30.2课时2 二次函数y=a(x-h)^2与y=a(x-h)^2_k-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数\(y=a(x-h)^2\)与\(y=a(x-h)^2+k\)的图像和性质，涵盖平移规律、顶点坐标、对称轴及综合应用等核心知识点。通过复习\(y=ax^2\)的基础性质导入，引导学生观察图像平移变化，构建从基础形式到顶点式的知识脉络，形成递进式学习支架。 其亮点在于采用分层练习设计，包含基础巩固、能力提升及素养拓展模块，结合各地中考及期末真题实例，如平移规律总结“自变量加减左右移，函数值加减上下移”，易错点辨析坐标系与函数图像平移的区别，培养学生的几何直观和推理意识。解析融入“刷有所得”等小结，帮助学生用数学语言精准表达规律，对学生可分层提升数学思维，对教师提供结构化资源和便捷编辑功能，提升教学效率。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第三十章 二次函数 4 30.2 二次函数的图像和性质 课时2 二次函数与 的图 像和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数图像的平移 1.【2025北京海淀区期末】要得到抛物线，可以将抛物线 ( ) C A.向左平移2个单位 B.向上平移2个单位 C.向右平移2个单位 D.向下平移2个单位 【解析】将抛物线向右平移2个单位可以得到 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2025河北石家庄期末】将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平 移1个单位长度，所得到的抛物线的表达式是_________________. 刷有所得 二次函数图像的平移规律是“自变量加减左右移，函数值加减上下移”. 【解析】将抛物线 先向左平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式是 ；再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线的表达式是 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.【2025江苏淮安质检】点在抛物线上，将抛物线 进行平移得到抛物线，的对应点为，则点 移动的最短路程为 ___. 5 【解析】 点在抛物线上， ，解 得或，或 将抛物线 进行平移得到抛物线 ， 平移方式可以为先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单 位长度，的对应点的坐标为或， 点 移动的最短路程为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 知识点2 二次函数与 的图像和性质 4.在平面直角坐标系中，二次函数 的图像可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】抛物线的顶点坐标为，所以顶点一定在 轴上. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 5.对于 的图像,下列叙述正确的是( ) C A.顶点坐标为 B.对称轴为直线 C.当时,随 增大而减小 D.函数的最小值是2 【解析】， 抛物线开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为 直线，当时，函数有最大值2，、B、D选项均不正确. 抛物线对称 轴为直线，且开口向下， 当时,随的增大而减小, 选项正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 6.如图，两条抛物线关于 轴对称，其中一条抛物线的表达式是 ，则另一条抛物线的表达式是( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线的顶点坐标是， 该顶点关于 轴对 称的点的坐标为 两条抛物线关于轴对称， 这两条抛物线的开口方向 和大小相同， 另一条抛物线的表达式是 ．故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.【2024四川凉山州中考】抛物线经过，， 三点，则，， 的大小关系正确的是( ) D A. B. C. D. 关键点拨 在比较函数值的大小时，首先要确认所对应的点是否在对称轴的同一侧，若不在 对称轴的同一侧，则要通过抛物线的对称性将点统一到同一侧后再进行大小比较. 【解析】， 抛物线开口向上，对称轴是直线， 当 时，随的增大而减小.关于直线的对称点是 ,且 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 8.【2025河北保定期中】如图，二次函数的图像与 轴的交点坐 标为，若函数值，则自变量 的取值范围是__________. 【解析】 二次函数的图像与轴的交点坐标为 ，对称轴为 直线， 当时， 抛物线开口向上， 当函数值 时，自变 量的取值范围是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 9.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． （1） ； 【解】由抛物线的表达式可得，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标 为 . （2） . 【解】由抛物线的表达式可得，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐 标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 10.【2025河北唐山期中】已知抛物线 . （1）当时，随着的增大而减小，求 的最小值； 【解】由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线 当时，随着的增大而减小，， 的最小值为1. （2）已知,两点在轴上，点坐标为，点坐标为 ，若抛物线与线段 只有一个公共点，求 的取值范围. 【解】当抛物线经过点时，解得或 ;当抛物线 经过点时，解得或.当 时，抛物线 同时经过点和点，不符合题意，， 的取值范围是 ，且 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 刷易错 易错点 混淆坐标系的平移与二次函数图像的平移致错 11.【2025黑龙江绥化质检】在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，把 轴向上平移4个单位长度， 轴向右平移5个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的 表达式为( ) B A. B. C. D. 易错警示 坐标系平移之后可以看做坐标系不动，函数图像的平移方式恰好相反，切勿搞混. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 【解析】把轴向上平移4个单位长度， 轴向右平移5个单位长度，相当于将抛物 线向下平移4个单位长度，向左平移5个单位长度，所以平移后的抛物线的表达式 为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 提升 1.【2024河北唐山丰润区期中,中】在同一坐标系中，一次函数 与二次 函数 的图像可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】由可知,抛物线开口向上.当时，抛物线的顶点在 轴正半 轴，一次函数的图像经过第一、二、四象限；当时，抛物线的顶点在 轴负 半轴，一次函数的图像经过第一、二、三象限. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 2.【2024江西赣州模拟,中】已知，设函数 ， ，.直线与函数，， 的图像分别交于点 ，， ，下列说法正确的是( ) D A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 【解析】画出大致图像如图.由图像可知，当 时， ，故A选项错误，不符合题意；由图像可知，当 时， 不一定成立，故B选项错误，不符合 题意；由图像可知，当时， 不一定成立， 故C选项错误，不符合题意；由图像可知，当 时， ，故D选项正确，符合题意.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 3.【2025河北保定期末，中】已知二次函数 （为常数）.当 取不同的值时，其图像 构成一个“抛物线系”.如图，这些分别是当， ， ， 时，二次函数的图像，则它们的顶点坐标满足的函数 表达式是_ __________. 【解析】 抛物线的顶点坐标为， 设 消去 得 ， 它们的顶点坐标满足的函数表达式是 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 4.【2025河北石家庄质检，中】如图，点，的坐标分别为 和，抛物线（为定值）的顶点在线段 上运动，与轴交于，两点（在 的左侧）. （1） ___； 4 【解析】抛物线的顶点坐标为 抛物线的顶点在线段 上运动，点，的坐标分别为和， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （2）若点的横坐标的最小值为，则点 的横坐标的最大值为___. 8 【解析】当点的横坐标的最小值为时，抛物线的顶点在线段 的最左端 处， 抛物线的对称轴为直线，此时点 的横坐标为5.当抛物线的顶 点在线段的最右端处时，点 的横坐标有最大值，此时顶点向右平移的 长度与线段的长度相等.，平移前点的横坐标为5， 平移后点 的 横坐标为，故点 的横坐标的最大值为8. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 思路分析 （1）得出抛物线的顶点坐标为，结合顶点在线段 上运 动可得 . （2）当点的横坐标最小时，抛物线的顶点必为 ，根据抛物线的对称性， 可判断出此时点的横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端 处时，点 的横坐标有最大值，利用长度即可求出点 的横坐标最大值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 5. 【2024江苏常州模拟,中】如图，将抛物线 绕原点顺时针旋转 得到新曲线，新曲 线与直线交于点，则点 的坐标为_ _________. 【解析】将直线绕原点逆时针旋转 得到直线 . 设抛物线与直线的交点为.令，则 ， .设点.由题意得 ， ，（负值已舍去）， 点 的坐标 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 6.【2025江西赣州质检，较难】已知二次函数（ 为常数），当自变 量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为4，则 的值为_______. 或5 【解析】，抛物线的对称轴为直线， 当时，随 的增大而增 大，当时，随的增大而减小，若，则当时， 取得最小 值4，可得，解得或（舍）；②若，则当 时，取得最小值4，可得，解得或 （舍）；③若 ，则当时，取得最小值为0，不是4， 此种情况不符合题意， 舍去.综上，的值为 或5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 7.［中］如图，直线与轴、轴分别交于点, ，抛 物线经过点,，并与轴交于另一点 ，其顶点 为 . （1）求， 的值； 【解】在中，令，可得，令，可得 ， ， 抛物线经过点,， 解得 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使 的周长最小？若存在，求出 的周长的最小值；若不存在，请说明理由． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 【解】存在.由（1）可知抛物线表达式为 ，令 ，可得或，.连接交对称轴于点 ，连 接 ，如图. ,两点关于对称轴对称，，此时 的值最小， 即的周长最小.，， 可设直线 的表达式为 .把点坐标代入可求得， 直线 的表达式为 抛物线的对称轴是直线, 当时， ， ， 存在满足条件的点，此时 . ， 的周长的最小值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 思路分析 （1）由条件可先求得,的坐标，代入抛物线表达式可求得, 的值. （2）连接交对称轴于点，则即为所求.由,的坐标可求得直线 的表达 式，从而求得点的坐标，即可求出 周长的最小值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 刷素养 走向重高 8.思想方法 数形结合 ［较难］如图，顶点为 的抛物线 分别与轴相交于点，（点在点 的右 侧），与轴相交于点 ． （1）求抛物线的函数表达式； 【解】 抛物线与轴相交于点 , ，解得， 抛物线表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （2）判断 是否为直角三角形，并说明理由; 【解】是直角三角形.理由：由（1）知抛物线的顶点的坐标为 .令 ,得,解得,,,.又 ， ，，， 为直角三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 （3）抛物线上是否存在点（不与点重合），使得以点，， 为顶点的三角形 的面积与的面积相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】存在.由点的坐标知， 以点，， 为顶点的三角形的面积与 的面积相等，，即，解得 （舍去） 或或，点坐标为或或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 $