30.4课时2 几何图形面积和销售利润最值问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数的应用，围绕几何图形面积和销售利润最值问题展开，通过农场饲养室修建、商品销售等实际情境导入，衔接二次函数性质与实际应用，以“刷基础-刷提升-刷素养”分层练习为支架，结合“刷有所得”总结解题要点。 其特色在于融合实际情境与分层设计，通过饲养室面积计算、商品利润分析等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维构建函数模型求最值，用数学语言规范表达解题过程。既帮助学生提升应用能力和逻辑思维，又为教师提供分层教学资源和清晰解析，助力高效教学。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第三十章 二次函数 4 30.4 二次函数的应用 课时2 几何图形面积和销售利润最值问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 几何图形面积最值问题 （第1题图） 1.【2025河北石家庄质检】如图，某农场计划修建三间矩形 饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用的长度小于等于 ） ，中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围 C A.最小值，为 B.最小值，为 C.最大值，为 D.最大值，为 墙总长为，设饲养室宽为，占地总面积为，则三间饲养室总面积 有 ( ) 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 刷有所得 （1）一般地，面积问题中常把面积作为函数值，边长作为自变量；（2）确定自 变量的取值范围是解答问题的注意点；（3）求与二次函数有关的最值问题时可选 用公式法或将函数表达式由一般式化为顶点式. 【解析】根据题意，得三间饲养室的总长为. 现有墙可用的长度小于 等于， ，解得 ， 当 时，随的增大而减小， 当时， 取最大值，为 ， 三间饲养室总面积有最大值，为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （第2题图） 2.如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块空地 （长方形，， ）上进行绿化，中间 的一块（图中四边形 ）上种花，其他的四块（图中的四 个直角三角形）上铺设草坪，并要求 ，当 四边形（中间种花的一块）的面积最大时， ______. 【解析】设，则 ， ， 四边形的面积 ， 当时，有最大值．故当四边形的面积最大时, . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 3.如图，在中， ，，，点 从 点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿 边向点以 的速度移动，且当其中一个点到达终点时，另一个 点随之停止移动.设，两点同时出发，移动的时间为 . （1）当为何值时，的面积为 ？ 【解】,,， ，解得 ，.故当或4时，的面积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 （2）设的面积为，请写出与的函数关系式，并求出 面积的 最大值. 【解】依题意，得 . ,, 当时，有最大值，最大值为9, 面积的最大 值是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 知识点2 销售利润最值问题 4.【2025天津宝坻区模拟】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 经市场调查发现，在此基础上，这种商品的售价每涨价1元，则每星期要少卖出10 件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元.有下列结 论： ①设每件涨价元，则每星期实际卖出 件； ②若降价，则降价5元，即售价为每件55元时，利润最大，最大利润是6 250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，售价为每件57.5元时利润最大. 其中正确的结论是____.（填序号） ① 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 【解析】 每涨价1元，每星期要在卖出300件的基础上少卖出10件， 每件涨价 元，每星期实际可卖出件，故①正确.设每件降价 元，每星期售出商 品的利润为元，则 ， ， 当 时，利润最大，最大利润为6 125元，故②错误.设每件 涨价元，涨价后的利润为 元,则 ，, 在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是6 250元. ， 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，售价为每 件（元）时利润最大，故③错误. 正确的结论是①，故答案为①. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 5.【2025河北张家口期末】一名在校大学生利用“互联网 ” 自主创业，销售一种产品，这种产品的成本为10元/件，已 知售价不低于成本，且物价部门规定这种产品的售价不高于 16元/件.市场调查发现，该产品每天的销售量 （件）与售 价 （元/件）之间的函数关系如图所示. （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围. 【解】设与之间的函数关系式为.将， 代入，得 解得与 之间的函数关系式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （2）求每天的销售利润（元）与售价 （元/件）之间的函数关系式，并求出每 件售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少. 【解】根据题意知 ， 当时，随的增大而增大.， 当时， 取得最大值，最大值为144.