26.2.2课时4 二次函数y=ax^2_bx_c-【初中必刷题】25-26学年九下数学同步课件(华东师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数的图象与性质，涵盖顶点式转化、平移规律、系数关系等核心知识点。通过接力游戏等情境题导入，以“刷基础-刷提升-刷易错”为学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是分层设计与核心素养融合，微专题的代数法、对称法培养推理能力，易错警示强化抽象能力，结合中考真题提升应用意识。教师可编辑超链接课件，学生高效巩固知识，提升数学思维与解题能力。

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 4 2 二次函数 的图象与性质 课时4 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 把二次函数 化为顶点式 1.【2024河北唐山迁安期末】老师设计 了接力游戏，用合作的方式完成“求抛 物线 的顶点坐标”，规 接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) C A.只有甲 B.丙和丁 C.甲和丁 D.乙和丙 则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一 人，最后完成解答.过程如图所示： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 【解析】 ，可得 抛物线的顶点坐标为 .根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤进行 下去到丁处时可得顶点应为 ，所以错误的是甲和丁.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2.【2025江苏南通质检】把二次函数化为 的 形式，则 ___． 4 【解析】， ，故答案为4． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识点2 二次函数 的图象与性质 3.【2025四川成都期中】二次函数 的图象大致是( ) C A. B. C. D. 【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为，与轴交于正半轴， 选项符合，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 4.在平面直角坐标系中，二次函数为常数 的图象经过 点,其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有( ) D A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 【解析】由题意可得，解得， 二次函数 的图象的对称轴在轴左侧，， ， ， 该二次函数有最小值，最小值为 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.【2025河南驻马店期中】已知，， 都是二次函数 图象上的点，当时，随着 的增大而增大，则 ，，的大小关系是_____________（用“ ”连接）． 【解析】， 图象的对称轴是直线 当时，随着的增大而增大， 点 关于 直线的对称点是，且， ．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 知识点3 二次函数 图象的平移 6.【2025内蒙古包头质检】将抛物线 向下平移2个单位长度后，所得新 抛物线的顶点式为( ) A A. B. C. D. 【解析】， 将抛物线 向下平移2个单位长 度后，所得新抛物线的顶点式为 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 7.将二次函数，为常数 的图象先向左平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度后，得到的图象顶点为，则 的值为___. 3 【解析】根据题意知，原二次函数图象的顶点坐标是，即 ，则 原二次函数的表达式为,故， ，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 知识点4 二次函数的图象与，， 的关系 8.【2025福建福州质检】已知抛物线，，为常数， 的 顶点坐标为，与轴的交点在 轴上方，下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线表达式为 ，．又 抛物线 为，， 抛物线与轴的交点在 轴上方， ，，故选项A、B错误．又抛物线的顶点坐标为， 当时，，故选项C正确．， ， ，故选项D错误．故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 9.【2025吉林长春期末】已知二次函数 的图象如图所示， 给出下列结论：；； ； 为任意实数 .其中正确的结论是____（填序号）. ④ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 【解析】由函数图象可知，，，，所以 ，故①错误．因为 抛物线经过点和，所以抛物线的对称轴为直线，则 ， 所以,所以，故②错误．将代入 ,得 .将代入，得，所以 ， 故③错误．因为抛物线的对称轴为直线，开口向下，所以当 时，函 数取得最大值，为，所以对于抛物线上的任意一点横坐标为 ，总有 ，即 ，故④正确．故答案为④． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 关键点拨 根据二次函数的图象确定，， 的关系的几个主要关键点：①抛物线的开口方向； ②抛物线的对称轴；③抛物线与轴、 轴的交点；④抛物线的最值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 刷易错 易错点 忽略隐含条件致错 10.若二次函数的最小值为2，则 的值是___. 4 【解析】 抛物线的对称轴为直线， 当 时，有最小值，，整理可得 ， 解得或，经检验，均是原方程的解.又 函数有最小值， ， .故答案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 易错警示 本题容易因忽略函数有最小值时， 这一隐含条件致错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 提升 （第1题图） 1.［中］若二次函数 的图象如图所示，则 一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的大致图 象为( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴在轴左侧， ， 抛物线与轴的交点在轴下方，， 直线 经过第一、 二、三象限，反比例函数 的图象在第一、三象限，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 （第2题图） 2.