5.4 二次函数与一元二次方程-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，从抛物线与x轴交点切入，连接根的判别式、方程近似解及不等式求解，构建“概念-例题-方法”的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于结合2025年各地期末真题，通过分层练习（刷基础、刷提升）和方法总结（如整体思想），培养学生抽象能力与推理意识。例如用判别式判断交点个数，用表格数据求方程近似解，助力学生巩固基础提升能力，为教师提供系统教学资源。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.4 二次函数与一元二次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 1.【2025江苏扬州期末】抛物线与 轴的交点个数是( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】令，得，而 ， ，， 抛物线与 轴的交点个数是2.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 方法总结 不画图像，判断二次函数的图像与 轴的公共点的个数时，一般先把它转化成判断 相应的一元二次方程的根的情况，然后根据根的判别式与0的大小关系得出结论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2025河南新乡一模】二次函数 的图像如图所示， 对称轴是直线，则点 的位置在( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由图像可得，该二次函数与轴无交点， 一元二次方程 无实数根，.由图像可得当 时， ， 点 在第二象限.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.若二次函数的图像经过点，则方程 的解为( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】， 二次函数图像的对称轴为 直线 二次函数的图像经过点， 二次函数图像 与轴的另一个交点坐标为， 方程的解为 ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.【2025江苏扬州期末】二次函数的图像经过点 ， ，则关于的一元二次方程 的解为___________ _______. ， 【解析】 二次函数的图像经过点，， 可以得 到方程的解为或 方程 可以转化为方程 ， 或，解得，.故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 关键点拨 利用整体思想简化运算是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.【2024江苏南京鼓楼区质检】已知二次函数 . （1）求证：无论为何值，该函数的图像与 轴总有公共点； 【证明】当时， ， ， 该方程总有实 数根， 无论为何值，该函数的图像与 轴总有公共点. （2）已知该函数的图像在 轴上截出的线段长为8，且原点位于该图像的上方，求 的值. 【解】令，则，解得，， 该函数图像 与轴有两个交点， 该函数图像在 轴上截出的线段长为8， ，或 原点位于该图像的上方， 当 时， ，即， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点2 用二次函数求一元二次方程的近似解 6.【2025江苏泰州质检】如表是部分二次函数的自变量 与函数值 的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么最接近方程 的一个根是( ) B A.1.1 B.1.2 C.1.3 D.1.4 【解析】观察表格,得当时，函数值为，在给出的 值中最接近于0，即 最接近方程 的一个根为1.2.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7.二次函数（，，，为常数）中，函数与自变量 的部 分对应值如下表，则方程 的一个解的范围是( ) … 3.17 3.18 3.19 … … 0.02 … B A. B. C. D. 【解析】由表格中的数据看出 和0.02更接近于0，且不同号，故方程 的一个解的范围为 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 知识点3 用二次函数的图像解不等式 8.如图是二次函数 的图像，则不等式 的解集是( ) D A. B.或 C. D.或 【解析】由抛物线和轴的交点为，对称轴为直线，得当或 时，，故不等式的解集为或 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 9.【2025广东广州期末】如图，抛物线与直线 相交于点 和点 . （1）求和 的值； 【解】把代入，得，.把 代 入，得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）求点的坐标，并结合图像写出不等式 的解集. 【解】由（1）可得，抛物线的表达式为 ，一次函数的表达式为 . 联立得 解得或 . 由函数图像可知，当时，， 不等式的解集为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 1.［中］若二次函数的图像与轴交于， 两点 ，且，则 ( ) B A. B. C.或 D.0或 【解析】的图像与轴交于，两点，, 是方 程的两个根， ， ， ， 解得或.的图像与 轴有两个不同的交点， ，， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 2.［中］已知二次函数的图像经过与两点，关于 的 方程有两个根，其中一个根是3，则关于 的方程 有两个整数根，这两个整数根是( ) B A.和0 B.和2 C.