故每件售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元. （3）如果每天获得104元的利润，那么每件售价为多少元？ 【解】令,即，或 （舍去）. 答：如果每天获得104元的利润，那么每件售价为14元. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 关键点拨 （2）根据每天的销售利润 每件的销售利润×销售量得出函数表达式，再配方成 顶点式，根据二次函数的性质求解； （3）根据每天获得104元的利润列出关于 的一元二次方程，解之即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 提升 1. 【2025北京东城区期中，中】某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙 （墙足够长），现有四种方案供选择：方案A为一个封闭的矩形；方案B为一个等 边三角形，并留一处 宽的门；方案C为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆 隔开，并在如图所示的三处各留 宽的门；方案D为一个矩形，中间用一道平行 于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留 宽的门.已知方案中的篱笆 （不包括门）总长均为，则能建成的饲养室中面积 最大的方案为( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 【解析】A选项,设垂直于墙的边长为，则与墙平行的边长为 ，则 ， 当 ，即当垂直于墙的边长 为时，饲养室面积最大，为 .B选项，由题意可得，等边三角形的边长为 ， .C选项，如图（1），设 ，则 ， ， ， 当时，饲养室的面积最大，为 . D选项，如图（2），设，则 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 ， 当 时，饲养室面积最大，最大面积是 , 能建成的饲养室中面积最大的方案是方案C. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 2.［中］如图（1），在矩形纸片中，，，将纸片沿对角线 剪开,固定，把沿 方向平移（如图（2）），当两个三角形重叠部 分的面积最大时，移动的距离 等于( ) A 图（1） 图（2） A.1 B.1.5 C.2 D.3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 【解析】设交于点，，则 ， ， 两个三角形重叠部分的面积 ., 当 时，重叠部分 的面积最大，此时移动的距离 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 3.［中］某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价 为整数， 且该商品的日销售量（件）是关于售价（元/件）的一次函数，其售价 （元/件）、日销售量（件）、日销售利润 （元）的部分对应值如下表： 售价 （元/件） 40 45 日销售量 （件） 300 250 日销售利润 （元） 3 000 3 750 （注：日销售利润日销售量 （售价-进价）） （1）求关于 的函数表达式. 【解】设关于的函数表达式为 .根据题意，得 解得关于的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 （2）当该商品每件的售价是多少时，日销售利润最大？并求出最大利润. 【解】由表中数据知，每件商品的进价为 （元），则该商品的 日销售利润 ， 当时， 有最大值，最大值为 ， 当该商品的售价是50元/件时，日销售利润最大，最大利润为4 000元. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 （3）现商店决定每销售1件商品就捐赠元利润 给“精准扶贫”对象，要 求：在售价不超过52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价 的增大而增大， 求 的取值范围． 【解】设每天扣除捐赠后的日销售利润为 元.根据题意，得 ， 抛物线的对称轴为直线．， 当 时，随的增大而增大. 当时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价 的 增大而增大，，解得， 的取值范围为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 关键点拨 （3）根据总利润（单件利润） 销售量列出函数表达式，再根据 时，每 天扣除捐赠后的日销售利润随售价的增大而增大及函数的性质求 的取值范围即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 刷素养 走向重高 4.思想方法数形结合［难］如图所示的矩形 是一张平面设 计图纸，它由甲、乙、丙三个部分构成，已知 ，点，分别在和上， ，且 .设 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 （1）当甲部分的面积是乙部分面积的4倍时，求丙部分的面积. 【解】由题意得， ， . ， ，解得，（舍去）， 丙 . 答：丙部分的面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 （2）若甲、乙、丙三个部分分别用不同的材料打印，且每平方厘米的材料价格依 次为3元、6元、2元，要使乙部分的面积不小于，且 取整数，求打印该矩 形图纸所需材料的最少费用. 【解】设打印该矩形图纸所需材料的费用为 元 ， 抛物线的对称轴为直线，, .又 ，，，,且为整数， 的最小 整数值为7， 当时， . 答：打印该矩形图纸所需材料的最少费用为 元. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 思路分析 （1）根据题意分别用表示出甲、乙、丙部分的面积，利用，可求得 的值，进而可求得丙部分的面积. （2）根据题意表示出三者的费用之和，利用乙部分的面积不小于 及 ，且取整数，可得 的取值范围，根据二次函数的性质可得答案． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 $