29大招专题1 圆中的最值问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)
2025-11-17
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学冀教版（2012）九年级下册 |
| 年级 | 九年级 |
| 章节 | 本章复习与测试 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | 圆 |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 4.37 MB |
| 发布时间 | 2025-11-17 |
| 更新时间 | 2026-01-30 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2025-11-17 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/54945051.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级下册“圆中的最值问题”，通过8个“母题学大招”系统覆盖利用圆的性质、将军饮马模型、辅助圆构造等方法，以母题引入关联圆的性质、勾股定理等前置知识，搭建从基础方法到综合应用的学习支架。
其亮点在于分层设计，每个大招含“解读”提炼模型、“母题”结合中考真题、“子题”变式训练，培养数学眼光中的几何直观（如辅助圆轨迹抽象）、数学思维中的推理能力（如对称转化求最值），助力学生掌握解题策略，教师可直接用于分层教学，提升教学效率。
内容正文：
数 学
九年级下册 JJ
1
2
3
第一部分 教材同步分层练
4
第二十
九章
直线与圆的位置关系
大招专题1 圆中的最值问题
5
刷难关
目 录
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6
难关
母题学大招1 利用圆的性质求最值
（第1题图）
1.【2025河北邢台期中，中】如图，在平面直角坐标系中，以原
点为圆心的圆过点，一直线过点与圆交于，
两点，则弦 的最小值为_____.
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大招解读|利用圆的性质求最值
如图，过圆内一定点的所有弦中，直径最长，与直径垂直的弦 最短.
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8
【解析】如图所示，过点作轴于点，连接,,则 ，
， 根据勾股定理得. 点， ，
过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短， 由垂径定理
及勾股定理可得的最小值为 ，故
答案为 .
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子题练变式
（第2题图）
2.【2025四川泸州期末，中】如图，的直径 ，弦
，且弦在圆上滑动（的长度不变，点,与点,
不重合），过点作于点，若是的中点，则 的
最大值是___.
4
思路分析
延长交于点，连接，根据垂径定理可得 ，再根据三角形中位
线定理可得，进而可得当的值最大时，的值最大，即当 为直
径时， 的值最大，即可求解.
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【解析】如图，延长交于点，连接，是
的中点，
是的中位线，， 当的值最大时， 的值最大，即
当为直径时，的值最大.的直径， 的最大值为
，故答案为4.
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母题学大招2 利用将军饮马模型求最值
（第3题图）
3.【2025江苏扬州质检，中】如图，为的直径，, 是
上的两点，过作于点，过作 于点
，为上的任意一点，若，， ，则
的最小值是( )
B
A.20 B. C.14 D.
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大招解读|利用将军饮马模型求最值
已知,为上直径同侧两点，为直径上一动点，求 的最小值.如
图，作点关于的对称点，连接交于点，则，故当点 与
点重合时，取得最小值，最小值为 的长.
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【解析】如图，连接，， ，
，
，，是 上的两
点，， ，
，，，. 延长与 相
交于点，连接,为的直径，， ，
，, 当点在直线上时， 取最小值，
且最小值为的长.过作交的延长线于点.又 ，
， 四边形是矩形，， ，
，，
的最小值是 ，故选B.
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母题学大招3 利用圆外点到圆的距离求最值
（第4题图）
4.［中］已知点和直线，求点 到直线
的距离可用公式 计算.根据以上材料解
决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线
的表达式为，是直线上的动点，是 上的动点，
则 的最小值是( )
A
A. B. C. D.2
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大招解读|利用圆外点到圆的距离求最值
如图，外有一定点，点在上运动：①当点是线段与 的交点时
（即在处），线段的值最小；②当点是线段的延长线与 的交点时
（即在处），线段 的值最大.
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【解析】如图，过点作 直线，交于点，此时 的值最小.根据点到
直线的距离公式可知，点到直线的距离. 的半径为
1， ，故选A.