［中］如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得 到抛物线 ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分 的面积为( ) B A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】如图，过点作轴于点 抛物线 ， 顶点坐标为， 易得其对 称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 关键点拨 根据抛物线表达式求出它的顶点坐标.过点作轴于点 .根据抛物线的对称 性可知阴影部分的面积等于矩形 的面积，然后求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.【2025山东济南质检，中】已知二次函数 ，将其图象在直 线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形．在图形 上任取一 点，点的纵坐标的取值满足或，其中．令，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】， 对称轴为直线 ,顶点坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 图（1） ①当时，如图（1），此时 的取值范围为 或 ，不满足题意. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 图（2） ②当时，如图（2），此时的取值范围为或 ， 满足题意，此时,, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 图（3） ③当时，如图（3），此时的取值范围为 或 ，满足题意，此时, ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 图（4） ④当时，如图（4），此时 的取值范围为 或 ，不满足题意. 综上， ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 4. 【2025河南南阳质检，中】下表记录了二次函数 中两个变量与 的三组对应值: … 0 2 6 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时， ，有下 列四个结论：；； ；④若记二次函 数的图象为图形，存在直线与图形 有两个 交点，则 ． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． ②③④ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解析】根据题表的数据可得，该二次函数图象的对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为 点， 在该函数图象上， 当时，， 点离对称轴较离对称轴近， 抛物线开口向上，即，或 且 ,故②正确. 当时，随着的增大而增大，且时， ， .当时，， ，故①错误, ③正确. 当时，二次函数的图象取得最低点， 当 时，存在直线与图形有一个交点；当时， ,存在直线 与图形有两个交点， ，故④正确.综上所述，正确的有②③④， 故答案为②③④． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 5.［较难］将二次函数 配成顶点式后，发现其图象的 顶点的纵坐标比横坐标大1，如图，在矩形中，点，点 ，则二 次函数的图象与矩形有交点时， 的取值范围 是_ _____________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 图（1） 【解析】将 配成顶点式得 ，此二次函数图象的顶点坐标是 ， 图象开口向上，开口大小一定， 此 二次函数图象的顶点在直线 上运动.如图（1），当 二次函数图象与矩形第一次相交时，二次函数图象经过点 ，此时取最小值.将代入 得 ，解 得，（舍去），则的最小值是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 图（2） 如图（2），当二次函数图象与矩形最后一次相交时，二次函数图 象的顶点在矩形与轴的交点处，此时 取最大值，即0， ，故答案为 . 思路分析 先将二次函数的表达式配成顶点式，则可得出其图象的顶点在直线 上运 动.当二次函数图象与矩形第一次相交时，二次函数的图象经过点 ，此时 取最小值，当二次函数图象与矩形最后一次相交时，二次函数图象的顶点在矩 形与轴的交点处，此时 取最大值，据此求解即可． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 6.【2025上海黄浦区期末，中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴的交点为，点，在此抛物线上，抛物线与 轴正半轴 交点为，轴，， ． （1）求点，， 的坐标； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 【解】当时，， 轴， ，点 的纵坐标为6， ，,， 点 的坐标为 ，, ， .如图，过点作 轴，垂足为 ， ， ， .综上，点,,的坐标分别为,, ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （2）求抛物线的顶点坐标． 【解】 点在抛物线上， ， ， 抛物线的表达式为， 抛物线的 顶点坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合 ［较难］如图，抛物线 ，是常数与轴交于，两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 . （1）求抛物线的函数表达式； 【解】 抛物线与轴交于点， 当时， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 （2）点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转 后，点 的对应点 恰好也落在此抛物线上，请求出点 的坐标. 【解】由（1）知抛物线的函数表达式为，令 ，得 ，解得，，， 抛物线的对称轴 为直线，点在抛物线的对称轴上， 设，对称轴交轴于点，过 作 直线于点，如图.当在轴上方时，如图（1）. 线段 绕 点逆时针旋转 后，点的对应点为， ， ， .又 ，.在 和 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 ..， ， ， .把代入 ，得 ，解得或（舍去）， . 当在轴下方时，如图（2），同理可证.. ， ，，.把 代入 ，得，解得 （舍去）或 ，.