29.5 正多边形与圆-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦“正多边形与圆”核心内容，涵盖概念、画法及计算。课堂导入结合正五边形作图等实例，衔接圆的性质，通过“刷基础-刷提升-刷素养”分层设计搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层训练与思想方法融合，以几何直观（如正多边形作图）、推理意识（如PA=PB+PC证明）、运算能力（如阴影面积计算）为核心，解析含中考真题与“刷有所得”小结，助力学生能力提升，为教师提供系统复习与高效训练方案。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二十 九章 直线与圆的位置关系 29.5 正多边形与圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正多边形的相关概念 1.下列说法:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各边相等的圆外切多边形 是正多边形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各角相等的圆外切多边形 是正多边形.其中正确的是( ) A A.①④ B.②③ C.①②③④ D.都不正确 【解析】②错误,例:菱形是圆外切多边形,且各边相等,但菱形不一定是正多边形.③ 错误,例:矩形是圆内接多边形,且各角都是 ,但矩形不是正多边形.易知①④正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 知识点2 正多边形的画法 2.【2024河北秦皇岛期末】如图，正五边形内接于 ，阅读以下作图过程： ①作直径 ； ②以点为圆心，的长为半径作圆弧，与交于点， ； ③连接，， . 结论Ⅰ： 是等边三角形； 结论Ⅱ：从点开始，以的长为半径，在 上依次截取点，再 依次连接这些点，可以得到正十八边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是( ) D A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对，Ⅱ对 D.Ⅰ对，Ⅱ不对 【解析】结论Ⅰ：如图，连接，.由作图可知, ， ，， 是等边三角形， ， ，同理 ， ， 是等边三角形.结论 Ⅱ：连接，如图. ， 正五边形 内接于 ， ， ， ， 得到正多边形的边数为 . 综上，结论 Ⅰ正确，结论Ⅱ错误.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 3.已知和上的一点，作的内接正方形 和内接正 六边形 ，并写出作法. 【解】如图所示，作法：①连接，并延长交于点，则 为直径； ②作的垂直平分线交于点，，依次连接，，， ，则四边形 是 的内接正方形； ③分别以，为圆心，长为半径画弧，交于点，，， ， 顺次连接，，，，，，则六边形为 的 内接正六边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 刷有所得 特殊的圆内接正多边形的作法: ①根据圆的内接正方形的对角线是圆的直径，并且对角线互相垂直平分，可以利 用尺规作出圆的内接正方形； ②根据圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，可以作出圆的内接正六边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 知识点3 正多边形的有关计算 4.【2025河北石家庄质检】如图，点是内接正边形 的边的中点，连接，.若的半径为1， ， 则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，连接， 正边形 内接于 ， . ，是 的中点， ，又 ， ， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 5.【2024河北沧州盐山期末】如图，半径为1的是正方形 、 正六边形的外接圆，则 的长为( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 思路分析 连接,,则 .由题意得, ,则 ,求出的长,从而可得 的长. 【解析】如图，连接,，则 半径为1的 是正方形、正六边形的外接圆， ， ，.的长为，的长为 ， 故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 6.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一 幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹 角 ，算出这个正多边形的边数是( ) D A.9 B.10 C.11 D.12 【解析】根据题意可得 ， ， .设正多边形的边数为，则 ， 解得，经检验， 是原分式方程的解，即这个正多边形的边数是12.故 选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 7.【2025山东烟台一模】如图，正六边形 的边长为2，以对 角线 为直径作圆，则图中阴影部分的面积为_ ________. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 【解析】过点作于点，如图所示. 六边形 为正 六边形， ， ， ， ，， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 提升 （第1题图） 1.【2025浙江舟山一模，中】如图，六边形是 的内接 正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形， 是其 中一顶点，连接，，交于点.若，则 的长 为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】如图，连接，,则 ， ， ， 是等边三角 形， ， ， . 过作于，则 ， ， ， 是等腰直 角三角形，， ， ，的长为 ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （第2题图） 2.【2024河北石家庄裕华区一模，中】如图，在平面直角坐标系中， 正八边形的中心与原点重合，顶点，在 轴上，顶 点，在轴上，连接，过点作的垂线，垂足为 ，将 绕点顺时针旋转，每次旋转 ，已知 ，则第82次 旋转结束时，点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 关键点拨 由八边形是正八边形及绕点顺时针旋转，每次旋转 ，得 每旋转8次回到初始位置是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】 八边形是正八边形， . 在中，.过点作轴的垂线，垂足为 . 在中，，， 点 的坐标 为. 将绕点顺时针旋转，每次旋转 ，则每旋转8次回到初始位 置， 第80次旋转结束时，回到初始位置，此时点的坐标为 .连接 ，第82次旋转结束时点位于上. ， 易得此时点 的坐标为， 第82次旋转结束时，点的坐标为 ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （第3题图） 3.【2025河北秦皇岛期中，中】如图，已知 的内接正五边形 ，连接，，，点是的内心，连接， ， 则 ____. 【解析】由题意得 正五边形 的内 角和为 ， ， 点为的内心， 平 分，平分， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 4.［较难］如图，在正六边形中，，点在边上，且 .若 经过点的直线将正六边形面积平分，则直线 被正六边形所截的线段长是______. （第4题图） 关键点拨 掌握正六边形的特点、等边三角形的性质等知识是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】如图，设正六边形的中心为，过点，作直线 交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线 被正六边形所截 的线段是.连接,，过点作于点 六边形 是正六边形，，中心为， ， ，.又 ， 是等边三角形， ， ， , ， ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5.【2025广东广州质检，中】如图，大圆和小圆 为同心圆，正六边 形为大圆的内接正六边形，连接，.连接与 交于 点，同时小圆与相切于点 . （1）求证：是小圆 的切线. 【证明】如图所示，连接，，，设，交于 正六边 形为大圆的内接正六边形， ， .又，垂直平分， 小圆与相切于点，.又 ， ，， 点在小圆上.又， 是小圆 的切线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （2）若，求阴影部分的面积.（结果用 表示） 【解】 正六边形为大圆的内接正六边形， ， ， 是等边三角形. 小圆与相切于点，， , ， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 刷素养 走向重高 6.思想方法数形结合［较难］ （1）如图（1），是的内接正三角形，点为劣弧 上一动点.求证： ； 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 图（1） 【证明】延长至，使，连接 ，如图（1）. ，，， 四点共圆， ， 是正三角 形，， 是等边三角形， ， .又， ， 为等边三角形，.在 和 中， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）如图（2），四边形是的内接正方形，点为劣弧 上一动点.求 证： . 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 图（2） 【解】过点作交于，连接， ，如图（2）. ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ， ， . 在和 中 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 思路分析 （2）过点作交于，连接，.证明出 ，即可得 出 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $