系一定不正确.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 （第2题图） 2.【2025湖北武汉质检，中】如图，已知抛物线 的顶点在轴上，过点作轴的平行线 ，将抛物线对称轴右 侧的部分沿直线 翻折后，所得的部分与原抛物线未翻折的部 分构成一个新函数的图像（图中的实线），若 , ,, ,, 这10个点都 在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从 开始依次增加1， 则 的值是( ) C A. B.0 C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】 抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴，与点 重合，即，根据对称性可得与，与,与,与 都关于点 对称， ， 又 ， ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.【2025浙江温州期末，较难】已知二次函数.当 时，函 数的最大值与最小值的差为12，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】 函数， 其图像的开口向下，顶点坐标为 ，对称轴 为轴，最大值为9，在对称轴左侧，的值随着 值的增大而增大；在对称轴右 侧，的值随着值的增大而减小.①当时，当 时函数取得最小值，最 小值为，时函数取得最大值，最大值为， ， 解得，不符合题意，舍去；②当时， 时函数取得最大值，最 大值为9，时函数取得最小值，最小值为 ，此时最大值与最小值的差为 12，符合题意；③当时，时函数取得最大值，最大值为9， 时函 数取得最小值，最小值为，，解得， ， 不符合题意，舍去.综上，的取值范围为 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （第4题图） 4. ［中］如图，抛物线与抛物线 的交点在轴上，现将抛物线向下平移 个单位，抛 物线 向上平移__个单位，平移后两条抛物线的交点还 在 轴上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】把代入得，解得 ， ， 两抛物线的交点坐标为，.把 代入 ,得，解得， .抛物线 向下平移个单位后得到抛物线的表达式为 . 把代入，得，解得， 抛物线 与轴的交点为，.把代入 , 得 ， 抛物线经过点， 把抛物线向上平移 个单位后两条抛物线的交点还在轴上.故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 5.【2024江苏连云港海州区调研，较难】如图，二次函数 的图像经 过点，与轴交于点，，分别为轴、直线 上的动点，当四边形 的周长最小时，点 的坐标为______. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】抛物线的对称轴为直线.如图，作点关于直线 的对称点，则，作点关于轴的对称点，连接交轴于点 ，交直线 于点，此时四边形的周长取得最小值.将点 代入 得，解得， 抛物线表达式为.当 时，， 点的坐标为，则点的坐标为.设 所在直线的表达 式为.将，代入得 解得 所 在直线的表达式为.当时，，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 思路分析 作点关于抛物线对称轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交 轴于点 ，交对称轴于点，此时四边形 的周长取得最小值，再求得抛物线表达式 即可求得点坐标，利用对称的性质得出点,的坐标后求出直线 的表达式， 即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 6.【2024江苏宿迁质检，中】如图，二次函数的图像与轴交于点 ， 与轴交于点 . （1）求抛物线的对称轴. 【解】， 对称轴为直线 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （2）在平面直角坐标系内是否存在一点，使以，，， 为顶点的四边形为 平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解】存在.令，则，令，则，, .设 以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 当 为对角线时， 解得 ; 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 当为对角线时， 解得;当 为对角线 时， 解得 . 综上所述，点坐标为或或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合 【2025江西南昌调研，较难】在平面直角坐标系中，抛物 线与抛物线 如图所示.请仅用无刻度的直尺按要求完成以 下作图（不写作法，保留作图痕迹）. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （1）在图（1）中作一个菱形； 【解】如图（1），菱形 即为所作. 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （2）在图（2）中作一个矩形. 【解】如图（2），矩形 即为所作. 图（2） 关键点拨 利用二次函数的图像与性质，结合菱形与矩形的判定作图. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 $