和3 D. 和4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】 二次函数的图像经过与两点， 当 时，的两个根为和1，函数 的图像的对称轴是 直线.又 关于的方程 有两个根，其中一个 根是3, 另一个根为，易知函数的图像开口向下. 关于 的 方程有两个整数根， 抛物线 与轴的一个交点的横坐标在与 之间，另一个交点的横 坐标在1与3之间, 关于的方程 的两个整数根 符合上述范围的是 和2.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 3.【2025江苏南通一模，难】已知二次函数 的图像经过点 .当时，的取值范围为或 ，则如下四个数中 有可能为 的是( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】当时，， 当时， 的取值范围为或，或 是方程 的两个根，， ， ，，. 函数图像经过点，，， ， ，.令 ，解得 或.令，解得或 抛物线 开口向上， 的解集为 或， 的值可能为2.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 4.【2024江苏扬州邗江区期末，中】如图，抛物线与直线 的交点的横坐标是2，则关于的不等式 的解集是________ ______. 【解析】如图，直线与直线关于 轴对称，抛物线 关于轴对称.设直线与抛物线交于点， 关键点拨 本题的关键是利用与 图像的对称关系求解. 直线与抛物线的交点和直线与抛物线的交点 关 于轴对称，的横坐标是.由得 ，其解集就是抛物线 在直线的上方时自变量的范围，观察图像知， ，故 答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 5.［较难］将抛物线在轴下方的部分沿 轴 翻折，图像其余部分不变，得到一个新图像如图所示，当直线 与新图像恰有三个公共点时， 的值为______. 1或 【解析】 抛物线的表达式为， 抛物线的 顶点坐标为.令，则 ，解得 ，，， 点关于 轴的 对称点为， 如图，曲线 所对应的函数表达式为 .当直线 与新图像恰有三个公共点时，有 以下两种情况： ①当直线过点时，，解得 ； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 ②当直线与抛物线 只有一 个公共点时，令，即 ， ，解得.综上所述， 的值为1或 .故答案为1或 . 思路分析 先根据已知抛物线的表达式求出点, 的坐标以及顶点坐标，再根据翻折变换求 出曲线所对应的表达式，最后根据直线 与新图像恰有三个公共点， 结合图像进行计算即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 6.【2025江苏苏州调研，中】已知二次函数（ 为常数，且 ）. （1）求证：不论为何值，该函数的图像与 轴总有公共点. 【证明】 ， ， 不论为何值，该函数的图像与 轴总 有公共点. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （2）该函数图像所经过的象限随着 值的变化而变化，请写出函数图像所经过的 象限及对应的 的取值范围. 【解】①当时，抛物线开口向上，与轴的交点坐标分别为， ， 即与轴的两个交点分别在正半轴和负半轴上， 抛物线经过第一、二、三、四象限. ②当，且时，抛物线开口向下，易知抛物线与 轴的两个交点均在正 半轴上， 易知抛物线经过第一、三、四象限. ③当时，抛物线开口向下，， 易知抛物线经过第三、四 象限. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （3）若,，该函数图像与线段有2个公共点，求 的取值范围. 【解】由题可得，抛物线与直线 有两个交点，令 ，得 ， ，解方程得 ， ， 解得或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 刷素养 走向重高 7.核心素养 模型观念 ［较难］某班数学兴趣小组对函数 的图像和 性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （1）自变量的取值范围是全体实数，与 的几组对应值如下表： … - 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … 其中， _____________________________________________________. 【解】将代入可得，.故答案为0 （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的 一部分，请画出该函数图像的另一部分. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解】如图. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （3）进一步探究函数图像，解决下列问题： ①方程 的实数根有___________________________________________ _________________________________个； 从图像上看函数图像与轴有3个交点，故对应方 程有3个根.故答案为3. ②关于的方程有4个实数根时， 的取值范围是__________________ _______________________________________________________________________ ______________________； 有4个实数根，即和的图像有4个交点，从图像看，此时.故答案为. ③结合图像，直接写出关于的不等式 的解集. 【解】且.当时，，令 ，解得 或；当时，，令，解得 （舍去） 或， 直线与函数的图像交点横坐标为 ，0，3.如图， 由图像得，当且时， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 $