（十一）圆-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(人教版)
2025-12-14
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦“圆”的核心知识，涵盖圆周角定理、垂径定理等考点，通过中考真题与“圆材埋壁”等传统文化实例导入，以考点递进为学习支架，衔接基础定理与综合应用。
其亮点是融合数学思维与数学语言，通过真题解析培养推理能力（如切线性质证明），结合跨学科案例（地球经纬度弧长计算）提升模型意识，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源与便捷编辑工具。
内容正文：
数 学
九年级下册 RJ
1
2
3
第二部分 中考真题分类集训
4
（十一）圆
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刷考点
目 录
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6
考点
考点1 圆周角定理及其推论
（第1题图）
1.【2024湖南中考】如图，，为的两条弦，连接， ，
若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意，得和分别是 所对的圆周角和圆心
角， ，
. 故选C.
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（第2题图）
2.【2024四川宜宾中考】如图，是 的直径，若
，则 的度数等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】是的直径， ，
， .故选A.
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考点2 垂径定理
（第3题图）
3.【2025新疆中考】如图，是的直径，是弦， ，
，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,连接是的直径，是弦， ，
, ， .故选C.
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思路分析
先根据垂径定理得到，进而得到 ，再根据圆周角定
理即可得到 .
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（第4题图）
4.【2025陕西中考B卷】如图，为的直径， ，
，则 的度数为____.
【解析】为的直径，， ，即
， ，
.故答案为 .
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（第5题图）
5. 传统文化 【山东东营中考】“圆材埋壁”是我国古代数
学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不
知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化
为现在的数学语言表达就是如图，为的直径，弦 ，
垂足为，寸，寸，则直径 的长度为____寸．
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【解析】如图，连接，设的半径是寸. 直径 ，
（寸）寸， 寸.
，，， 直径 的长度为26
寸．故答案为26．
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考点3 圆内接四边形
（第6题图）
6.【2025甘肃平凉中考】如图，四边形内接于 ，
，连接，若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 四边形内接于 ，
，
， ，
，故选C.
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7.【2025吉林中考】图（1）、图（2）均是 的正方形网格，每个小正方形的
顶点称为格点.内接于，且点，，， 均在格点上.只用无刻度的直尺，
在给定的网格中按要求画图.
图（1）
图（2）
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（1）在图（1）中找一个格点（点不与点重合），画出 ，使
.
图（1）
【解】如图（1）， 即为所求（答案不唯一，用其余的格点
，，，画出的 均符合题意）.
关键点拨
利用圆周角定理的推论作出图形；
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（2）在图（2）中找一个格点，画出,使 .
图（2）
【解】如图（2）， 即为所求（答案不唯一，用其余的格点
,,,画出的 均符合题意）.
关键点拨
利用圆内接四边形的性质作出图形.
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8.【2025四川遂宁中考】我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，
那么这个四边形叫这个圆的内接四边形.我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边
相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”.
（1）请同学们判断下列分别用含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图所示
的4个四边形.其中是邻等内接四边形的有___________________________________
_______________________________________________________________________
______________________________________（填序号）.
【解】依题意，四边形①、四边形②和
四边形④没有对角互补，不是圆的内接四边形，四边形③对角互补且有一组邻边
相等， 是邻等内接四边形，故答案为③.
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（2）如图，四边形是邻等内接四边形，且 ， ，
，，求四边形 的面积.
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【解】 ，， ，
四边形 是邻等内接四边形，
，,,,四点共圆，且为直径.如图，把
的中点记为点，则,,,四点在上，连接， ，相
交于点.，.设 ，则
，,，. 在 中，
，在中， ，
，，解得 ，即
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，， ，
是直径，，，
是的中位线， ，
，
， 四边形 的面积为
.
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考点4 切线的性质与判定
9.【2025四川自贡中考】，分别与相切于，两点，点在 上，不
与点，重合.若 ，则 的度数为( )
D
A. B. C. D. 或
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【解析】如图，连接,，分别与相切于， 两点，
，， ，
.当点在优弧 上时，
；当点在劣弧 上时，
.综上所述，的度数是 或 ，故选D.
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10.【2024四川凉山州中考】如图，的圆心为，半径为2， 是直线
上的一个动点，过点作的切线，切点为，则 的最小值为_____．
（第10题图）
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【解析】如图，连接，.设直线与轴、 轴分
别交于点,是的切线， ，
， 当的值最小时，
的值最小， 当时，的值最小，此时的值最小. 易知 ，
，， ，.当 时，
， 的最小值为
，故答案为 ．
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思路分析
连接,，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到 ，
则的值最小时， 的值最小，再根据垂线段最短计算即可.
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11.【四川广元中考】如图， ，半径为2的与角的两边相切，点
是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为， ，设
，则 的取值范围是__________________.
（第11题图）
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【解析】如图，设半径为2的与角的两边相切于，，连接， ，延长
交于， ， 是等腰直角三
角形， ，是等腰直角三角形. ，
，.如图（1），延长交于 ，
， ， ， 与
是等腰直角三角形，， ，
.当与相切且点在圆心的右侧时， 有
最大值.连接，则四边形是正方形，， 的最大值为
.如图（2），延长交于 ，当
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与相切且点在圆心的左侧时，有最小值.连接 ，同理可得
，故 的取值范围是
.故答案为 .
图（1）
图（2）
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12.【2025天津中考】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点， 均在格
点上．
（1）线段 的长为____；
【解析】由勾股定理可知，故答案为 .
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（2）直线与的外接圆相切于点，．点在射线上，点 在
线段的延长线上，满足，且与射线 垂直．请用无刻度的直尺，
在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点， 的位置是如何找到的
（不要求证明）
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如图（1），直线与射线的交点为；取圆与网格线的交点和，连接 ；
取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点 ，与直线
相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接 ，与网格线相交于
点；连接，与线段的延长线相交于点，则点， 即为所求
图（1）
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图（2）
【解析】在图（1）基础上，设的延长线与的交点为 ，
如图（2）.，为圆的直径. 为正方形
的对角线， ，垂直平分，
点为外接圆的圆心.又，, 点
为线段的中点，.由网格可知点为线段
的中点，为的中位线，， 点为线段 的中点，
，，， ，
，，.又 ，
，，即.连接,，延长 交
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于点，， ，
为的切线， ，
， ，即
， ，
，， 点， 即为所求.
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13.【2025山东威海中考】如图，是的切线，点为切点.点为 上一点，
射线,交于点，连接，点在上，过点作，交于点 ，作
，垂足为点, .
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（1）求证：是 的切线；
【证明】如图，连接是 的切线，
.
，， ,
， ，
，， ，
，即.又是的半径，是 的切线.
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思路分析
连接，先证出,得到,再根据 ,得到
,则,进而得出 ,即可得出结论.
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（2）若，，求 的半径.
【解】 ， ，.设 ,
，，,是 的切线，
,，解得， 的半径为
.
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考点5 弧长与扇形面积的计算
14. 跨学科综合 【2025湖南中考】如图，
北京市某处位于北纬 （即 ），
东经 ，三沙市海域某处位于北纬
（即），东经 .设地球的半径约
为千米，则在东经 所在经线圈上的点 和
点 之间的劣弧长约为( )
C
A.千米 B.千米 C.千米 D. 千米
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【解析】由题意得， ， 劣弧 的长为
（千米）.故选C.
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15.【2024河北中考】扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的
底蕴，如图,某折扇张开的角度为 时,扇面面积为，该折扇张开的角度为
时，扇面面积为.若,则与 关系的图象大致是( )
C
（第15题图）
A. B. C. D.
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【解析】设该扇面所在圆的半径为，则， 该折扇
张开的角度为 时，扇面面积为， ，
，是的正比例函数.，与 关系的图象是过原
点的一条射线.故选C.
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16.【四川成都中考】为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行
川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从到 有一笔直
的栏杆，圆心到栏杆 的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方
米可以坐3名观众，那么最多可容纳_____名观众同时观看演出. 取， 取
184
（第16题图）
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【解析】过点作于点.根据题意可得，， 在
中，， ， ， ，
， ，
（平方米） 每平方米可以坐3名观众， 最多可容纳的观众数为
（名）.故答案为184.
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关键点拨
若扇形所在圆的半径为，扇形圆心角为 ，弧长为，则 .
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考点6 圆锥的相关计算
17.【2024云南中考】某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若
这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为
( )
C
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为
（平方厘米）.故选C.
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关键点拨
圆锥的侧面积 底面圆周长 母线长.
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18.【江苏苏州中考】如图，在中，，， ，垂
足为，．以点为圆心，长为半径画弧，与，， 分别交于点
，，．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为 ；用
扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 _ ___．
（结果保留根号）
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【解析】在中，，， ，
，，垂足为， ，
， ， ，
， ，
， 是等腰直角三角形，
， ， ，
解得，，解得， ．故答案为
．
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思路分析
根据平行四边形的性质，正弦的定义及等腰直角三角形的判定与性质推出
， ，再利用扇形弧长公式及圆的周长公式求出, 的
值即可得解.
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考点7 圆的综合
19.【2024湖南中考】【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点 按逆时针方向旋转
得到，连接，过点作的切线，在直线上取点 ，使得
为锐角.
图（1）
图（2）
图（3）
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【初步感知】
（1）如图（1），当 时，____ ；
30
【解析】由题意得 ，， 是等边三角形，
直线是的切线， ，
，故答案为30.
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【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线 ，
相交于点 .
①如图（2），当时，求证：无论 在给定的范围内如何变化，
总成立;
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【解】【证明】， ，
过点作的切线, ，
四边形是矩形， ，
，， ,
.又，， 四边形 是
矩形，， .
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②如图（3），当，时，请补全图形，并求 及 的值.
【解】补全图形如图（1）.如图（2）,过点作于点，于点 .
在中，,， 由勾股定理得 ，
，， 点在线段上， 在 中，
.，， .
， ， .
在中，， 设,，则 ，
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， 在中， .由（2）
①可得 四边
形是矩形，， ， 在 中，
.
图（1）
图（2）
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思路分析
添加辅助线构造直角三角形，然后设边长，利用锐角三角函数即可找到线段之间
的关系，进而可求出 的值.
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