（六）二次函数-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(人教版)
2025-12-14
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦二次函数核心知识点，涵盖图象与性质、方程不等式关系、实际应用及综合题，通过中考真题导入，从基础配方平移到综合应用构建知识脉络，形成递进式学习支架。
其亮点在于精选近年中考真题分类集训，解析含关键点拨与易错警示，通过铅球运动、停车棚高度等实际问题培养模型意识，逻辑推理过程强化推理能力，助力学生提升解题与应用能力，为教师提供系统教学资源。
内容正文：
数 学
九年级下册 RJ
1
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第二部分 中考真题分类集训
4
（六）二次函数
5
刷考点
目 录
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6
考点
考点1 二次函数的图象与性质
1.【2024内蒙古包头中考】将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物
线的顶点式为( )
A
A. B. C. D.
【解析】， 将抛物线 向下平移2个单位
后，所得新抛物线的顶点式为 ，故选A．
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2.【2025山东威海中考】已知点,, 都在二次函数
的图象上，则,, 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 二次函数解析式为， 二次函数 的
图象开口向下，对称轴为直线， 图象上的点离对称轴越近，函数值越大.
点的横坐标与2的距离为，点 的横坐标3与2的距
离为，点的横坐标7与2的距离为，且 ，
，故选C.
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关键点拨
熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
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3.【2024四川达州中考】抛物线与 轴交于两点，其中一个交点
的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】设抛物线与轴交点的横坐标分别为, ,且
， 抛物线开口向下， 当时， ，即
， ，故A选项正确，符合题意；根据已知条件不能得出
对称轴为直线，即不能得出,故B选项不正确，不符合题意； 抛物线
与轴有两个交点， 方程 有两个不相等的实数根，即
.又， ，故C选项错误，不符合题意；无法
判断 的符号，故D选项错误，不符合题意.故选A.
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（第4题图）
4.【2024贵州中考】如图，二次函数 的部分图象
与轴的一个交点的横坐标是,顶点坐标为 ,则下列说法正
确的是( )
D
A.二次函数图象的对称轴是直线
B.二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是2
C.当时，随 的增大而减小
D.二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是3
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【解析】 二次函数图象的顶点坐标为， 二次函数图象
的对称轴是直线，故A错误； 二次函数的图象与 轴的
一个交点的横坐标是，对称轴是直线， 二次函数图象与 轴的另一个
交点的横坐标是1，故B错误； 抛物线开口向下，对称轴是直线， 当
时，随的增大而增大，故C错误；设二次函数解析式为 ，
把代入，得，解得， ，当
时，， 二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是3，故
D正确，故选D.
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（第5题图）
5.【2025四川凉山州中考】二次函数 的部分图
象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点 ，则下
列结论错误的是( )
D
A.
B.
C.若且，则
D.若,两点都在二次函数 的图象上，
则
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【解析】由题图可知，抛物线开口向下，且与轴交于正半轴，,
抛物线对称轴为直线，，， ，故
选项A，B正确，不符合题意.且 ，
，和关于对称轴直线 对称，
,故选项C正确，不符合题意. 抛物线开口向下， 抛物线上的点离
对称轴越远，函数值越小.,两点都在抛物线 上，
且， ，故选项D错误，符合题意，故选D.
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6.【2024福建中考】已知二次函数的图象经过 ，
两点，则下列判断正确的是( )
C
A.可以找到一个实数，使得 B.无论实数取什么值，都有
C.可以找到一个实数，使得 D.无论实数取什么值，都有
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【解析】 二次函数解析式为， 二次函数图象开口向
上，且对称轴为直线，顶点坐标为.当 时，
，.当时，， ，故A、
B错误，不符合题意.当时， ，由二次函数图象的对称性可
知点和点关于对称轴对称. 在对称轴右侧，随的增大而增大，
当时，.当时， ，由二次函数图象的对称
性可知点和点关于对称轴对称. 在对称轴左侧，随 的增大而减
小， 当时， ，但不一定大于0，故C正确，符合题意；D错误，不符
合题意.故选C．
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思路分析
先根据题意得到二次函数图象开口向上，且对称轴为直线 ，顶点坐标为
，再分和两种情况分别讨论与的大小和 与0的大小，即
可求解.
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7.【2025安徽中考】已知抛物线经过点 .
（1）求该抛物线的对称轴.
【解】由题意得,,即,所以 ,故该抛物线的对称轴是
直线 .
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（2）点和分别在抛物线和 上
（， 与原点都不重合）.
（i）若，且，比较与 的大小；
【解】由题意知,抛物线的解析式为.因为 ,所以
.因为抛物
线过原点,且点与原点不重合,所以，所以,故 .
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（ii）当时，若是一个与无关的定值，求与 的值.
【解】由题意知,,.因为,所以 .
因为两条抛物线均过原点,且,与原点都不重合,所以, ，故
,即，所以 .依题意知,
是与无关的定值.不妨将和分别代入 ,可得
,解得 .
经检验,当时,是一个与无关的定值,符合题意，所以 ,
.
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思路分析
根据题意整理得,根据，可得 ，再利
用特殊值法即可求解.
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考点2 二次函数与方程、不等式的关系
8.【2024湖北武汉中考】抛物线，，是常数， 经过
，两点，且 .下列四个结论：
① ；
②若，则 ；
③若，则关于的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有 ，
则 .
其中正确的是________（填写序号）.
②③④
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【解析】 抛物线，，是常数，经过，
两点，且， 抛物线对称轴为直线 .
，，，故①错误. ，
,， 若，则 ，故
②正确.由①可得,， .当
时，抛物线解析式为 抛物线 经过点
，，， 关于 的一元二次方程
可整理为 ,
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，， 关于 的一元二次方程
无实数解，故③正确.， 抛物线开口向下. 点
，在抛物线上，，，总有 ，
，且点离直线较远， ，解得
，故④正确.故答案为②③④.
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9.【云南中考】数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物
体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和
形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把
两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决
问题.
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设
函数（实数为常数）的图象为图象 .
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（1）求证：无论取什么实数，图象与 轴总有公共点；
【证明】当时， ，函数
为一次函数，此时，令 ，则
，解得， 一次函数的图象与轴的交点为 ；
当时，，函数 为二次函数.
， 当 时，
的图象与轴总有交点， 无论 取什么实数，
图象与 轴总有公共点.
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（2）是否存在整数,使图象与轴的公共点中有整点?若存在，求所有整数 的
值；若不存在，请说明理由.
【解】存在.为整数，.当 时，对于函数
，令 ，则
，
或，或. 整
数使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，或 或
或或或或或 ，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或
（舍去）或（舍去），或或或 .
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易错警示
确定函数类型:对于含参数的函数，要考虑系数为0的特殊情况，依据最高次项系
数是否为0，判断该函数是哪类函数.
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10.【河南中考】如图，抛物线与直线 交于
点和点 .
（1）求和 的值；
【解】将点的坐标代入得，解得 .
将点的坐标代入得，解得.故 ，
.
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（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
【解】由（1）得，直线和抛物线的解析式分别为， ，联立
上述两个函数解析式并解得或
点的坐标为.从题图可以看出，不等式 的解集为
或 .
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（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点 ，若线
段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标 的取值范围.
【解】当点在线段上，线段与抛物线只有一个公共点时, ；
当点在点的左侧时，线段与抛物线没有公共点；当点在点 的右侧且
时，抛物线与线段交于抛物线的顶点，即时，线段 与
抛物线只有一个公共点.综上，或 .
易错警示
注意分点在线段上，点在点的左侧以及点在点 的右侧三种情况讨论，
不要漏解.
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考点3 二次函数的实际应用
11.【2025江苏连云港中考】如图，小亮同学掷铅球时，铅球
沿抛物线运行，其中 是铅球离初始位置的
水平距离， 是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度
为，则铅球掷出的水平距离为___ .
