5.2课时1 y=ax^2的图像和性质-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“二次函数y=ax²的图像和性质”，通过“刷基础”“刷提升”分层设计，从图像绘制、开口方向判断到性质应用，构建递进学习支架，帮助学生衔接二次函数概念与图像性质的关联。 其亮点在于结合2025年各地中考质检真题，注重抽象能力和推理意识培养，如通过点坐标对称关系推理函数类型，结合梯形、正方形等几何图形应用性质。学生能分层巩固知识，教师可编辑课件并利用超链接跳转，提升教学效率。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.2 二次函数的图像和性质 课时1 的图像和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图像 1.下列抛物线中，开口向下的有( ) ；；； ． B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】根据二次项系数小于0时图像开口向下可知，图像开口向下的是①④，共 2个.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2025江西新余调研】如图，这是四个二次函数的图像，则 ，，， 的大小关系为______________. 【解析】假设直线 的位置如图，该直线与四条抛物线的交 点坐标从上到下依次为，，， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3.【2025北京海淀区质检】通过列表、描点、连线的方法画函数 的图像. 【解】列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 … 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 描点、连线得到图像如图所示. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点2 二次函数 的性质 4.已知点，， 在同一个函数的图像上，这个函数可能 是( ) D A. B. C. D. 【解析】，， 点与点关于轴对称， 符合题意的只有C、 D选项.由，可知，在对称轴的右侧，随 的增大而减小.由二 次函数的性质可知，当时，在对称轴的右侧，随的增大而减小， 符合题 意的只有D选项.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.【2025浙江金华期末】二次函数图像上有三个点， ， ，下列说法错误的是( ) A A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.无论取何值，都有 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解析】二次函数 的图像如图所示.选项A，若 ，则根据图像可知 ，故选项A是 错误的.选项B，易知当时， ，故选项B是 正确的.选项C，若 ，则根据图像可知 ，故选项C是正确的.选项D， ， ， ，故 选项D是正确的.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.【2025河北张家口期中】已知二次函数 图像上有两个不同的点 ，，则 ___. 0 【解析】 二次函数表达式为， 该二次函数图像的对称轴为轴. 图像上有两个不同的点,，, 关于对称轴对称， .故答案为0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7.已知点,是函数的图像上的两点，且当 时，有，则 的取值范围是_______. 【解析】 当时，有，， ．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 8.【2025甘肃武威质检】如图，梯形 的顶点都在抛物线 上，且轴.点坐标为，点坐标为 . （1）求， 的值； 【解】当时，， 点 在第三象限， .当时，， . （2）求， 两点的坐标； 【解】轴，点与点，点与 点的纵坐标相同. 抛物线关于轴对称，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （3）求梯形 的面积. 【解】由上得， ，梯形的高为5， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 刷易错 易错点 求最值时，忽略顶点处取最值致错 9.在这个范围内,二次函数 的最大值为____，最小值为___. 16 0 【解析】当时,随的增大而减小，此时, . 当时,随的增大而增大，此时, .综上所述,在 这个范围内，函数有最大值16,最小值0.故答案为16,0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 易错警示 此题容易忽略在顶点处取最小值，误认为在端点处取最小值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 1.［中］如图，当时，函数与函数 的图像大致是( ) C A. B. C. D. 【解析】当时,,，的图像开口向上， 的 图像经过第一、二、三象限；当时，，， 的图像 开口向下， 的图像经过第二、三、四象限.综上可知，C选项符合.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 思路分析 分和两种情况讨论.当时，由可知;当 时，由 可知 ，分别分析图像即可确定正确的选项. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 2.【2024江苏宿迁期末，中】如图，正方形的顶点 在二次 函数的第一象限的图像上，若点 的横坐标与纵坐标之和等 于6，则对角线 的长为( ) C A.2 B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 思路分析 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】设点的横坐标为 点的横坐标与纵坐标之和等于6， 点 的纵坐标 为 点在二次函数的第一象限的图像上， ，解得 （不合题意，舍去），，， 点的坐标为 .如图， 连接，则.四边形是正方形， . 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.【2025浙江绍兴期末，中】已知点,为二次函数 图像上的两 点（不为顶点），则以下判断正确的是( ) C A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】，， 该函数图像的对称轴为轴，开口向上， 当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大选项，当 时， 不一定大于，例如当时，，当时，，此时 ， 但是，故选项A错误.B选项，当时，不一定小于 ，例如当 时，，当时，，此时，但是 ,故选项B错 误.C选项，，，或 .当 时，;当时，， 当时， , 故选项C正确.D选项，当时，不一定小于，例如当 时， ，当时，，此时，但是 ，故选项D 错误.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （第4题图） 4.【2024河南商丘调研，中】如图，正方形四个顶点的坐标依次为 ，，，，若抛物线 与正方形的边有公共 点，则实数 的取值范围是__________. 【解析】当抛物线经过点时，;当抛物线 经过点时，,.故观察图像可知 时，抛 物线与正方形的边有公共点.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 关键点拨 本题的关键是找到临界点，代入求得 的临界值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （第5题图） 5.【2025浙江台州质检，中】如图，点的坐标为 ，平 行于轴的直线分别交抛物线 与 于,两点，过点作 轴的平行线交抛物线 于点,过点作轴的平行线，交抛物线于点，则 的 长为___. 2 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】,轴， 点,的纵坐标相同，，解得 （负值已舍去）， 点的坐标为轴， 点的横坐标与点 的横坐 标相同，为2， 点的纵坐标为， 点的坐标为轴， 点 的纵坐标与点的纵坐标相同，为4，，解得（负值已舍去）， 点的坐标为， .故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 6.［较难］如图，点，，， ，在二次函数 第一象限的图像上， 点，，， ，在轴上.若,, , 都为等 腰直角三角形（点与坐标原点重合），则 的腰长为_______ ___. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解析】如图，作轴，轴，垂足分别为， ，作 轴，轴，垂足分别为,， 都是等腰直角三角形， ， .设，则，将其代入表达式 ， 得，解得（不合题意，舍去）或， .由 勾股定理得.设点，可得 , .又 点在抛物线上，，，解得 或 （不合题意，舍去），.同理可得 ， ， ，， 的腰长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 刷素养 走向重高 7.思想方法 分类讨论 【2024湖南益阳期中，较难】在平面直角坐标系 中， 直线与轴交于点，与抛物线交于， 两点 （在 的左边）. 图（1） 图（2） （1）求 点的坐标； 【解】令，得，故点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）如图（1），若点关于轴的对称点为点，当以点，， 为顶点的三角 形是直角三角形时，求实数 的值； 【解】联立直线与抛物线 得 ，或，， . 点关于轴的对称点为点， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 若 ，则，即 ，解 得 （负值已舍去）; 若 ，则，即 ，解 得 （负值已舍去）; 若 ，则，即 ，此 方程无实数解. 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 用含的式子表示出，， ,利用勾股定理列方程并求解，因为直角顶 点不确定，所以需分类讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点，如 ，均为整点.如图（2），直线与抛物线 所围成的封闭图形 （即阴影部分，不包含边界）内的整点数恰好是26个，求 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 【解】如图，直线与抛物线 所围成的封闭图形（即阴影部 分，不包含边界）内的整点只能落在轴和直线 上. ，，， 整点数恰 好是26个， 落在轴和直线 上的整点数应各为13个.由 落在轴的整点有13个得，即 . ①若，则， 线段上的整点应该为，， ， ，,, ； ②若，则，， 线段 上的整点正好有13个. 综上，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 $