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子题练变式
5.［中］如图，的半径为2，圆心的坐标为，点 是
上的任意一点，，且，与轴分别交于， 两
点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点 的坐标为
________.
关键点拨
连接，连接交于点.根据点的坐标，利用勾股定理求出 的长，
再根据直角三角形斜边中线的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点知
,得到当最小时, 最短是解题关键.
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【解析】如图，连接，连接交于点 点的坐标为 ，
，， .若要
使最短，则需取得最小值.当点位于位置时，取得最小值. ，
，，， 点的坐标为，故答案为 .
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母题学大招4 利用直线与圆的特殊位置关系求最值
（第6题图）
6.【2024湖北武汉洪山区校级质检，中】如图，在
中， ，，，分别是， 的中
点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰 ，
记直线与的交点为，则点到 所在直线的距离的
最大值为_______.
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大招解读|利用直线与圆的特殊位置关系求最值
直线与相离，是直线 上一个动点.
（1）如图（1），上的点到直线的最大值与最小值分别是当 时线段
， 的长；
（2）如图（2），过点作的切线，当时， 的值最小.
图（1）
图（2）
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【解析】由题意知，在以为圆心，为半径的圆上，如图，当 所在直
线与相切时，直线与的交点到直线的距离最大，过点作 直
线.此时易证四边形是正方形， ，则
，故 ，，故点
到所在直线的距离的最大值为，故答案为 .
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子题练变式
（第7题图）
7.【2025湖北武汉期末，较难】如图，在矩形 中，
，，是边上一动点（不含端点），将
沿直线翻折，得到.射线交线段于点，连接 ，
则的面积为____, 的最大值为_____.
10
思路分析
由题意可得点在以为圆心，4为半径的圆弧上运动，当射线
与圆相切时，最大，此时点和重合，，， 三点共线，
进而可求 的最大值.
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【解析】由题意可得的面积等于矩形 面积的一半，
的面积为.在 中，
， 当最大时， 有最大值.由题意可得
点在以为圆心，4为半径的圆弧上运动，当射线与圆 相
切时，最大，此时,两点重合，，， 三点共线，如图. 由题意可得
， ， ，
，， ，
，，，
在中，.故答案为10， .
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母题学大招5 利用定点定长构造辅助圆求最值
（第8题图）
8.［中］如图，点，的坐标分别是，，点 为坐标
平面内一动点，，点为线段的中点，连接，则
的最大值为( )
C
A. B. C. D.
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大招解读|利用定点定长构造辅助圆求最值
已知定点和定长，想到动点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
如图，动点到定点的距离为定值，则点的轨迹为以点 为圆
心， 为半径的圆.
关键点拨
根据题意可知,点在半径为2的上运动，通过画图可知，在
的延长线上时， 最大，即可求.
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【解析】如图， 点为坐标平面内一动点，， 在以
为圆心，2为半径的圆上运动.取 ，连接
，，是 的中位线，
， 当最大时，最大.当，， 三点共线，
且在的延长线上时，最大，故此时最大. ，
，，，，即
的最大值为 .故选C.
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子题练变式
（第9题图）
9.【2025山东烟台期中，较难】如图，在平面直角坐标系
中，半径为4的与轴交于点，，与 轴交于点
，，连接，已知轴上一点，点是 上一动
点，连接，点为的中点，连接，，则
面积的最小值为__________.
思路分析
连接，，，由三角形的中位线定理求得 ，
得点在以点为圆心，2为半径的上运动，当 点为线
段与的交点时， 的面积最小，求出此时
的面积即可.
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【解析】如图，连接，， .由题意得
，， 为
直径， .由题意知，点在以 为圆心，
2为半径的上运动.当点为线段与 的交点时，点
.故答案为 .
到的距离最短，为， 面积的最小值为
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母题学大招6 利用定弦定角构造辅助圆求最值
（第10题图）
10.【2024浙江金华期中，中】如图，在 中，
，，，点 是其内部一动点，且
，则， 两点间的最小距离为( )
C
A.3 B.4 C. D.
