5.5课时1 最值问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“二次函数解决最值问题”，涵盖面积与利润两类核心应用。通过矩形花圃、销售利润等生活实例导入，衔接二次函数表达式与性质，搭建“设变量-列关系式-配方求最值”的学习支架，帮助学生逐步掌握实际问题的数学转化方法。 其亮点在于以真实情境问题驱动教学，如“十字形小径面积计算”“企业利润最大化分析”等实例，培养学生用数学眼光抽象数量关系。通过规范的解析步骤（如配方推导、定义域讨论）发展数学思维中的推理与运算能力，“刷基础+刷提升”分层设计落实模型意识与应用意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可直接用于分层教学与素养训练。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.5 用二次函数解决问题 课时1 最值问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用二次函数解决实际中的面积问题 （第1题图） 1.如图，在长为、宽为 的矩形花圃里建有等宽的十字 形小径，若小径的宽不超过 ，则花圃中的阴影部分的面积有 ( ) A A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值 【解析】设十字形小径的宽为，花圃中的阴影部分的面积为 .由题意得 ， 当 时，有最小值，此时 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 思路分析 设十字形小径的宽为，花圃中的阴影部分的面积为 .根据平移的性质可得， 花圃中的阴影部分可看作是长为，宽为 的矩形，然后进行计 算即可解答. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 2.【2025安徽滁州校级期中】现有一张五边形的钢板 如图所示， ，在边上取一点，分别以， 为边各剪下一个正方 形钢板模型，所剪得的两个正方形面积和最大为______ . 14.5 （第2题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 【解析】如图，过作，交于，过作于 ， 则，是等腰直角三角形，则易知 是 等腰直角三角形.设 ，所剪得的两个正方形面积和为 ，则 ，则 .由得 ， ， ， ，当时， 有最大 值，此时 ，故答案为14.5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 3.【2025江苏徐州质检】某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源， 该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为 ，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏 把它分成面积比为的两个矩形，已知栅栏的总长度为 ，设较小矩形与墙相 对的一边长为 （如图）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时 的值； 【解】根据题意知较大矩形与墙相对的一边长为 ，与墙垂直的一边长为 ，，解得或 . 时， ，不符合题意，舍去， . 答：此时 的值为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 （2）当 的值为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大为多少？ 【解】设矩形养殖场的总面积是 墙的长度为， .根据题意, 得 . ， 当时， 取最大值，最大值为48. 答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 知识点2 用二次函数解决实际中的利润问题 4.【2025江苏无锡期末】某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在 生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数， 其部分数据如下表： 生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件） 1 9 16 2 8 14 3 7 12 为获得最大利润，生产数量应为（假设所有生产的产品均能销售完）( ) B A.3万件 B.4万件 C.5万件 D.6万件 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 【解析】设生产数量为万件，生产成本为元/件，销售价格为 元/ 件. 生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数， 设 ，.由题表得 解得 .由题表得 解得 .设利润为 万元，则 ， 当 时，利润最大,即为获得最大利润，生产数量应为4万件.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 5.【2024江苏南通模拟】某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元， 规定销售单价不低于44元/个，且不高于52元/个.某商户在销售期间发现，当销售 单价定为44元/个时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销售量减少 10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为 元/个. （1）写出与之间的函数关系式和自变量 的取值范围. 【解】根据题意得，与 之间的函数关系 式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （2）将纪念品的销售单价定为多少元/个时，商家每天销售纪念品获得的利润 （元）最大？最大利润是多少元？ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 【解】根据题意得 ， 当时，随的增大而增大.， 当时， 有最大 值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为52 元/个时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是2 640元. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不 低于2 200元，求销售单价 （元/个）的范围. 【解】依题意可知剩余利润为 元. 捐款后每天剩余利润不低于2 200元， ，即，解得 . ， . 答：为保证捐款后每天剩余利润不低于2 200元，销售单价 （元/个）的范围是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 提升 1.【2024江苏镇江期末，中】如图（1），一张边长为 ，（ 为正整数）的长方形纸片的面积等于 ，将它切割、拼补成一个新的正方形 （如图（2））， 可以取得的最小整数是( ) B A. B. C. D.3 【解析】根据题意得 ， ，且，随的增大而增大， 当时，可以取得最小整数，此时 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 2.［中］为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为 的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积 相等，则长为______时，围成的矩形区域 的面积最大. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 【解析】如图. 三块矩形区域的面积相等， 矩形 的面积 是矩形面积的2倍，.设 ， ，矩形区域的面积为 ,则 .由题意得 ， 即， ， ， , ，则, 当 时，取得最大值.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 关键点拨 本题考查了二次函数在几何图形的面积问题中的应用，理清题中的数量关系从而 正确地得出函数关系式，同时明确二次函数的相关性质，这是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 3.［较难］某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价（元）、每千克 成本（元）与交易时刻（时）之间的关系分别如图（1）、图（2）所示（图（1）、 图（2）中的图像分别是线段和抛物线的一部分，其中点 是抛物线的顶点）．在 这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是_____，此时每千克的收益是 _ ____. 9时 元 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 【解析】设交易时刻（时）与每千克售价 （元）之间的函数关系式为 .将,代入,得解得 所以 .设每千克成本（元）与交易时刻 （时）之间的 函数关系式为.将 代入，得 ,解得，所以 .设 在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为 元.根据题意，得 ， 则, 当时，，取得最大值．故答案为9时， 元． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 关键点拨 根据两个函数图像分别求出两个函数表达式，再根据收益 售价-成本列出二次函 数表达式即可求解． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 4.【2025浙江温州期中，较难】某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预 测，甲产品的利润（万元）与投资金额（万元）成正比；乙产品的利润 （万元）与投资金额（万元）成二次函数关系，其关系如图,其中点，， 的 坐标分别为，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （1）分别求出甲、乙两种产品的利润与投资金额之间的关系式. 【解】由题意可设 . 在函数图像上，，解得， 甲产品的利润与投资金额之间 的关系式为 . 设，将,代入,得 解得 乙产品的利润与投资金额之间的关系式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （2）若该企业将资金全力投入乙产品的生产，投入资金至少超过多少才能使企业 获利? 【解】当时，，解得，, 该企业将资金全力 投入乙产品的生产，投入资金至少超过12万元才能使企业获利. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 （3）该企业准备筹集 万元投入甲、乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品 最小利润不低于投资金额的 ，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 【解】设该企业准备筹集万元投入乙产品的生产，总利润为 万元，则投入甲产 品的资金为 万元， ,函数 的图像的对称轴 为直线 . 又, 当时，， ， 解得 . 答：该企业至少要筹集到80万元资金. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 5.【2025浙江宁波质检，较难】植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 的墙，现准备一边利用墙，其他边用长为 的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了 甲、乙两种方案（如图所示）：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中 的长超 过了墙长. 甲 乙 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 （1）若使用方案甲，设的长为，矩形的面积为 . ①求与 之间的函数关系式； 【解】的长为，的长为 ， . ②求矩形 面积的最大值. 【解】的长不超过墙长， . ,， 当时，随 的增大 而增大， 当时，矩形 的面积最大，最大为 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 （2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由. 【解】方案乙能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是 .理由如下：方案乙 中，设的长为，矩形的面积为 ，则 . 方案乙中的长超过了墙长， . ，，， 当时，矩形 的面积最 大，最大为 . ， 方案乙能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 $