综上可知，点的坐标为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 图（1） 图（2） 思路分析 先由抛物线的表达式求出点，的坐标，再根据抛物线的对称轴为直线 ，设 ，对称轴交轴于，过作 直线于，最后分在 轴上方 和 轴下方两种情况求解即可． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 微专题1 二次函数中比较函数值大小的方法 1.代数法 【2025浙江杭州期中，中】已知三点，， 在抛物线 上，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D.无法比较 【解析】 点，，都在抛物线 上， ，，， . 故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 42 2.对称法 【2025吉林长春校级期中，中】已知点，， 均在二次函数的图象上，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 【解析】二次函数的对称轴为直线，则点 关于直 线的对称点为， 抛物线开口向下， 当 时，随的增大而增大.， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 43 3.距离法 【2025福建漳州期末，较难】已知点，， 都在二 次函数的图象上，若， ， ，则下列关于，， 三者的大小关系判断一定正确的是( ) B A.可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C.可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 【解析】在 中，对称轴为直线 ，， ， , 点离对称轴最远，点 离对称轴最 近.当时，抛物线开口向上，；当 时，抛物线开口向 下，.综上，和可能最大，也可能最小, 不可能最大，也不可 能最小.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 44 思路分析 分和 两种情况讨论，根据已知三点与对称轴的距离，结合抛物线开口 方向分析即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 45 4.中点法 【2025北京东城区调研，中】在平面直角坐标系中， ， 是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 . （1）若对于,，有，求 的值； 【解】 对于,有， 抛物线的对称轴为直线. 抛物线的对称轴为直线， . （2）若对于,，都有，求 的取值范围. 【解】,，，.又， ， 点离对称轴更近，则点与 连线的中点在对称轴的右侧， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 46 微专题2 二次函数的取值范围问题 1.定轴定范围 【2025陕西西安质检，中】在下列区间内求二次函数 的最值. 【解】，抛物线对称轴为直线.当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. （1）全体实数. 【解】在全体实数范围内，当时，函数有最小值 ,没有最大值. （2） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值;当 时， 函数有最大值5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 47 （3） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值;当 时，函 数有最大值0. （4） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值0;当 时，函数有最 大值12. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 48 2.定轴动范围 （1）【2025浙江台州期末，中】当 时，二次函数 的最小值是，则 _ ________. 1或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 49 【解析】抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时,随的增大而增大；当时，随的增大而减小.①当 ，即 时，则当时，，，解得 ，不 符合题意，舍去.②当，即时，则当时， ， ，解得.③当，即时，则当 时，，, ，解得 ,（舍去）.综上所述，或.故答案为1或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 50 关键点拨 依据题意，可得抛物线对称轴为直线，进而结合二次函数的性质分 ， 和 三种情形进行讨论即可得解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 51 （2）【2025河南郑州期中，中】已知二次函数 ，当 时，有最小值和最大值1，则 的取值范围是______________. 【解析】二次函数, 该函数图象 开口向上，对称轴是直线，当时，该函数取得最小值 当 时，有最小值和最大值1，且当时， ，根据抛物线的 对称性，当时，，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 52 3.动轴定范围 【2025江苏苏州期末，中】当时，二次函数 的最大值是，最小值是，若，则 的值是_________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 53 【解析】， 抛物线对称轴为直线 ，抛物线 开口向上.①若，即，则当时，，当 时， ，，解得 （舍去）.②若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.③ 若，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.④若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得（舍去）.综上可知， 的 值是或，故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 54 4.动轴动范围 【2025安徽芜湖期中，中】已知抛物线 为常数，当时，与其对应的函数值 的最小值为9，求此时的 二次函数表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 55 【解】， 抛物线对称轴是直线 ， 抛物线开口向上. ①当，即时，当时，， ，解 得（负值已舍去），此时的二次函数表达式为 . ②当，即时，当时，， ， 解得 （都不符合题意，舍去）. ③当，即时，当时， ， ，解得（舍去）或 ，此时的 二次函数表达式为 . 综上，二次函数表达式为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 56 $