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大招解读|利用定弦定角构造辅助圆求最值
___________________________________ _________________________________________
固定线段所对动角为定值,则点 运
动轨迹为过,, 三点的圆. 原理:弦 所对的同侧圆周角恒相等.
备注：点 在优弧、劣弧上运动皆可.
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思路分析
取的中点，由及 ，得出 ，可得 点
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交圆于点，当点与点 重合
时，, 间距离最小.
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【解析】中， ，，， 由勾
股定理，得.如图，取 的中点
， ，
， ，点在以 为圆心，
为半径的圆弧上运动.连接交圆于点.当点与点重合时，, 间的距
离最小，最小距离为的长.在 中，由勾股定理，得
，故, 两点间的最小距离为
，故选C.
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子题练变式
（第11题图）
11.【2025河南开封期末，较难】如图，正方形 的边长为4，
点,分别是，上的动点，且，连接， 交于
点，连接，则 的最小值是( )
A
A. B. C. D.
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【解析】如图，取中点，连接，.在正方形 中，
, .在和 中，
， ，
， ， 点在以点 为圆
心，长为半径的半圆上运动， 当，，三点在同一条直线上时， 取最
小值.在中，， 的最小值为
，故选A.
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母题学大招7 利用四点共圆求最值
12.【2024福建福州期中，中】如图，正方形 的边长为6，
点是正方形外一动点，且点在的右侧， ， 为
的中点，连接,当运动时，线段 的最大值为( )
D
A. B. C. D.
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大招解读|利用四点共圆求最值
____________________________ _________________________
对角互补型:
如图（1），若 或
,则,,, 四点共圆. 同侧等角型：
如图（2），若,则 ,
,, 四点共圆.
图（1）
图（2）
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关键点拨
连接，交于点，连接，.根据 , 得到 ，
，，四点共圆，且点 为圆心是解题关键.
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【解析】如图，连接,交于点，连接, ,
， ,,,四点共圆,易知点即为圆心. 正方形 的边长为
6，.为的中点，是 的中点，
， 当点在线段上时， 最
大，，即线段的最大值为 .故选D.
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子题练变式
13.【2025黑龙江绥化期末，较难】如图，已知菱形中， ，点
，分别在，上，，与交于点，连接 .
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（1）求证： ；
图（1）
【证明】如图（1）所示，连接 四边形 是菱形，
， ，
是等边三角形， ， .又
，， ，
.
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（2）当，时，求 的长；
图（2）
【解】如图（2），延长到，使得，连接 .
由（1）易得 菱形中， ，
， ， ，
，
.又， ，
，， ,
， ， 是等边三角形，
.
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（3）当时，求 的最大值.
图（3）
【解】 ， ，
，,,,四点共圆， 当 为直
径时，的值最大.设圆心为，连接，，，过点 作
于 ，如图（3）所示，
，
，
，，，， 的最大值为4.
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思路引导
（3）证明，，，四点共圆，则当为直径时，的值最大，设圆心为 ，
连接，，过点作于，在中求出 的长即可得到答案.
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母题学大招8 利用辅助圆求最大张角
14.【2024四川宜宾翠屏区校级期中，中】如图，已知点， 的坐标
分别是,，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点
的坐标是( )
B
A. B. C. D.
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大招解读|利用辅助圆求最大
如图，已知点,是的边上的两个定点，点是边 上的一个动点，则
当且仅当的外接圆与边相切于点时， 最大.
证明：如图,在边上任取一点（不与点重合），连接 ,
,与圆相交于点,连接,
（利用三角形外角性质）,
当圆与相切时， 最大.
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【解析】过点，作，当与轴相切于点时， 最大，
连接,,，作轴于，如图. 点, 的坐标分别是
,，， ，
，与轴相切于点，轴，
四边形为矩形，,.在 中，
，,点坐标为 .故选B.
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