30.4课时1 抛物线形问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数的应用，以抛物线形问题为核心，通过拱桥设计、喷灌系统等实际情境导入，引导学生从建立坐标系、确定函数表达式到解决实际问题，构建“刷基础-刷提升-刷素养”的分层学习支架，辅以解题步骤与关键点拨。 其亮点在于结合生活实例（如山西运城拱桥题、新疆中考隧道题），培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理（待定系数法）、用数学语言表达（规范解题）的核心素养。采用问题驱动与分层训练，“刷题所得”模块总结思路，助力学生提升应用与建模能力，为教师提供系统教学资源与分层指导素材。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第三十章 二次函数 4 30.4 二次函数的应用 课时1 抛物线形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用二次函数解决拱桥形问题 1.【2025山西运城期末】某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图 （1）所示的抛物线形拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之” “星” （分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且 ，拱门上最高 点的五角星（点）到的距离为，， ，如图（2）所示，则 点到 的距离为( ) B 图（1） 图（2） A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系. 抛物线的最高点到 的距离为 ，，， 点的坐标为，点的坐标为，点 的坐标为，点的横坐标为2.设抛物线的表达式为 .将 点的坐标代入，得，解得， 抛物线的表达式 为 点的横坐标为2， 点 的纵坐标为 ， 点到的距离为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 8 2. 【2025新疆中考】天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界 上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图是隧道截 面图，其轮廓可近似看做是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如 图所示的方式建立平面直角坐标系. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 9 （1）求抛物线的函数表达式； 【解】由题意得，抛物线的顶点为，即，与轴的交点为, . 设抛物线的表达式为 . 代入,得 ， 解得， 抛物线的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 米（中心线宽度不计）.若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过?请 说明理由. 【解】能安全通过. 理由如下：如图， 由题意得 . 将代入，得 . ， 能安全通过． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 刷题所得|解决拱桥形问题的一般思路 关键点拨 将题中信息转化为平面直角坐标系中点的坐标是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 12 知识点2 实际问题中的抛物线形轨迹问题 3.【2024河北邯郸期末】如图，排球运动员站在点 处练习发 球，将球从点正上方的 处发出，把球看成点，其运行的 高度（单位：）与运行的水平距离（单位： ）满足关系 式:.已知球网与点的水平距离为 ， D A.球运行的最大高度是 B.球不会过球网 C.球会过球网但不会出界 D.球会过球网但会出界 高度为，球场的边界距点的水平距离为 .下列说法正确的是( ) 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 【解析】， 球运行的最大高度为， 选项说法错 误；当时，， 球会过球网， 选项说 法错误；当时，， 球会出界， 选项 说法错误,D选项说法正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 14 4. 传统文化【2025河北保定期末】发石车是古代远程攻击的武器.现有一发 石车如图（1），发射出去的石块的运动轨迹为抛物线，距离发射点20米时达到最 大高度10米，现将发石车放置在山坡底部处，山坡上有一点，到点 的水平距 离为30米，垂直高度为3米， 是高度为4米的防御墙，建立如图（2）所示平面 直角坐标系. 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 （1）求石块运动轨迹的函数表达式. 【解】由题设石块运动轨迹的函数表达式为 该抛物线经过 原点，，解得， 石块运动轨迹的函数表达式为 ，即 . （2）计算说明石块能否飞越防御墙 . 【解】分析可知点的坐标为.把代入 ，得 . ， 石块能飞越防御墙 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 关键点拨 （2）判断石块能否飞越防御墙，把代入求得 的值与7做 比较即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 提升 1.【2025河北衡水期末，中】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌 系统.某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形. 图（1）是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点与地面的高度为 ， 喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为 ，且水柱刚好落 在庭院围墙和地面的交界点 处.如图（2），为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙 建花坛种植绣球花，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面， ， ，现调整喷水口与地面的高度 ，喷出的水柱形状与原来相同，使水柱 落在花坛的上方 边上（大理石厚度不计），以达到给花坛喷灌的效果. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 18 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 1 2 19 （1）在图（1）中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式. 【解】如图（1），以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴建 立平面直角坐标系.由题意知，抛物线的顶点为，且过点 .设抛物 线的表达式为，把代入，得 ， 解得， 抛物线的表达式为 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 1 2 20 （2）求喷灌器 与围墙的距离. 【解】 喷出的水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处， 令 ，得 ，解得， 点 的横坐标大于0， ， ， 即喷灌器与围墙的距离为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 21 （3）求 的取值范围. 图（2） 【解】如图（2），以点为坐标原点，所在直线为 轴， 所在直线为轴建立平面直角坐标系. ， ，,四边形 是长方形， ,, ， . 调整喷水口与地面的高度 后，喷出的水柱形状与原来相同，且水柱落在花坛的 上方边上， 当抛物线经过点时，取最小值；当抛物线经过点时， 取最 大值.当取最小值时，设抛物线的表达式为，把 代 刷提升 返回目录 1 2 1 2 22 入，得，解得，， 当时，，即 . 当取最大值时，设，把 代入，得 ，解得， ， 当时，，即 ， 的取值范围为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 刷素养 走向重高 2.思想方法数形结合［较难］如图是某水上乐园为亲子游乐区 新设的滑梯的示意图，其中线段 是竖直高度为6米的平台， 垂直于水平面，滑道分为两部分，其中段是双曲线 的一部分，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点 为抛物 线的顶点，且点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点到 的水平距离为7米， 以点为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上点的竖直高度为 （米），距直线 的水平距离为 （米）． 刷提升 返回目录 1 2 1 2 24 （1）请求出滑道段与之间的函数关系式（不必写出 的取值范围）； 【解】在双曲线上，且根据题意得点的纵坐标为2， 为抛 物线的顶点， 设抛物线的表达式为.根据题意得 ，代入 表达式得，解得， 滑道段与 之间的函数关系式 为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 25 （2）当滑行者滑到点时，距水平面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点 的 水平距离； 【解】令，则，解得， （舍去），.将代入中,得，， ， 米， 滑行者此时距滑道起点的水平距离为 米. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 26 （3）在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点与最高点 的 连线与水平面夹角应不大于 ，且由于实际场地限制，，求线段 长度 （单位：米）的取值范围． 【解】,,.如图，过点作 于 点,要使滑道落地点与最高点 的连线与水平面夹角不大 于 ，则,,, , , 线段 长度（单位：米）的取值范围为 ． 刷提升 返回目录 1 2 1 2 27 思路分析 （2）求出，的横坐标，它们的差值即为滑行者距点 的水平距离；（3）先求 出长度的最大值，再根据已知求出 长度的最小值． 刷提升 返回目录 1 2 1 2 28 $