8
【解析】由题意得，，将代入 ，得
，解得，.令 ，得
，解得，（舍去），为 ，故答案为8.
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12.【2024甘肃白银中考】如图（1）为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作
是抛物线的一部分，如图（2）是棚顶的竖直高度（单位： ）与距离停车棚支
柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系 的图
象，点 在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长
，高 的矩形，则可判定货车____完全停到车棚内（填“能”
或“不能”）.
能
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【解析】，， .在
中，当 时，
， 货车能完全停到车棚内.
故答案为能.
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13.【四川南充中考】某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产
销件.已知A产品成本价元/件为常数，且 ，售价8元/件，每日最
多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，
每日最多产销300件，同时每日支付专利费元，（元）与每日产销 （件）满足
关系式 .
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与 的
函数关系式，并写出 的取值范围.
【解】根据题意，得 ，
.
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（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润.（A产品的最大日利润用含 的代
数式表示）
【解】，，随的增大而增大.又，
当时，有最大值，最大 .
.
又，对称轴为直线，
当时，随 的增大而增大，
当时，有最大值，最大 .
综上，产销A产品的最大日利润为 元，产销B产品的最大日利润为
1 420元.
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（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由.【利润
（售价-成本） 产销数量-专利费】
【解】当时，选择产销A，B两种产品均可；当 时，选择产销A
种产品；当 时，选择产销B种产品.理由如下：
①若最大最大，即，解得；②若 最大
最大，即，解得；③若最大 最大，即
，解得 .
综上可得，为获得最大日利润，
当 时，选择产销A，B两种产品均可；
当 时，选择产销A种产品；
当 时，选择产销B种产品.
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考点4 二次函数的综合
14.【2024内蒙古赤峰中考】如图，正方形的顶点， 在
抛物线上，点在轴上．若， 两点的横坐标分
别为， ，下列结论正确的是( )
B
A. B. C. D.
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【解析】如图，连接，交于点，过点作 轴于点
，过点作于点 四边形 是正方形，
，互相平分，， ，
，
， ，
，， 点,的横坐标分别为 ,
,且点，在抛物线 上，
，，， ，
.设，则， ，
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，，，．又 ，
，，， ，
， 点，在 轴的同
侧，且点在点的右侧，， ．故选B．
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关键点拨
作辅助线构造出全等三角形，利用一线三等角模型判定 是解题关键.
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15.【2025甘肃白银中考】如图（1），抛物线分别与
轴，轴交于，两点，为 的中点.
图（1）
图（2）
图（3）
（1）求抛物线的解析式.
【解】把代入，得，解得 ，
.
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（2）连接，过点作的垂线，交于点，交抛物线于点，连接 ，求
的面积.
【解】令，解得,，是 的中
点，，， 设直线的解析式为 ，把
代入，得，，易得，, ，
，的面积为 .
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（3）点为线段上一动点（点除外），将线段绕点顺时针旋转 得到
.
①当时，请在图（2）中画出线段后，求点的坐标，并判断点 是否
在抛物线上，说明理由；
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图（1）
【解】如图（1），线段即为所求.连接，过点 作
于点.由（2）可知， ，
.由旋转得， ,
，.又 ,
， ， .
， 为等腰直角三角形，
，， .
点在抛物线上.理由：对于，当 时，
， 点 在抛物线上.
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思路分析
根据要求作出线段即可.连接，过点作于点 ，证明
，得到 ，，进而得到
为等腰直角三角形，求出点坐标，将 点的横坐标代入抛物线的解析式，即可判
断点 是否在抛物线上.
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②如图（3），点是第四象限的一动点， ，连接，当点 运动时，
求 的最小值.
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图（2）
【解】连接并延长，交轴于点，连接, ，作
于点，如图（2）.∵∠OPA=90°，为 的中
点，.同①可得， ，
点在线段上运动， 当，即点与点 重合
时，的值最小., 此时 的值最小，
为 ，为等腰直角三角形， ，
，， 为等腰直角三角形，
， 的最小值为
.
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